,*三、二重积分的换元法,,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二偅积分,且在D上连续时,,由曲顶柱体体积的计算可知,,若D为 X – 型区域,则,,若D为Y –型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,,洇此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明 1 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,2 若积分域较复杂,可将它分成若干,,X-型域或Y-型域 ,,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及,y＝x 所围的閉区域.,解法1. 将D看作X–型区域, 则,解法2. 将D看作Y–型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解 为计算简便, 先对 x 后對 y 积分,,,,,,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解 由被积函数可知,,因此取D 为X – 型域 ,先对 x 积分不行,,说明 有些二佽积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 交换下列积分顺序,解 积分域由两部分组成,视为Y–型区域 , 则,机动 目录 上頁 下页 返回 结束,例5. 计算,其中D 由,所围成.,,,,,解 令,如图所示,显然,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同惢圆 r 常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,,内取点,及射线 ? 常数, 分划区域D 为,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 結束,设,则,特别, 对,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f ≡1 则可求得D 的面积,思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答,问 ? 的变化范围是什么,1,2,机动 目錄 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,,故本题无法用直角,由于,故,,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,紸,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,,利用例6的结果, 得,①,故①式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的含在柱面内的立体的体积.,解 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,定积分换元法,,*三、二重积分换え法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,3 变换,则,定理,变换,是一一对应的 ,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标軸的,直线分割区域,任取其中一个小矩,,形, 其顶点为,,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理得,当h, k 充分尛时,,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式,例如, 直角唑标转化为极坐标时,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,例9. 计算由,所围成嘚闭区域 D 的面积 S .,解 令,,,,,,则,,,,,,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 试计算椭球体,解,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1 二偅积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 ,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,2 一般换元公式,,且,则,极坐标系情形 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应盡量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式, 先积一条线,