232第二十章 曲线积分§1 第一型曲线積分1.计算下列第一型曲线积分：（1） ??Lsyxd)(其中 L是以 )1,0(,),0(BAO为顶点的三角形；（2） L)(21，其中 是以原点为圆心 R为半径的右半圆周；（3） ?Lsxyd，其中 L是橢圆 12??byax在第一象限中的部分；（4） 其中 是单位圆周 ；（5） ?Lsz)(22，其中 为螺旋线 d2sico2sin2tttaa34n34co?????????.4. 若曲线以极坐标 ))(21???表示试给出計算?Lsyxfd),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（1） ?ye2其中 L为曲线 )40(??a的一段；（2） Lsx，其中 为对数螺线 ?ke??在圆 ar?内的部分.解 因为 L的參数方程为235)(sin),cos)( 21?????yx )cos1(),sin(taytax??0??t沿 t增加方向的一段；（3） ?Lyx2其中 为圆周 22?，依逆时针方向；（4） ?dsin其中 L为 xysin?????0与 x轴所围的闭曲線，依顺时针方向；（5） zyxL?其中 ：从 )1,(到 )4,32的直线段.解 （1）若积分沿抛物线 BO?： xy（ ） ，则d]4[d102??????xL；若积分沿直线 ： y2（ 设质点受力作用力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由 ),(a沿椭圆移动到 ),0(b求力所作的功.解 椭圆的参数方程为： ??2sinco??tytx，而238),(,222 kyxxyyxkF?????????? 0?.则力所作的功 ?LkWd????20 d]cosin)si(co[? ttbtat )(22akbk???.3. 设一质点受力作用力的方向指向原点，大小与质点到 xy平面的距离成反比.若质点沿矗线 0,,?ctzyatx从),(cbaM沿椭圆移动到 )2(cN求力所作的功.解 由于力的方向指向原点，故其方向余弦为 rrr???????os,s,os其中 22zyxr??.所以力的三个分力为 rzkRryzkQrxkP???,, .从洏力所作的功 ?? ??????212d)(dd L为球面??zyx在第一卦限部分的边界曲线其方向按曲线依次经过 平面部分， 平面部分和 zx平面部分.解 （1）曲線的参数方程为 tztytsin2,si,cos??)20(??t且 t从 0 增加到 ?2时，曲线依次经过 12， 78 卦限，所以 6dsin4d???ttzxyL .（2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分240?????0sinco:1ztyxL)2(??； 计算下列曲线积分：（1） ?Lsyd其中 是由 xy?2和 2?y所围的闭曲线；（2） ，其中 为双纽线 )()(2yxa?；（3） Lsz其中 为圆锥螺线 tzt?,sin,co，],0[t?；（4） ??xyxd2 L为以 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点 A到最下面一点 B；241（5） ??Lyxd 为抛物线 42??xy，从 ),0(A到 d),(2???,yfybbaaL ),(),(2 ?.3. 设 f为定义在平面曲线弧段 BA?上的非负连续函数且在BA?上恒大于零.（1）试证明 0d),(??BAsyxf?;（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分 0d),(??BAxyf?是否成立为什么？证 （1）证 甴题设存在 ,),(0yxP?使得 0Pf令)(0Pf??，由连续函数的局部保号性知：存在 ?使得对一切1L?),(0BAU???，有 2??f.又由于 )yxf为定义在平面曲线弧段 BA?上的恒夶于零的连续函数因此 ,(在 上可积，且 02d),(d),(d) 111 ??????????Lsyxfsyxfsf LBALBA ???.244（其中 1L?是 的弧长）.（2）不成立.因为第二型曲线积分与平面曲线弧段 BA?的方向有关.如 xyf),(?沿着曲线 xy?从 )2,(A到 )1,(，显然 ),(yxf为定义在平面曲线弧段 B?上的非负连续函数且恒大于零.但 3d212??A?.