广州航海高等专科学校学报 总第 期 年第 期 年 月 地某些无理函数求极限 、 导数 和不定积分计算问题辨析 ’ 陈燕龙 广州航海商等专科学校羞础部 广州 摘共 对一些高等数学定积汾教材 、学 习辅导和 习翅集中某些无理函数求极限 、导数和不定积分计算间皿的错误结果进行了分析 关橄词 无理函数 , 定义城 ,分析中口法汾类号 · 问 题 文献 〔 〕中第 页例题 计算卜一丫冬下必 了 犷 、 一 — 〔 〕中给出了 种解法 , 其中一个答案为 。 告 事实上 , 按照不定积分的定义 , 这是┅个不完备的结果 分 析 按不定积分的有关定义 , 观察下述两个间题 间题 求 一丁一一种解法为 当 二 。 一妾 , 十‘ ‘ 当 一 下丁劣‘ 十‘ 乙 这 种解法 的问题在于答非所间 , 事实上 , 被积函数为 , 其定义域为 一 , 收稿 日期 一 一 此题 旨在找出 了 二 在〔一 , 的原函数的全体 , 而不是在 , 和 一 , 分别 找出 的原函数的全体 正确解法似应为 被积函数 川 的定义域为 一 , , 而 「 。 百 , 户 ” 嘴 卜一 冬 , 二 乙 二 二 是 在 一 , 的一个原函数故 ,一 ‘二 , 一架 · 间题 求 夸 一般积分表均给出丁令 一 、一 , 这里有一个理解 , 题 对于被积 。 , 奋 , 定义‘ 为 ” 一 , , 若说 二 。 是奋 在 上的原函数的全体 , 但 不是一个区何 , 而原 数的萣义与区间 是联系在一起的 。 若说在 , 满足条件 , 二 一士 的 ‘ 二 的全体为 ” ,二 ‘ 但对于 阮二 , , 一 , 一二 , 二 在 , 二 一士 , 但 二 并非形如 “ 二 ‘ 因此 , 只能紦公式丁誓 一 二 理解为 二 , 是奋 在区间‘一 ,的原函 ”全 体 , 也是去 在区间 。, 的原函 , 的全体 综上所述 , 在高等数学定积分课程里 , 所谓求函数 二 的不萣积分 , 应该理解为若 的定义域是一个区间 , 则意味着应该求出 了 二 在这个 区间上的全体原函数 若 了 的定义域不是一个 区间 , 而是多个无公共點的区间的并 , 则愈味 , 要分别求出在各个区间上的全体原函数 。 现在我们按照上述理解检验 〕中引例的结果是否完备 被积函数 月 一 聋二的萣义域为 一 , 一 , , 而了 ‘ 一 片治玩 , ’ 卜 一兴 , 了 ‘ 一 , 当 〔 , 。 。 工 二 了 生一 , 当 〔 一 , 一 可见在被积函数定义域上并不恒有 。 。 工 ‘ 了 , 一 事实上 , 當 任 一 , 一 时 , 。 不完备的 —州卜‘ 不是 八‘一 的原函数 , 故知引例的结果是 完整的结果应为厂 」 扭 · 甲 万于 万 、 “ ‘ 一 ‘ , 生 ‘ , 当 任 , 。 。, 笁 ‘ , 当 任 一 , 一 其 它教科书如 、 〕 、 、 〕中 , 也有类似的情况 , 例如 〕中第 页第 ⑧题 求导 数 孑二歹一口 — 一 了二矛原答案 兮二 正确解法 函数定义域为 一 , 当 护 司 时 仁 , 盆一 , 一一井弓 二二二千 一 “ 了 忿‘ 一 ‘ 尸一 了一 ‘号”, 一 沂落 劣而, 二