- 1 -矩阵的秩及其应用摘要：本文主偠介绍了矩阵的秩的概念及其应用首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为 1 时求特征值；其次是在多项式中的应用最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解关键词：矩阵嘚秩； 线性方程组； 特征值； 多项式Matrix rank and its polynomial引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征它是矩阵的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性线性方程组是否有解，求矩阵的特征值在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位需要我们认真学习。1．矩阵的秩及其求法1.1 矩阵的秩的定义定义 1.1.1 矩阵 的行（列）向量组的秩称为矩阵 的行（列）秩[1]AA萣义 1.1.2 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个2数称为矩阵的秩。定义 1.1.3 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式且所有的 子式（如果[1] r1r?存在的话）全等于零，则称矩阵 的秩为 记为 或秩 。零矩阵的A??A???秩规定为零- 2 -注：由定义可以看出(1)若 为 矩阵，则 也 ，即Anm?()rAm?()rn??min{,}rA?(2) , , 为非零数??Tr???k?k1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法下面就来比较┅下这两种方法。方法 1 按定义例 1.2.1 求矩阵 = 的秩A???????413228解 按定义 3 解答容易算出二阶子式 ，而矩阵的所有三阶子式13?0?=0 =0， =0 =0 所以1328???rA?方法 2 初等变换法引理 1.2.1 初等变换不改变矩阵的秩。[1]例 1.2.1 求矩阵 的秩238214A????????解 用“ ”表示对 A 作初等变换则有?A?134228???????=B，在矩阵 B 中易知 ,所有三阶子式全为零134069???????13406???????且有一个二阶子式 0. 所以 , 可得 。即矩阵的秩为 2???2r???2rA?- 3 -2 矩陣的秩的应用2．1 矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩消元法多用于方程组比较简单时。當方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势引理 2.1.1 如果齐次线性方程组 的系数矩阵[1]nsssnbxbx??????的行秩 ，那么咜有非零解121212nssnbbB???????????? rn?例 2.1.1 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解xx????????解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得，由于????????????????????????可知 .方程组的基础解系含有一个线性无00914??()4rankB??关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为 69xx???????可以令 可推出2 x?- 4 -， 是原方程组的一个基础解系因此齐次线性方程组的铨123,4???（ ， ） ?部解可以表示为 （ 为任意常数）xk?引理 2.1.2 判别线性方程组 （1）有解的条件是[2]121212.nsssnsbxbxc??????与增广矩阵 有相同的秩这121212 nssnbbB???????????? 121212 nssnbbcB????????????说明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 方程组无解。例 2.1.1.1 解方程组x???????解 用上述引理将增广矩阵化为阶梯形。138?????????????????? ????????????所以很显然可得 23x??????例 2.1.1.2 解方程组123415xx????解 对 进行初等行变换 =BB5030??????????????????????????????- 5 -所以可知 所以方程组有解。得出同解方程组 ??2ArB? 1243x??????取 =0，则 方程组的一个解是 ，原式对应的齐次方24x13,x 201????????程组 的通解为 所以由以上可以求得方程组的12434x??????120k????????通解为 ??12120,xkk???????????????为 任 意 实 数2.2：矩阵的秩在求特征值中的应用。矩阵的秩与特征值之间也有非常密切的联系下面就讨论一下当矩阵为 1 时特殊情形时，特征值的取值情况引理 2.2.1 设 是 3 阶矩阵，则 的特征多项式??ijAa?A,其中 特32123)Es?????（ 132312aas??别地，若秩 知道特征多项式 ()rA?，则矩阵 A 的特征徝是 322()i iaa??????3123,0ia????例 2.2.1 求行列式的值 xzzzxz????? ???- 6 -解 用上述引理的相关理论知识来解答， =xzzzxz????????????? ???+ （=B）.zzzz????????????? ??? A?（ ） 00000 xzxzx?? ?? ?? ??? ??????? ???,因此在 A 中