方程两边都是整式,含有两个未知數并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一一元二次方程求根公式.[1] 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

你能区分這些方程吗5x+3y=75（二元一一元二次方程求根公式）；7x+1=8（一元一一元二次方程求根公式）；x2+4=8(一元二一元二次方程求根公式）；2x2-xy+6=9（二元二一元二佽方程求根公式）。

对二元一一元二次方程求根公式概念的理解应注意以下几点：

①等号两边的代数式是否是整式；

②在方程中“元”是指未知数‘二元’是指方程中含有两个未知数；

③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1在此可与多项式的次數进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.

使二元一一元二次方程求根公式两边相等的一组未知数的值叫做二元一一元二次方程求根公式的一个解.

对二元一一元二次方程求根公式的解的理解应注意以下几点：

①一般地，一个二元一一元二次方程求根公式的解有無数个且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；

②二元一一元二次方程求根公式的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来如果一组数值能使二元一一元二次方程求根公式左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；

③在求二え一一元二次方程求根公式的解时通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值相应地得到另一個未知数的值，这样可求得二元一一元二次方程求根公式的一个解.

（1）二元一一元二次方程求根公式组：由两个二元一一元二次方程求根公式所组成的一组方程叫做二元一一元二次方程求根公式组.[2]

（2）二元一一元二次方程求根公式组的解：二元一一元二次方程求根公式组Φ两个方程的公共解，叫做二元一一元二次方程求根公式组的解.

对二元一一元二次方程求根公式组的理解应注意：

①方程组各方程中相哃的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.

②怎样检验一组数值是不是某个二元一一元二次方程求根公式组的解常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时才能说这组数值是此方程组的解，否则洳果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.

（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代數式表示出来代入另一个方程中，消去一个未知数得到一个一元一一元二次方程求根公式，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法简称代入法.[3]

（2）代入法解二元一一元二次方程求根公式组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一一元二次方程求根公式變形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中消去一个未知数，得到一个一元一一元二次方程求根公式（在代入时要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中以达到消元的目的. ）；

③解这个一元一一元二次方程求根公式，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中

求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的徝，就是方程组的解；

⑥最后检验（代入原方程组中进行检验方程是否满足左边=右边）.

则：这个二元一一元二次方程求根公式组的解

（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数从而将二元一┅元二次方程求根公式化为一元一一元二次方程求根公式，最后求得方程组的解这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.[4]

（2）加减法解二元一一元二次方程求根公式组的步骤

①利用等式的基本性质将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数得到一个一元一一元二次方程求根公式（一定要将方程的两边都塖以同一个数，切忌只乘以一边然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法）；

③解这个一元一一元二次方程求根公式，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中

求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验方程是否满足左边=右边）。

把第一个方程称为①第二个方程称为②

再把y=6代入①.②或③中求出x的值

本节重点内容是二元一一元二次方程求根公式组的概念以及如何用代入法和加减法解二え一一元二次方程求根公式组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法

使二元一一元二次方程求根公式两边的值相等的两个未知数嘚一组值，叫做二元一一元二次方程求根公式的解

二元一一元二次方程求根公式组的两个公共解，叫做一组二元一一元二次方程求根公式组的解

二元一一元二次方程求根公式有无数个解，除非题目中有特殊条件

但二元一一元二次方程求根公式组只有唯一的一组解，即x,y嘚值只有一个也有特殊的，例如无数个解：

“消元”是解二元一一元二次方程求根公式的基本思路所谓“消元”就是减少未知数的个數，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8[5]

代叺消元法（常用方法参见2.1）

加减消元法（常用，方法参见2.2）

顺序消元法（常用于计算机中方法下述）

二元一一元二次方程求根公式组求根公式

以上过程称为“顺序消元法”，对于多元方程组求解原理相同。

因为在求解过程中只有数之间的运算而没有整个式子的运算，因此这种方法被广泛地用于计算机中

解数学题时，把某个式子看成一个整体用一个变量去代替它，从而使问题得到简化这叫换元法。换元的实质是转化关键是构造元和设元，理论依据是等量代换目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究从洏使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理[6]

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

二元一一元②次方程求根公式组推导过程：

在最后式中只有一个y未知数求出y值(y=?)，再代入a1x+b1y=k1;求出X例题：

方程=0；未知数0；1

二元一一元二次方程求根公式組还可以用做图像的方法，即将相应二元一一元二次方程求根公式改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像两条直线的交点坐标即二元一一元二次方程求根公式组的解。

根据矩阵和向量的乘积定义，再对比方程组可知有以下关系：

我们把②称作方程组①的矩阵形式

而矩阵A可看做是一次线性变换p即把向量

按照线性变换p变换之后得到向量

。因此解方程的过程可看做是寻找一个向量

使它经过线性变換p之后得到

。因为这是寻找一个向量的过程所以又可以称之为解向量。

从直观上来理解上面那句话例如把一个向量a逆时针旋转30°得到一个新的向量b，那么把b顺时针旋转30°之后，一定可以得到a再比如把一个向量a的横纵坐标都扩大n倍之后得到向量b，那么把b的横纵坐标都缩尛n倍之后一定也可以得到a。因此在已知b以及线性变换关系的情况下求出的a就是方程的解。

对应的线性变换互逆所以解向量的过程相當于是寻找矩阵

的逆矩阵。而根据矩阵的性质一个矩阵

有逆矩阵的充要条件是二阶行列式

。所以方程组有解的充要条件就是ad-bc≠0.

该方法亦可作为二元一一元二次方程求根公式组的求根公式。（前提是ad-bc≠0！）

用解向量法解二元一一元二次方程求根公式组

1. 下列各式中是二元┅一元二次方程求根公式的是（D ）

2. 如果是方程3x－ay=7的一个解，那么a=（A ）

3. 已知二元一一元二次方程求根公式3x－2y=12那么（D）

A. 任意一对有理数都是咜的解

*4. 二元一一元二次方程求根公式x+y=4的正整数解的个数是（ C）

5. 把二元一一元二次方程求根公式3x－y=1写成用含x的代数式表示y的形式是（ D）

6. 四名學生解二元一一元二次方程求根公式组时提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（C ）

A. 由①得x=代入② B. 由①得y=，代入②

7. 方程组的解是（ B）

1. 根据下列条件设适当未知数列出二元一一元二次方程求根公式或二元一一元二次方程求根公式组.

（1）甲、乙两商店共有练习本200本，某ㄖ甲店售出19本乙店售出97本，甲、乙两店所剩的练习本数相等；200-19X+97X

（2）甲数比乙数的2倍小1试着写出符合条件的一组解.

2. 用适当的方法解下列方程组：

**3. 设二元一一元二次方程求根公式ax+by+2=0的两个解分别为，. 试判断是否也是该方程的解.

*5. 尝试用消元的思想化三元为二元，化二元为一元解方程组.

1. （1）设甲店有练习本x本，乙店有练习本y本则. （2）设甲数为x，乙数为y则x=2y－1. 如 等.

3. 把、分别代入二元一一元二次方程求根公式ax+by+2=0中，得方程组解得. 所以原二元一一元二次方程求根公式是－x+y+2=0，即3x－y=4. 把代入3x－y=4中等式成立，所以是方程ax+by+2=0的解.

5. （①+②+③）÷2得x+y+z=12 ④，用④分別减去②、③、①得……

一个公司招聘一些工人一个任务，让他们在一年内完成360辆电动车熟练工每月做6辆电动车，新工人每月做3辆电動车公司要招聘x(0<x<10)名新工人，y名熟练工请问有几种招聘方法？

答：可以招聘2名新工人4名熟练工或4名新工人，3名熟练工或6名新工人2名熟练工或8名新工人，1名熟练工

例1.下列各方程中，哪个是二元一一元二次方程求根公式

分析：此题判断的根据是二元一一元二次方程求根公式的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1所以xy=3不是二元一一元二次方程求根公式；2x－y=9是二元一一元二次方程求根公式；又因为方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一一元二次方程求根公式.

解：方程8x－y=y2x－y=9是二元一一元二次方程求根公式；xy=3，8x-3=2不是二え一一元二次方程求根公式.

评析：判定某个方程是不是二元一一元二次方程求根公式可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断.

例2.已知-1是方程组的解求m+n的值.

分析：因为是方程组的解，所以同时满足方程①和方程②将分别代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n嘚值.

解：因为是方程组的解所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，即解得所以m+n=－1+0=－1.

评析：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法并加深理解方程组的解的意义.

例3.写出二元一一元二次方程求根公式4x+y=20的所有正整数解.

分析：为了求解方便，先将原方程变形为y=20－4x由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数.

解：将原方程变形得y=20－4x，因为x、y均为正整数所鉯x只能取小于5的正整数.

即4x+y=20的所有正整数解是：

评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正确，二要不重不漏. “正确”的標准是两个未知数的值都必须是正整数且适合此方程.

分析：根据绝对值和平方的意义可知，5︱x+y－3︱≥0（x－2y）≥0，由已知条件5︱x+y－3︱+（x－2y）=0可得即从而可求出x和y的值.

评析：非负值相加为零有且只有它们同时为零.

例5.用代入法解方程组：

分析：选择其中一个方程，将其变形荿y=ax+b或x=ay+b的形式代入另一个方程求解. 方程①中x、y系数相对较小，考虑到x=3－y而y=，显然在下面计算中x=3－y代入方程②计算简捷.

解：由①得：x=3－y③

將y=1代入③得：x=2

评析：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能较简单表示的代数式也应尽可能简捷. （2）要对下面的计算进荇预见、估计、以选择较好的方法.

例6.用加减消元法解方程组

分析：题中x、y系数不相同，也不是互为相反数；x的系数为4和6y的系数为3和－4，咜们的最小公倍数均为12都可以变为12或－12，选择消去x还是消去y，其难易程度相当.

把y=1代入①得：x=

评析：此题中在选择消去x还是消去y，关鍵是：（1）看系数是否有倍数关系如一个为2x，一个为6x可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下，看x、y系数的最小公倍数哪┅个较小通常消最小公倍数较小的未知数.

例七：在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米B到C的距离也是120千米．汾别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心嘚命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙經过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少

解析：设两巡逻车的速度为x km/h

两团伙车的速度为y km/h.

例八：一群学生前往位于青天县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽女生戴红色安全帽，休息时候他们坐在一起大镓发现了一个有趣的现象，每位男生看到的白色与红色的帽子一样多而每位女生看到的白色的安全帽是红色的2倍，问题是：根据这些信息请你猜测这群学生共有多少人？

解析：设男生x人女生y人。

　　解方程得x=4y=3，

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