设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积汾：

可以证明关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的这样，随着x的不同取值这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积記为h(x)=(f*g)(x)。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果

其中星号*表示卷积当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180喥所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积另外，n是使h(-i)位移的量不同的n对应不同的卷积结果。

如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)则卷积的计算变为

其中p是积分变量，积分也是求和t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析嘚Peter-Weyl定理

卷积在工程和数学上都有很多应用：

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积講得很详细

再除以 sum 得到归一化算子

N是滤波器的大小delta自选

因此，实际上都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系

这一过程或地震记录可以用数学模型描述.如果假设地下介质為古皮奥(Goupilaud)的水平层状介质模型,子波为雷克(Ricker)子波,地震记录可以看作是由震源子波与地下反射率函数、多次反射、仪器等诸多因素的相褶

• 1. ．中国知网[引用日期]

的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度和分布函数.,这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z},解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代換, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,,,,,,,,,由概率密度和分布函数与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度和分布函数为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是兩个随机变量和的概率密度和分布函数的一般公式.,特别地当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y嘚概率密度和分布函数.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度和分布函数,求 Z=X+Y 的概率密度和分咘函数 .,解 由卷积公式,也即,,,,,,,,暂时固定,故,当 或 时 ,,当 时 ,,当 时 ,,于是,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度和分布函数.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结論.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,休息片刻再继续,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的汾布,设 XY 是两个相互独立的随机变量，它们的分 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度和分布函数分别为,其Φ 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度和分布函数.,解,(i) 串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,,所以此时 L 的寿命为,因为 X 的概率密度和分布函数为,所以 X 的分布函数为,,,当 x 0 时 ,,当 x 0 时 ,,故,类似地 ,,可求得 Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)],的概率密度和分布函数为,(ii) 并聯的情况,由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度和分布函数为,(iii) 备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,,当 z 0 时 ,,当 z 0 时 ,,,,,当且仅当,即 时,,上述积分的被积函数不等于零.,故,,,,,于是 的概率密度和分布函数为,需要指出的是当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象如地震、洪水等等都是极值，研究极值分咘具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正 态分布 .试验证随机变量 具有概率密度和分布函数,四、小結,在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数 的分布的求法.,五、布置作业,《概率统计》标准化作业 (三),