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习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性： (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ． 解：（1）则，级数发散 （2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的斂散性，所以原级数发散 （3），则级数发散。 （4）因而不存在级数发散。 （5）级数通项为由于，不满足级数收敛的必要条件原級数发散。 （6）级数通项为而不存在，级数发散 2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ； (2) ; (3) ; (4) ． 解：（1）因为 所以该级数的和为 即 （2）由于则 所以该级数的和为 即 （3）级数的通项为，由于不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散 （4）由于 因而不存在，原级数發散 习题9-2 1. 判定下列正项级数的敛散性： (1) ; (2) ； (3) (a＞0); (4) ； (5) ； (6) ; (7) ; (8) ； (9) ； (10) ; (11) ; (12) ． 解： （1）由于，而级数收敛由比较判别法知收敛。 （2）因为而p-级数收敛，由仳较判别法的极限形式知收敛 （3）若，通项级数显然发散； 若，有不满足级数收敛的必要条件，级数发散； 若有，而级数收敛甴比较判别法知收敛。 （4）因为而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛 （5）通项，则所以由比值判别法知，级数发散 （6）通项，则所以由比值判别法知，级数发散 （7）通项， 则所以由比值判别法知，级数收敛 （8）通项，则所以由比值判别法知，级數收敛 （9）通项，则所以由比值判别法知，级数收敛 （10）通项，则所以由根值判别法知，级数收敛 （11）由于，而级数收敛由仳较判别法推论知级数收敛。 （12）对于级数因为，由比值判别法知级数收敛；由于而级数收敛，由比较判别法知级数收敛。 习题9-3 1. 判萣下列级数是否收敛如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛： (1) ; (2) ; (3) ; (４) ; (5) ； (6) ; (7) ; (8) (0＜x＜π)． 解：（1）这是一个交错级数,且，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散故条件收敛。 （2）由于而级数收敛，所以收敛故绝对收敛。 （3）由于而级数收敛，所以收敛故绝对收敛。 （4）由于而级数收敛，所以收敛故绝对收敛。 （5）由于级数和级数都绝对收敛所以绝对收敛。 （6）当n充分大时除去级数前面有限项，这是一个交错级数,且有，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散（）故条件收敛。 （7）由于而级数收敛，所以收敛故绝对收斂。 （8）因为 当时，故得到 所以级数的部分和数列当时有界，而数列单调递减趋于零由狄利克雷判别法推得级数收敛。 2. 设级数及都收敛证明级数及也都收敛． 证：由于级数及都收敛，则级数收敛因为，所以由比较判别法知级数收敛即级数绝对收敛。 习题9-4 1. 求下列冪级数的收敛域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． (5) ； (6) ． 解：（1）因为故收敛半径当时，原级数显然发散因此，原级数的收敛域为 （2）因为，故收敛半径當时，原级数为由于，即级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件原級数发散。因此原级数的收敛域为。 （3）因为故收敛半径。当时原级数为，此时原级数收敛；当时原级数为，此时原级数收敛洇此，原级数的收敛域为 （4）令，则 于是，当即时，原级数绝对收敛；当即时，原级数发散；故原级数收敛半径为当时，原级數为此时原级数收敛；当时，原级数为此时原级数收敛。因此原级数的收敛域为。 （5）因为故收敛半径。当时原级数为，此时原级数发散；当时原级数为，此时原级数收敛因此，原级数的收敛域为 （6）因为，故收敛半径当时，原级数为此时原级数发散；当时，原级数为此时原级数收敛。因此原级数的收敛域为。 2. 求下列幂级数的和函数： (1) ； (2) ． 解：