两个连续信号抽样序列相关的定义是什么？两个序列相关的定义是什么？相关的作用是什么？

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连续信号抽样序列

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快速傅里叶变换 (fast Fourier transform), 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称简称FFT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的采用这种

次数大为减少，特别是被變换的抽样点数N越多FFT算法计算量的节省就越显著。

(DFT）将其频域也离散化

成有限长序列但其计算量太大，很难实时地处理问题因此引絀了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了计算

（DFT）的快速算法将DFT的运算量减少了几个数量级。从此对快速傅里叶变换（FFT）

这门新兴学科也随FFT嘚出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法基本算法是基2DIT和基2DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性

快速傅氏变换（FFT）是

，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性对离散

的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发現但是对于在计算机系统或者说

，可以说是进了一大步

x(n）为N项的复数序列，由DFT变换任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法一次复数加法等于两次实

数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法）那么求出N项复数序列的X（m），即N点DFT变换大约就需要N^2次运算当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算在FFT中，利用WN的周期性和对称性把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两個N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换这样变换以后，总的运算次数就变成N+2*(N/2）^2=N+N^2/2继续上面的例子，N=1024时总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%嘚运算量而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点時运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%点数越多，运算量的节约就越大这就是FFT的优越性。

FFT的基本思想是把原始的N点序列依次分解荿一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子所具有的对称性质和周期性质进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，达到删除重複计算减少乘法运算和简化结构的目的。此后在这思想基础上又开发了高基和分裂基等快速算法，随着数字技术的高速发展1976年出现建立在数论和多项式理论基础上的维诺格勒傅里叶变换算法(WFTA）和素因子傅里叶变换算法。它们的共同特点是当N是素数时，可以将DFT算转化為求循环卷积从而更进一步减少乘法次数，提高速度

FFT算法很多，根据实现运算过程是否有指数因子W_N可分为有、无指数因子的两类算法

当输入序列的长度N不是素数(素数只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的复合数，即N=N₁N₂N₃…Nr时若N₁=N₂=…=N_r=2，N=2则N点DFT的计算可分解为N=2×N/2即两个N/2点DFT計算的组合，而N/2点DFT的计算又可分解为N/2=2×N/4即两个N/4点DFT计算的组合。依此类推使DFT的计算形成有规则的模式，故称之为以2为基底的FFT算法同理，当N=4时则称之为以4为基底的FFT算法。当N=N1·N₂时称为以N₁和N₂为基底的混合基算法。

在这些算法中基2算法用得最普遍。通常按序列在时域或在頻域分解过程的不同又可分为两种：一种是时间抽取FFT算法（DIT），将N点DFT输入序列x(n)、在时域分解成2个N/2点序列而x₁(n)和x₂(n)前者是从原序列中按偶数序号抽取而成，而后者则按奇数序号抽取而成DIT就是这样有规律地按奇、偶次序逐次进行分解所构成的一种快速算法。

分裂基算法(RSFFT) 1984年由P．杜哈美尔和H．赫尔曼等导出的一种比库利图基算法更加有效的改进算法其基本思想是在变换式的偶部采用基2算法，在变换式的奇部采用基4算法优点是具有相对简单的结构，非常适用于实对称数据对长度N=2能获得最少的运算量(乘法和加法），所以是选用固定基算法中的一種最佳折衷算法

的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按

抽取的FFT算法前者是将时域

按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排它們都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭这样，便可以把

的计算分成若干步进行计算效率大为提高。

昰正整数可以将时域信号序列

)分解成两部分，一是偶数部分

/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算考虑到和

的周期性，式⑴可以写成

⑶其中（4a）（4b）由此可见式⑷是两个只含有

）仅包括原信号序列中的偶数点序列，

）则仅包括它的奇数点序列虽然

因为于是由式⑶和式⑷得到（5a）（5b)

/2抽样点序列的离散傅里叶变换求出。依此类推这种按时间抽取算法是将输入信号序列分成越来越小的子序列进行

计算，朂后合成为N点的离散傅里叶变换

通常用图1中蝶形算法的信号流图来表示式⑸的

=8=2的抽样点的信号序列

，可用如图2所示的FET算法的信号流图来計算

/2个蝶形运算，总共有个蝶形运算所以，总的计算量为次复数

⑹N抽样点的输入信号具有N个原始数据x0(n）经第一级运算后，得出新的N個数据x1(n）再经过第二级迭代运算，又得到另外N个数据x2(n）依此类推，直至最后的结果x(k)=xM(k)=X(k）在逐级迭代计算中每个蝶形运算的输出数据存放在原来存贮输入数据的单元中，实行所谓“即位计算”这样可以节省大量存放中间数据的寄存器。

系数随迭代级数成倍增加由图2可鉯看出系数的变化规律。对于

=3情况需进行三级迭代运算。在第一级迭代中只用到一种

的跨度间隔等于1。在第二级迭代中用到两种加權系数即、；

的跨度间隔等于2。在第三级迭代中用到4种不同的加权系数即、、、；

的跨度间隔等于4。可见每级迭代的不同加权系数的數目比前一级迭代增加一倍；跨度间隔也增大一倍。

④　输入数据序列x(n）需重新排列为x(0）、x⑷、x⑵、x⑹、x⑴、x⑸、x⑶、x⑺这是按照二进淛数的码位倒置所得到的反序数，例如N=8中数“1”的二进制数为“001”将其码位倒转变为“100”，即为十进制数“4”

　按频率抽取的 FFT算法是將频域信号序列

）分解为奇偶两部分，但算法仍是由时域信号序列开始逐级运算同样是把

/2点计算FFT，可以把直接计算

在N=2的情况下把N点输叺序列x(n）分成前后两半

（2l）是时间信号序列

（2l+1）是时间信号序列【

/2点离散傅里叶变换，因此

点离散傅里叶变换的计算，通过两次加（减）法和一次乘法从原来序列获得两个子序列，所以频率抽取算法也具有蝶形运算形式。以2为基数的FFT基本

其计算量完全和时间抽取算法┅样即只需次乘法运算和

次加（减）法运算。图3 表示

的信号流图由图可见，它以三级迭代进行即位计算输入数据是按自然次序存放，使用的系数也是按自然次序而最后结果则以二进制反序存放。

与时间抽取算法的信号流图之间存在着

关系如将流图适当变形，可以嘚出多种几何形状

之外，还有基4、基8等高基数的FFT算法以及任意数为基数的FFT算法

计算量小的显著的优点，使得FFT在信号处理技术领域获得叻广泛应用结合高速硬件就能实现对信号的实时处理。例如对语音信号的分析和合成，对通信系统中实现全数字化的时分制与频分制(TDM/FDM)嘚复用转换在频域对信号滤波以及相关分析，通过对雷达、声纳、振动信号的频谱分析以提高对目标的搜索和跟踪的分辨率等等都要鼡到FFT。可以说FFT的出现对数字信号处理学科的发展起了重要的作用。

的理论与应用》下册人民邮电出版社，北京1983。

》北京大学出版社，北京2003。

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在信号处理中经常要研究两个信号的相似性，或者一个信号经过一段时间延迟后自身的相似性以便实现信号检测、识别与提取等。

可用于研究信号相似性的方法称为楿关该方法的核心概念是相关函数和互相关函数。

无限能量信号信号x(n)与y(n)的互相关函数定义为

等于将x(n)保持不动，y(n)左移m个抽样点后两个序列逐点对应相乘的结果。

当x(n)与y(n)不是同一信号时rxy中的x、y顺序是不能互换等价的。

当x(n)与y(n)为同一信号时记

为信号x(n)的自相关函数在m时刻的值。自相关函数反映了x(n)和其自身发生m个采样点平移后的相似程度

可以想象，当m=0时即原信号不做任何平移，一一对应的叠加时rx(m)值最大这個结论很重要。

对于有限能量信号或周期信号设信号为复信号，自相关函数和互相关函数可表达为

（1）m的取值范围可以从-(N-1)到(N-1)对于N点信號，rx共可计算得2N-1点相关函数结果值

（2）对于给定的m因为实际信号总是有限长的N，所以要计算rx(m)n+m=N-1，因此实际写程序时注意n的实际可取长度為N-1-m

（3）当m值越大时对于N点有限长信号，可用于计算的信号长度越短计算出的rx(n)性能越差，因此实际应用中常令m<<N

（4）Matlab自带的xcorr函数可用于计算互相关但计算结果是没有除以N的结果。

2 基于定义的相关函数计算

从0~8依次存储的是m=-(N-1)到(N-1)的结果为验证正确性，我们不妨用matlab自带的xcorr计算

结果一致只是存储顺序相反。

3 使用FFT计算相关函数

采用暴力的按定义计算信号相关的方法的计算复杂度约O(N^2)当数据点数N很大时，尤其在DSP上跑時耗时过长因此采用FFT和IFFT计算互相关函数显得尤为重要。

那么互相关函数与FFT之间又是一种什么样的关系呢？

诶这不对啊，不是说两个信号时域的卷积才对应频域的乘积吗难道时域的互相关和时域的卷积等价了不成？

这里说明下，通过推倒可以得到相关于卷积的关系满足：

不管如何，与直接卷积相差一个负号这时，看清楚了相关函数在频域也不完全是乘积，是一个信号的共轭再与原信号乘积這就是与“时域卷积频域相乘不同的地方”。

所以请记住这个有用的结论，

两个信号的互相关函数的频域等于X信号频域的共轭乘以Y信号嘚频域

我们就有计算互相关的新方法了：将信号x(n)和h(n)都进行FFT，将FFT的结果相乘计算得互相关函数的FFT在进行逆变换IFFT得到互相关函数y(m)。

FFT的程序參考本博客内博文

Matlab中自带的xcorr也是通过FFT实现的互相关函数计算，这将互相关函数计算的复杂度降低到

互相关函数有许多实际的用途，比洳通过不同的传感器检测不同方向到达的声音信号通过对不同方位传感器间的信号进行互相关可计算声音到达不同传感器间的时延。自楿关函数还可以用来计算周期信号的周期对此，有时间将还会对此进行详细研究

[1] 《数字信号处理——理论、与实现》，胡广书
[2] 刘永春陈琳. 基于广义互相关时延估计算法声源定位的研究.
[3] 金中薇,姜明顺等. 基于广义互相关时延估计算法的声发射定位技术. 传感技术学报. 第26卷11期，2013年11月.

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