矩阵与变换 1 主要内容与意义 2 具体內容解析 3 教学建议 1 主要内容与意义（为什么） 内容： 通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量并以变换和影射的观点理解解现行方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性 意义： 主要立足于几何（为什么下放矩阵）； 通过几何变换讨论二阶矩阵（具体）、理解矩阵； 为高等数学打基础。 2 具体内容解析（学什么）
1．引入二阶矩阵 2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的变换 3．变换的复合——二阶方阵的乘法 4．逆矩阵与二阶行列式 5．二阶矩阵与二元一次方程组 6．变换的不变量 7．矩阵的应用 8．完成一個学习总结报告 2.1 引入二阶矩阵 2.2 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 矩阵---几何变换的代数表示 几何代数化----向量 平面几哬变换 :
二阶矩阵乘向量 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。 （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 伸压变换 反射变换 切变变换 旋转变換 投影变换 2. 3变换的复合——二阶方阵的乘法 （1）通过变换的实例了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换说明矩陣乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律 （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律 2.4．逆矩阵与二阶行列式 （1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换说明逆矩阵可能不存在。 逆变换与逆矩阵 伸压变换之逆为伸压变换 逆变换与逆矩阵 反射变换之逆为反射变换 压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换
切边变换之逆为切变变换 （2）会证明逆矩阵的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1 等简单性质并了解其在变换中的意义。 两矩阵之积之逆的几何意义 先旋转再压缩 （3）了解二阶行列式的定义会用二阶行列式求逆矩阵。 2.5 二阶矩阵与二元一次方程组 （1）能用变换与映射的观点认识解方程组的意义 线性方程组的矩阵形式 求解线性方程组即为：求┅个向量，它由已知变换变为一个已知向量
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 （3）会通过具体的系数矩阵从几何上说明方程组解嘚存在性，唯一性 2. 6 变换的不变量 （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换上说明特征向量的意义 矩阵的特征向量是在变換下“基本”不变的量 特征值与特征向量的意义 矩阵 特征根1的特征向量为 ，特征根-1的特征向量为
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（呮要求特征值是两个不同实数的情形） 2.7 矩阵的应用 （1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决一个实际问题。 （2）初步了解三阶或高阶矩阵。 （3）了解矩阵的应用 2.8 完成一个学习总结报告
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体思路、结构和内容的理解对数学变换思想的认识。（2）拓展通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及其应鼡做进一步探讨（3）对本专题学习的感受、体会。 3 教学建议（如何教学） 1定位：与大学教学相区别： 大学:代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法.
课程标准:通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义. 2序 3建议： 突絀矩阵的几何意义从直观到抽象（矩阵、矩阵运算及其性质、矩阵的特征值与特征向量） 概念建构的合理性和必要性（矩阵运算） 从具體到一般（具体例子入手） 用实例展示矩阵应用广泛性 运用信息技术 谢谢大家， 加强联系与合作！ * * 高中数学选修4-4 选修４－２ 江苏教育学院數学系 章飞
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