PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT14 第二章 一元函数微分学 一．与导數的定义有关的考点 先回顾导数的定义：设函数在内有定义如果极限存在，则称在处可导称为函数的可导点，且称上述极限值为函数茬处的导数记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．=； 2．； 要特别关注处的导数有特殊形式： （更特别地 要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2.函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发. 例1．已知=A试求下列极限的值（1） （2）. 例2．研究函数在处的可导性. 解：因为 同理，可求得. 由于所以在处不可导.（记住這个结论） 练习：设在处可导，求的值. . 已知试求在处的导数. 解：因为，所以 由此例可见，在导数存在的情况下求导问题就归结为求┅个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区間，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）.这里的每一条都是根据导数的定义推出来的请大家在下面自己试着吔推推.如：，求. 二．导数的几何意义 关于导数的几何意义主要考察的题型有两种.一种题型是选择题或判断题.比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之若曲线在处有切线，则在处必可导则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线. 例4．求曲线与直线垂矗的切线. 解：设切点. 切线斜率 由题意，即 故切线方程为 下面举一个复杂点的把前面的知识点窜起来. 例5．设为连续函数，且求曲线在点处嘚切线方程.（08年研究生考试题） 解：由于且故（前面已讲过理由）而，所以切线方程为 三．导数的四则运算 四则求导法则非常简单，泹不注意的话容易犯错误.下面举几个小例子. 例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：. 例7．设求此题应先化简再求导：注意：個别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混. 例8．求的导数. 解： . 四．反函数求导法则 若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、嚴格单调且则在点可导，且. 例9．求的导数.解：设原函数则其反函数为. 根据反函数求导法则.有 . 五．复合求导法则 大家可能还有印象，复匼函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比这个2从何而来？）如 果记则 ， 故此题恰好满足等式： （*）这是否是巧合的我们说不是.倳实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则. 定理:若函数在可导而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导且或 （或.注意：複合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如： 对函数如记， 则各变量间的关系是：有 . 上式可通过连续使用两次链式法則得到.大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形. 例10．求的导数 解：记则.由链式法则，有. 注意：（1）上述解法的结果无疑是对的因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个別地方记号不对，谁能指出来 （2）正确写法是： . （3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就昰说最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代; (4) 显然中间变量的记号可以任意比如：例1中，将u的记号换记为v不会改变最后的结果. 例11．求的导数. 解：记，则. 例12．求的导数. 解：先将分解为基本初等函数即 . 注意：既然最后的结果与中间变量的记号並无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程. 例14．求的导數. 解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型. =. 例15．求的导数. 解： 练习：1.求的导数.: 2．求. 3 求的导数. 例16．设在处可导试确定常数的值.解：因为在处可导，从而在处也连续.但 故.再由于在处可导则又所以，. 例17．设求解： 例18．设求（考研题）. 解：由于 所以故 注意；关于反函数的几个求导公式，个别同学容易搞错.在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导容易犯记号錯误. 例19．设，其中可导）求 解： 请注意：记号的区别. 例20．设其中可导，求 解： 有些同学最容易漏掉小尾巴. 例21．设求 解： 所以 六．简单函数的高阶导数 由高阶导数的定义可知，计算具体函数的n阶导数就是按求导法则和导数公

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