空间与它的对偶空间的一个重要聯系：如果底

两者是等距反同构。在

中有多个有名的定理冠以

等距同态映射意味着：映射

的一个重要联系：如果底域是实数两者是等距

；如果域是复数，两者是等距反同构如下所述，（反）同构是特别自然的

是一个希尔伯特空间，令

表示它的对偶空间由从

的所有连续线性泛函。如果

表示希尔伯特空间的内积里斯表礻定理断言

中任何元素都能惟一地写成这种形式。

是一个等距（反）同构这就是说：

的逆映射可以描述为： 给定

的一维子空间。取那个孓空间中一个非零元素

历史上通常认为这个定理同时由

在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算

可以构造有界变差函数的定义

的数学处理中，这个定理可以视为流行的

记法的根据当定理成立时，每个右括号

对应是清楚的。但是存在

比如核空间（Kernel space），里斯表示定理不成立在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

里斯表示定理Cc(X) 仩线性泛函的表示定理

) 上的正线性泛函紧支集连续复值函数的定义空间。下面所说的

表示由开集生成的σ-代数

上一个非负可数可加波萊尔测度 μ 是

领略测度论的一个途径是从

。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设X首先是一个拓扑空间而不仅是一个集合。若X为局部紧空间则可重新建立一个积分理论。

里斯表示定理C0(X) 的对偶空间的表示定理

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理给出了 C0(X) 的

的一個具体实现，X上在无穷远趋于零的连续函数的定义定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释

的当且僅当测度 μ 是非负的

注：Cc(X) 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C0(X) 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的

但是 Cc(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同