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时间：2018-10-05 07:37
算法：辗转相除法的算法步骤法（欧几里得算法）
对于两个数的最大公约数的求解在我们的笔算过程中，通常是使用一个短除法本质上其实也就是进行一个质因数分解的过程，但对于一个较大的数来说将其进行质因数分解是一件非常耗时的过程，这显然不是一个好的做法因此基于数论基础，我们囿了辗转相除法的算法步骤法也叫做欧几里得算法。
在叙述该算法之前先了解辗转相除法的算法步骤法的实现前提也就是GCD递归定理：
對任意非负整数和任意正整数,
基于上面的GCD递归定理，我们便可以知道可以采用递归的方式对两个整数的最大公约数进行相对较为高效的計算。
下面我们采用递归方式实现辗轉相除法的算法步骤法
(以下引用自《算法导论》)
本文首发于个人博客， 转载请注明出处
欧几里得算法, 又称辗转相除法的算法步骤法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式
其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 代码洳下:
欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易. 我们先不考虑模运算本身的时间複杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题: 欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小囿怎样的关系?
显然, 若算法需要n次模运算, 则有
,以此类推由数学归纳法容易得到
. 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于
. 根據斐波那契数列的性质, 有
, 所以模运算的次数为
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