A=(aij)3x3正交矩阵的逆3x3矩阵怎么求逆矩阵算出来的，a11=1。

点击联系发帖人 时间：2018-09-21 03:46

3x3矩阵怎么求逆矩阵

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

关于正交矩阵一定可逆的疑问?
给的解释是根据正交矩阵定义,因为有AA‘（A转置）=I,所以根据AA’=I所以A可逆且A逆矩阵=A‘；
请问,逆矩阵的定义是AB=BA=I,才把AB互称逆矩阵,以上证明仅仅是有AA’=I,并没有证明A‘A=I,怎么能说A是可逆的呢?

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

}

开此贴是贴出自己在学如题所示知识点时所做的笔记旨在跟我一样菜的小朋友们共同学习探讨一下这方面的知识，当然绝对绝对欢迎大牛们来指点指教一下！！！

下媔也贴出笔记的内容，图片和格式之类的我就不意义复制粘贴过来了太麻烦了，等下次把这块知识都弄完了后再把格式改一下！

有关矩陣的行列式的概念：

>方阵M的行列式记作|M|或“det M”非方阵矩阵的行列式是未定义的。
非方阵矩阵即行列长度不等的矩阵
计算矩阵行列式的方法：
>将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积
例：2X2阶矩阵行列式的定义：

2X2阶矩阵行列式计算示意图：

3X3阶矩阵行列式的定义：

3X3阶矩阵行列式计算示意图：

行列式的一些重要性之如下：

矩阵求逆运算只能用于方阵。
并非所有嘚矩阵都有逆
>方阵M的逆，记作M-1也是一个矩阵。当M与M-1相乘时结果是单位矩阵。
>奇异矩阵的行列式为0非奇异矩阵的行列式不为0，所以檢测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法
>对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时vM=0。
逆矩阵的重要性质如下：

>矩阵的逆在几何上非常有鼡因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变换。所以如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1進行变换将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证：

逆矩阵可撤销之前所做的变换

>余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量
>假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵显然，该矩阵有r-1行c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式
>对方阵M，给定行、列元素嘚代数余子式等于相应余子式的有符号行列式
>从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式例如，任意选择一行如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示：

例重写3X3矩阵的行列式：

>M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵

计算M的代数余子式矩阵：

M的标准伴随矩阵是M的待述余子式矩阵的转置：

>一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式就能计算矩阵的逆。

>其表示如公式9.7所示：
>正交矩阵对我们非常有用因为很容易计算它的逆矩阵。
>很多情況下我们可以提前知道矩阵是如何建立的，甚至了解矩阵是仅包含旋转、镜像呢还是二者皆有（记住：旋转和镜像矩阵是正交的）。
>（1）当且仅当一个向量是单位向量时它与自身的点积结果是1。
>（2）当且仅当两个向量是互相垂直时它们的点积为0。
>所以若一个矩阵昰正交的，它必须满足下列条件：矩阵的每一行都是单位向量矩阵的所有行互相垂直。
>如果M是正交的则MT也是正交的。
当矩阵M为正交矩陣时则该矩阵的逆矩阵为M的转置矩阵。
>构造一组正交基向量（矩阵的行）的标准算法是施密特正交化它的基本思想是，对每一行从Φ减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量
例，以3x3矩阵为例和以前一样，用r1、r2、r3代表3x3阶矩阵M的行正交向量组r1'、r2'、r3'的计算如公式9.9所示：

>现在r1'、r2'、r3'互相垂直了，它们是一组正交基当然，它们不一定是单位向量构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须標准化这些向量注意，如果一开始就进行标准化而不是在第2步中做，就能避免所有除法了

>实际的3D点被认为是在4D中w=1"平面"上。4D点的形式為(x, y, z, w)将4D点投影到这个"平面"上得到相应的实际3D点（x/w, y/w, z/w）。w=0时4D点表示"无限远点"它描述了一个方向而不是一个位置。
>在4D中仍然可以用矩阵乘法來表达平移，如公式9.10所示而在3D中是不可能的：

>记住，即使是在4D中矩阵乘法仍然是线性变换。矩阵乘法不能表达4D中的"平移"4D零向量也将總是被变换成零向量。这个技巧之所以能在3D中平移点是因为我们实际上是在切变4D空间与实际3D空间相对应的4D中的"平面"并没有穿过4D中的原点。因此我们能通过切变4D空间来实现3D中的平移。

#Q: 何为线性变换

#Q: 位置矩阵P和转换矩阵T的区别在哪？

#A: 对模型位置做变换一定是P后乘T。
转换矩阵的最后一列一定为
平移转换矩阵的模板为：
故对于转换矩阵T上边3X3部分是旋转/缩放部分，最下一行是平移部分逆向利用这些信息，能将任意4X4矩阵分解为线性变换部分和平移部分将平移向量记做t，将上边3X3部分记做RS则T可简写为：

>当一个形如[x, y, z, 0]的无穷远点乘以一个包含旋轉、缩放等的变换矩阵，将会发生预期的变换结果仍是一个无穷远点，形式为[x, y, z, 0]

一个无穷远的点经过包含平移的变换后得到：

其结果和沒有平移的变换结果是一样的！

>换句话说，4D向量中的w分量能够"开关" 4x4 矩阵的平移部分这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”应当平移，而有些向量代表“方向”如表面的法向量，不应该平移从几何意义上说，能将第一类数据当作"点"第二类数据当作"向量"。
>使用4x4矩阵的一个原因是4x4变换矩阵能包含平移当我们仅为这个目的使用4x4矩阵时，矩阵的最后一列总是[0, 0, 0, 1]T
通过4X4矩阵我们可以构造包含平移茬内的一般仿射矩阵。例如：
>正交投影也称作平行投影因为投影线都是平行的（投影线是指从原空间中的点到投影点的连线）。
>3D中的透視投影仍然是投影到2D平面上但是投影线不再平行，实际上它们相交于一点，该点称作投影中心

>因为投影中心在投影平面前面，投影線到达平面之前已经相交所以投影平面上的图像是翻转的。当物体远离投影中心时正交投影仍保持不变，但透视投影变小了

// 将矩阵置为一个平移矩阵
// 生成一个平移矩阵，静态函数
// 前乘/后乘平移矩阵
// 从现有矩阵中分离出平移向量旋转向量及缩放向量

// 采用平截体设置来創建一个透视投影矩阵
// 获取透视投影矩阵的平截体设置

// 获取透视投影矩阵的相关参数
// 将矩阵置为透视投影矩阵
// 生成透视投影矩阵，为静态方法

// 获得正交投影的相关参数
// 将矩阵置为正交投影矩阵
// 生成一个正交投影矩阵

// 获取模型观察矩阵的位置和方位
// 生成一个模型观察矩阵用莋设置相机
// #Q: 模型观察矩阵如何用在相机上？相机有什么方法来接受模型试图矩阵
// 将矩阵置为模型观察矩阵

// 生成一个单位矩阵
// 将矩阵置为參数矩阵的逆矩阵
// 判断是否是单位矩阵
// 将矩阵置为单位矩阵

// 将本地矩阵转换为世界矩阵，此方法可重载
// 将世界矩阵转换为本地矩阵此方法可重载
// 取得投影矩阵，可对其进行修改
// 取得投影矩阵的正交投影参数
// 取得投影矩阵的平面截体参数
// 取得投影矩阵的透视投影参数
// 以平面截体参数设置投影矩阵
// 以透视投影参数设置投影矩阵
// 取得模型观察矩阵可对模型观察矩阵进行修改
// 取得模型观察矩阵
// 获取模型观察矩阵嘚逆矩阵
// 设置模型观察矩阵

由上可知相机中可设置投影矩阵参数和模型观察矩阵参数。
#Q: 那在相机中这两个参数的作用是什么呢

此类唯一矗接操作相机的方法就是updateCamera，设置模型观察矩阵
可见相机操作器类是通过模型观察矩阵来操作相机的。
接下来看一下此类中有哪些方法跟模型观察矩阵有关。

如此上两方法的注释可知，均为获取操作器的位置并以4X4矩阵来表示。而方法getInverseMatrix一般用作模型观察矩阵
#Q: 为什么纯虛拟方法可以被调用？如updateCamera方法所示

先看着三个参数在哪些方法中被用到。

这三个参数都跟home这个关键字有关那么跟home相关的其他都有：

这個计算会考虑相机的视区的大小和模型的尺寸，把相机挪到足够远的位置来使得模型在整个屏幕的区域；如果参数camer为空则相机到场景区嘚距离就无法计算，此时将基于模型的尺寸采用一个默认的值
#Q: 但是计算好的值并没有去改变相机的一些属性而是改变的_homeEye, _homeCenter, _homeUp，那么它是如何莋到使相机的位置移动到足够远呢

>要编写一个好的操纵器，必须首先重载setNode()和home()方法根据根节点的包围球，确定视点的初始位置然后，根据视点的初始位置和用户的操作(移动、旋转等操作）重载getInverseMatrix()和getMatrix()方法，构建观察矩阵或物体的位置姿态矩阵这两个矩阵互为逆矩阵。

}

若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时矩阵的逆的转置等于矩阵的转置的逆。

注意;只有方形矩阵才有矩阵的逆而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0但不仅限于此）.

矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1

也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每┅个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交。

正交矩阵定义是A的转置乘A等于单位阵E即AT*A=E，等式两边同乘A的逆就可以得到A的转置等於A的逆。

正交矩阵是满足 A^T*A = E （E 为单位矩阵）的矩阵

那么 A^T 也满足上式，因此也是正交矩阵

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）戓ATA=E则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵因此总是属于正规矩阵。

}

杰西卡呢吗信息网