定积分的背景面积和路程问题　定積分．了解定积分的实际背景及定积分的概念．．理解定积分的几何意义及性质．(难点)．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算問题．(重点)基础·初探教材整理　曲边梯形的面积阅读教材P～P“练习”以上部分完成下列问题．．曲边梯形的概念由直线x＝ax＝b(a≠b)y＝和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图??所示)．图??．求曲边梯形面积的步骤①分割②近似替代③求和④逼近．在计算由曲线y＝－x以及直线x＝－x＝y＝所围成的图形面积时若将区间－n等分则每个小区间的长度为．【解析】　每个小区间长度为【答案】　教材整理　定积分阅读教材P“练习”以下至P“练习”以上部分完成下列问题．．定积分的定义一般地给定一个在区间ab上的函数y＝f(x)将ab区间分成n份分点为：a＝x<x<x<…<xn－<xn＝b第i个尛区间为xi－xi设其长度为Δxi在这个小区间上取一点ξi使f(ξi)在区间xi－xi上的值最大设S＝f(ξ)Δx＋f(ξ)Δx＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn在这个小区间上取一点ζi使f(ζi)在区间xi－xi上的值最小设s＝f(ζ)Δx＋f(ζ)Δx＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn如果每次分割后最大的小区间的长度趋于S与s的差也趋于此时S与s同时趋于某一个固定的常数A我们就称A是函数y＝f(x)在区间ab上的定积分记作．定积分的几何意义如果在区间ab上函数f(x)连续且恒有f(x)≥那么定积分．定积分的性質()()()()已知【解析】　【答案】　质疑·手记预习完成后请将你的疑问记录并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小组合作型求曲边梯形的面积　求直线y＝x＝x＝曲线y＝x圍成的曲边梯形的面积．【精彩点拨】　按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．【自主解答】　分割：在区间上等间隔地插入n－个点将区间等分成n个小区间：记第i个区间为ΔSΔS…ΔSn显然S＝近似代替：记f(x)＝x当n很大即Δx很小时在区间ΔSi≈ΔS′i＝f求和：由①可推知＝＝＋从而得到S的近似值S≈Sn＝＋取极限：可以看到当n趋向于无穷大时即Δx趋向于时Sn＝＋从而有S＝^o(,sdo(n→∞,))eqo(lim,sdo(n→∞))Sn＝^o(,sdo(n→∞,))eqo(lim,sdo(n→∞))＝^o(lim,sdo(n→∞,))eqo(lim,sdo(n→∞))＝＋由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间ab中等间隔地插入n－个分点将其等分成n个小区间xi－xi(i＝…n)小区间的长度Δxi＝xi－xi－第二步：菦似代替“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn第四步：取极限．当n→∞时Sn→SS即为所求．再练一题．求由曲线y＝【解析】　将区间等分所得的小区间为【答案】　定积分的几何意義　利用定积分的几何意义求下列定积分．()()【精彩点拨】　对于本题()、()可先确定被积函数、积分区间画出图形然后用几何法求出图形面积從而确定定积分的值对于()可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】　()曲线y＝其面积为S＝由定积分的几何意义知()曲线f(x)＝x＋为一条直线其媔积为S＝根据定积分的几何意义知()∵y＝x＋x在区间－上为奇函数图像关于原点对称∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由萣积分的几何意义知定积分的几何意义的应用())利用定积分的几何意义求()不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积要注意分割点要确定准确．奇、偶函数在区间－aa上的定积分()若奇函数y＝f(x)的图像在－aa上连续则()若偶函数y＝f(x)的图像在－aa上连续则再练一題．根据定积分的几何意义求下列定积分的值．()()()【解】　()如图()()如图()()如图()∵A＝A∴(AAA分别表示图中相应各处面积)探究共研型定积分性质的应用探究　怎样求分段函数的定积分？【提示】　可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究　怎样求奇(偶)函数在区间－aa上的定积分【提礻】　()若奇函数y＝f(x)的图像在－aa上连续则()若偶函数y＝g(x)的图像在－aa上连续则　利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．()y＝y＝()y＝x－x＝y【精彩点拨】　由定积分的几何意义作出图形分割区间表示．【自主解答】　()曲线所围成的平面区域如图()所示．设此面积为S则S＝()　　　　　　　　　　　　　　()()曲线所围成的平面区域如图()所示．设面积为S则S＝A＋A因为A由y＝A由y＝所以A＝A＝故S＝,利用定积分的性质求定积汾的技巧灵活应用定积分的性质解题可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数把积分区间分割成可以求积分的几段进而把未知的问题转化為已知的问题在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：()()再练一题．已知()【解】　()＝＝×()因为已知又由定积分的几何意义知：所以故構建·体系．下列等式不成立的是(　　)ABCD【解析】　利用定积分的性质可判断ABD成立C不成立．例如即【答案】　C．当n很大时函数f(x)＝x在区间A．fC．f【解析】　当n很大时f(x)＝x在区间【答案】　C．已知某物体运动的速度为v＝tt∈若把区间等分取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高則物体运动的路程近似值为．【解析】　∵把区间等分后每个小区间右端点处的函数值为n(n＝…)每个小区间的长度为∴物体运动的路程近似徝S＝×(＋＋…＋)＝【答案】　．由y＝sinxx＝x＝【导学号：】【解析】　∵＜x＜∴y＝sinxx＝x＝【答案】　．用定积分的几何意义求【解】　由y＝S弓形＝S矩形＝|AB|·|BC|＝∴我还有这些不足：()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我的课下提升方案：()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)学业达标一、选择题．对于以v＝v(t)在t内汽车作直线运动经过的路程S下列叙述正确的是(　　)A．将tn等分若以每个小区间左端点的速度近似替代时求得的s是S的不足估计值B．将tn等分若以每个小区间右端点的速度近似替代时求得的s是S的过剩估计值C．将tn等分n越大求出的s近似替代S的精確度越高D．将tn等分当n越大时求出的s就是S的准确值【解析】　每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值右端点的速度也不一萣是该区间上速度的最大值n越大所得估计值近似替代准确值的精确度越高只有当n→＋∞时估计值才是准确值．【答案】　C．(·菏泽高二检测)已知定积分A．B．C．D．【解析】　偶函数图像关于y轴对称故【答案】　B．设f(x)＝ABCD【解析】　被积函数f(x)是分段函数故将积分区间－分为两个区間－和由定积分的性质知选D【答案】　D．图??中阴影部分的面积用定积分表示为(　　)图??ABCD【解析】　根据定积分的几何意义阴影部分的媔积为【答案】　B．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝【解析】　定积分S＝【答案】　D二、填空题．(·长春高二检测)定积分【解析】　由萣积分的几何意义知定积分所围成图形面积的相反数．所以【答案】　－．定积分【解析】　如图【答案】　．由直线x＝y＝x＝和曲线y＝x所圍成的曲边梯形将区间等分则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是．【解析】　将区间四等分得到个小区间：S＝【答案】　三、解答题．(·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶在时刻t的速度为v(t)＝t＋(单位：kmh)那么该汽车在≤t≤(单位：h)这段时间内行驶的路程s(單位：km)是多少？【解】　在时间区间上等间隔地插入n－个分点将它分成n个小区间记第i个小区间为于是Δsi≈Δs′i＝vsn＝从而得到s的近似值s≈sns＝^o(lim,sdo(n→∞))eqo(lim,sdo(n→∞))sn＝^o(lim,sdo(n→∞))eqo(lim,sdo(n→∞))所以这段时间内行驶的路程为km．(·济南高二检测)已知()()【解】　()()＝()能力提升．与定积分AB．CD．【解析】　当x∈(π时sinx≥当x∈甴定积分的性质可得＝＝【答案】　C．若A．B．C．D．【解析】　由得故正数a的最大值为【答案】　A．计算定积分【解析】　由于＝【答案】　π．已知函数f(x)＝【解】　由定积分的几何意义知由定积分的性质得＝π－

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