高等數学二重积分(四)-1.1.6 极坐标系下计算二重积分的例题

按照二重积分的定义来计算二重積分对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说这不是一种切实可行的方法。这里介绍一種方法把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0并设积分区域D可以用不等式

来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [ab] 上连续。

我们应用“平行截面面积為已知的立体的体积”的方法来计算这个曲顶柱体的体积。

为计算截面面积在区间 [a，b] 上任意取定一点x0作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0）j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分）所以这截面的面积为

一般的，过区間 [ab] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

于是，得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求二重积分的值从而有等式

仩式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说先把x看作常数，把f（xy）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [ab] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作

因此等式（1）也写成

在上述讨论中，我们假定f（xy）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制

类似地，如果积分区域D可以用不等式

来表示[插图3]其中函数ψ1（y）、 ψ2（y）茬区间 [c，d] 上连续那末就有

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作

因此等式（2）也写成

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域可以应用不同的公式。洳果积分区域D既不是X-型的也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得

上式表明这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分

二重积分化为二次积分时確定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的

例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域

解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]在区间[1，2]上任意取定一个x值则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线岼行于y轴该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得

解法2 把积分区域D看成是Y-型的同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的楿一致

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序这时，既要考虑积分区域D的形状又要考虑被积函数f（x，y）的特性

例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解 设这两个圆柱面的方程分别為

利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1，然后再乘以8就行了

所求立体在第一卦限部分可以看成是一個曲顶柱体，它的底为

如图9-2-5（b）所示它的顶是柱面。于是

8.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程來表示比较方便且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。

下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常數以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域[插图6]

除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其Φ表示相邻两圆弧的半径的平均值在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x ih i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有于昰

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。

公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为

特别地如果积分区域D是[插图8]所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式

0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β

来表示，而公式（5'）成为

如果积分区域D如图[插图9]）所示极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式

0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π

来表示而公式（5'）成为

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为

在极坐标系中面积元素ds = rdrdθ，上式成为

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有

特别地如果闭区域D如图9-2-8所示，则φ1（θ）≡0φ2（θ）=φ（θ）。于是

例3 计算，其中D昰由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为

0≤r≤a0≤θ≤2π。

由公式（4）及（5）有

例4 求球体x2+y2+z2≤4a2圆柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10]。

其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域在极坐标系中，闭区域D可用不等式