遇到一个倒代换倒代换求不定积汾分问题但是答案中要分段讨论，有点不理解～求大神指点

｛1/[x^2*(根号1＋x^2)]*dx 这题是用倒代换做的……设t=1/x（为什么 这么设呢?）变成了
＝－｛tdt/根号x^2+1,这里面t不是约掉了吗?怎么还有?之后变成
这一步步是怎么变成这样的,而且这和求导有关系吗?烦请夶哥们能一步步详细讲讲,
大哥请问在倒代换求不定积分分中那种求积分方式比较简单呀，我初学想从简单的入手谢谢！
不是当 -1/t^2和分母的1/t^2約掉后式子不是应该变为－｛dt/根号（1＋t^2)/t^2后，它是怎么一下变为－｛ t/根号(1+t^2) 那个被除的t^2到那去了而分子上这dt是怎么又变成t的呢？还有就是d(t^2+1)=2dt這公式我书上从没见过是否还有其它也和这一样的公式呢！因为这是关键地方了，希望大哥能赐教呀！
.....大哥小弟有几年没碰数学了三角函数都忘了你能在这补一下三角函数的代换公式吗？