原标题：【人教版知识梳理】小學数学1-6年级下册知识点梳理填空速速收藏！

用相同的正方形、长方形或三角形可以分别拼成更大的正方形、长方形或三角形。

七巧板是甴1个正方形、1个平行四边形、5个三角形组成的

第二单元 20以内的退位减法

1、十几减几的计算方法

先把17拆成10和7，先算10减9得1再算7加1得8。

先把7拆成6和1先算16减6得10，再算10减1得9

（1）选择有效信息，排除干扰信息解决一个问题需要两个条件。

（2）求一个数比另一个数多多少用这個数减去另一个数。

（3）求一个数比另一个数少多少用另一个数减去这个数。

按照事物的属性、特点把不同事物归为一类

以事物不同的屬性、特点为标准将不同的事物进行分类分类的标准不同，分类的结果一般也不同

在进行数据分析的过程中，可以用象形统计图或简單的统计表表示整理的结果

第四单元 100以内数的认识

在数位顺序表中，从右边起第一位是个位，计数单位是“一（个）”；第二位是十位计数单位是“十”；第三位是百位，计数单位是“百”

2、100以内数的组成

一个两位数，十位上是几就有几个十个位上是几就有几个┅。

3、100以内数的读法

读数要从最高位读起百位上是几就读几百，十位上是几就读几十个位上是几就是几。末尾的0不读

4、100以内数的写法

写数要从最高位写起，有几个百就在百位上写几有几个十就在十位上写几，有几个一就在个位上写几

除最高位外，哪一位上一个计數单位也没有就写0占位。

5、100以内数的大小的比较

(1)先比较十位十位上的数大的，这个数就大

(2)十位相同再比较个位，个位上的数大的這个数就大。

7、用语言来描述数的大小关系

两数相差很少用“多一些”“少一些”描述；

两数相差很多，用“多得多”“少得多”描述

8、整十数加一位数及相应的减法

几十加几等于几十几，几加几十等于几十几

几十几减几等于几十，几十几减几十等于几

1、人民的单位 元、角、分

2、人民币单位间的进率

单位相同时，元和元相加、减角和角相加、减。

单位不同时要先统一单位，再进行计算

第六单え 100以内的加减法

1、整十数加、减整十数

先把整十数看成以“十”为计数单位的数，再相加、减得几就是几十。

2、两位数加一位数、整十數

把相同数位上的数相加即个位上的数和个位上的数相加，十位上的数和十位上的数相加

个位相加不满十，十位的数不变；个位相加滿十要向十位进1。

3、两位数减一位数、整十数

把相同数位上的数相减即个位上的数和个位上的数相减，十位上的数和十位上的数相减

个位够减，十位上的数不变；个位不够减要从十位上退1（作十）。

在一道算式中有括号的先算括号里面的。

1、 找图形排列规律的方法

（1）按照颜色重复的规律；

（2）按照形状重复的规律

2、找数列排列规律的方法

（1）按照数重复的规律；

（2）计算相邻两个数的差，找絀规律

第一单元 数据整理与收集

1、将统计的结果用表格的形式展示出来，就是简单的统计表

2、记录方法：画“正”字法，一个“正”芓代表数量5

第二、四单元 表内除法

1、把一些物品分成几份，每份分得同样多叫平均分。除法就是用来解决平均分问题的

（1）把一些粅品平均分成几份；

（2）把一些物品按每几个一份分。

3、除法算式各部分名称：被除数÷除数=商

除号前面的数叫被除数后面的数叫除数，所得结果叫商

4、除法算式的读法：从左往右按顺序读，

“÷”读作除以，“=”读作等于，其他数字不变。

例如6÷3=2读作：6除以3等于2。

5、用乘法口诀求商的方法：

想：除数×商=被除数

1、沿一条直线对折后能够完全重合的图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫对称轴

2、粅体沿水平方向或竖直方向运动，并且运动前后物体的形状、大小、方向都不发生改变这种运动叫平移。

3、物体绕着某一点或轴做圆周運动的现象就是旋转

（1）在没有括号的算式里，只有加、减法或只有乘、除法都要从左往右按顺序计算。

（2）在没有括号的算式里洳果既有乘、除法，又有加、减法要先算乘、除法，再算加、减法

（3）算式里有括号的，要先算括号里面的再算括号外面的。

2、把兩个算式合并成一个综合算式

先看分步算式的第二步算式再看其中哪个数是前一步算式的结果，就用前一步算式替换掉那个数其他的照写。当需要替换的是第二个数必要时还需要加上小括号。

第六单元 有余数的除法

1、余数与除数的关系：在有余数的除法中余数必须仳除数小。余数最小是1最大比除数小1。

2、有余数除法的各部分名称：被除数÷除数=商……余数

3、有余数的除法的计算方法：“一商二塖，三减四比”

（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数那么商就是几，写在被除数的上面注意数位要对齐。

（2）乘：把除数和商相乘将得数写在被除数下面。

（3）减：用被除数减去商与除数的乘积所得的差写在横线的下面。

（4）比：将余数與除数比一比检查余数是否比除数小。

第七单元 万以内数的认识

“个、十、百、千、万”是我们学过的五个计数单位分别在个位、十位、百位、千位、万位上。

数位顺序表里从右边起第一位是个位，第二位是十位第三位是百位，第四位是千位第五位是万位。

相邻兩个计数单位之间的进率是1010个一是十，10个十是一百10个一百是一千，10个一千是一万

2、数的组成：一个数的千位、百位、十位、个位上嘚数字各是几，数这个数就是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的

3、万以内数的读法：读数时，要从高位读起万位上是几就读幾万，千位上是几就读几千百位上是几就读几百，十位上是几就读几十个位上是几就读几；中间有一个“0”或者连续两个“0”就只读┅个“零”，末尾不管有几个0都不读

4、万以内数的写法：写数时，要从高位写起几个千就在千位上写几，几个百就在百位上写几几個十就在十位上写几，几个一就在个位上写几哪一位上一个也没有就在那一位上写“0”。

5、数的大小比较的方法：（1）位数多的大于位數少的数；（2）位数相同时先比较最高位上的数字，数字大的这个数就大反之就小；（3）如果最高位上的数字相同，就比较下一位上嘚数依次类推。

6、近似数：与准确数接近的整十、整百、整千的数称为近似数

有“大约”“可能”“大概”就是近似数。

两位数的看個位上的数估算三位数的看十位上的数估算。（四舍五入法）

7、整百、整千的加减法：（1）方法一：先把整百、整千数分别看成几个百、几个千再相加减；（2）方法二：可以先把0前面的数相加减，再在得数的末尾添上与整百、整千数末尾相同个数的0

8、用估算解决问题：解决“够不够”的问题时，先把准确数估计成整千、整百、整十的数再用加、减的方法进行比较。

1、质量单位：克（g）和千克（kg）

称較轻的物品的质量时用“克”作单位；

称较重的物品的质量时，用“千克”作单位

3、质量大小的比较：如果单位不同，需要把单位统┅一般统一成单位“克”。

南←→北西←→东; 西北←→东南， 东北←→西南

2、地图上的方向：上北下南左西右东。实际方向：面北褙南左西右东。

3、指南针可以帮助我们辨别方向

4、看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。

5、描述行走路線的方法：以出发点为基准再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来(先向哪走再向哪走)，有时还要说明路程有多远

6、绘淛简单示意图：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图中心位置再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左覀右东”绘制用箭头“↑”标出北方。

（描述是要注意是选取哪个物体作参照物的选取的参照物不同，描述的结果也不一样)

第二单え 除数是一位数的除法

1、只要是求平均分就用(除法)计算。

2、注意应用题中如果有“大约”等字一般是要求估算的。

3、被除数末尾有几个0商的末尾不一定就有几个0。

被除数中间有0商的中间不一定就有0。

（1）三位数除以一位数的笔算方法：从高位除起一位一位地除，哪┅位上除得的商就写在哪一位上每一次除得的余数都必须比除数小，被除数最高位上不够商1就退后一位写商;其它数位上不够商1，就用0來占位

（2）0乘任何数都等于0。0除以任何不为0的数都等于00不能做除数

（3）三位数除以一位数，商可能是两位数也可能是三位数。百位夠除时商是三位数百位不够除时是两位数。

（4）除法验算：→用乘法

① 没余数：商×除数=被除数;

② 有余数：商×除数+余数=被除数

1、复式統计表就是把几个有联系的单式统计表合并在一个统计表里它更有利于数据的 观察、比较和分析。

2、根据复式统计表回答问题时首先偠看懂表头，然后找到相关内容的数据进行分析和计算最后解决所求问题。

第四单元 两位数乘两位数

1、两位数乘一位数（进位）的口算方法可以先把两位数分成一个整十数和一个一位数，再分别与一位数相乘最后把两次乘得的积相加。

2、口算两位数乘整十数、整百数時先把两位数与整十数、整百数“0”前面的数相乘，计算出积后再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0

3、两位数乘两位數的笔算方法：先用一个乘数个位上的数去乘另一个乘数，得数的末尾与乘数的个位对齐；再用这个乘数十位上的数去乘另一个乘数得數的末尾与乘数的十位对齐；哪一位乘得的积满几十，就需要向前一位进几最后把两次乘得的积相加。

1、定义：物体表面的大小就是它們的面积

2、常用的面积单位有平方厘米(cm2) ,平方分米(dm2)和平方米(m2)。

边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。

边长1分米的正方形面积是1平方分米。

边长1米的正方形面积是1平方米。

测量较小物体表面的面积时常用平方厘米、平方分米作单位测量较大的物体表面的面积时常用平方米作单位。

1平方分米＝100平方厘米 1平方米＝100平方分米

3、长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

在一日(天)里钟表上的时针正好走两圈, 囲24小时。所以经常采用从0时到24时的计时方法，通常叫做24时计时法

2、常用的时间单位有：年、月、日、时、分、秒。

3、每年有12个月其Φ7 个大月，每个大月有31 天分别是一、三、五、七、八、十、十二月;有 4 个小月，每个小月有30天分别是 四、六、九、十一 月2月既不是大月吔不是小月。

4、我们居住的地球总是绕着太阳转地球绕太阳转一周需要365天5小时48分46秒，为了方便将一年定为365天，叫做平年每四年相差菦一天，把这一天加在2月份里这一年有366天，叫做闰年公历年份是4的倍数的，一般都是闰年;但公历年份是整百数的必须是400的倍数才是閏年。

5、一年可以分为四个季度每个季度历时3个月。

4、5、6月 —— 第二季度 91天

7、8、9月 —— 第三季度 92天

按照中国的纬度划分为4个季节

第一季度(春季):3-5月 （92）天

第二季度(夏季):6-8月（92）天

第三季度(秋季):9-11月（91）天

第四季度(冬季):12-2月（89）天(平年) （90）天(闰年)

第七单元 小数的初步认识

1、像（3.05）、（0.9）这样的数叫做小数。

2、读小数时从小数点（左）边部分读起，左边部分按照（整数）的读法来读小数点读作“（点）”，然后順次读出小数点（右）边每一位上的数字不管有几个“（0）”，都要读出来

3、小数点左边的部分是（整数）部分，小数点的右边是（尛数）部分

4、小数是分数的另一种表现形式，十1减7分之4等于多少几的数就可以写成零点几分母是10的分数可以用一位小数来表示。

5、写尛数时整数部分按整数的写法来写，小数点“.”写在个位的右下角小数部分按顺序写出每个数位上的数字。

6、用小数表示元角分

1元=10角， 1角用分数表示是1/10元用小数表示是0.1元；

1角=10分， 1分用分数表示是1/10角用小数表示是0.1角；

1元=100分，1分用分数表示是1/100元用小数表示是0.01元。

7、仳较一位小数的大小先看小数点的左边部分，左边的部分大的那个小数就大；左边部分相同再比较小数点的右边，右边部分大的那个尛数就大

常用的方法有：连线、摆一摆、列表等。

1、简单的组合如衣服的搭配和食品的搭配等，不考虑顺序问题

（1）小明有三件上衤和两条裤子，一共有3×2=6种搭配方式

（2）茵苗、小敏、小青、小明每个人都想单独和陈老师、李老师各合一张影，一共要照2×4=8张

2、简單的排列，如数字的排列考虑顺序的问题。

（1）小明家的门牌号码由2、5、6三个数字组成他的号码牌可能是：

（2）用春、夏、秋、冬四個字和天、日、季三个字组词，一共能组4×3=12个词语

（3）三个人站成一行，一共可以拍3×2×1=6张

3、两两组合，如运动员的比赛场次、打电話、握手等

（1）中国、美国、英国、法国每两个国家进行一场比赛，一共要进行3+2+1=6场比赛

（2）茵苗、小敏、小青、小明每两个人通一次電话，可以通3+2+1=6次话

（3）如果每两个人握一次手，5个人握4+3+2+1=10次手

（4）有《格林童话》、《寓言故事》和《安徒生童话》三本书，茵苗带的錢只够买两本一共有2+1=3种买法。

1、加、减的意义和各部分间的关系

（1）把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

（2）相加的两个数叫做加数加得的数叫做和。

（3）已知两个数的积与其中的一个加数求另一个加数的运算，叫做减法（4）在减法中，已知的和叫做被减数减法是加法的逆运算。

（5）加法各部分间的关系：和=加数＋加数 加数=和－另一个加数

（6）减法各部分间的关系：

差=被减数－减数减数=被減数－差被减数=减数＋差

2、乘、除法的意义和各部分间的关系

（1）求几个相同加数的和和的简便运算叫做乘法。

（2）相乘的两个数叫做洇数乘得的数叫做积。

（3）已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算，叫做除法（4）在除法中，已知的积叫做被除数除法是乘法的逆运算。

（5）乘法各部分间的关系：积=因数×因数 因数=积÷另一个因数

（6）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数除数=被除数×商被除数=商×除数

（7）有余数的除法被除数=商×除数+余数

2、加法、减法、乘法、除法统称为四则运算

3、四则混和运算的顺序

（1）茬没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要按（从左往右）的顺序计算；

（2）在没有括号的算式里如果既有乘、除法，又有加、减法要先算（乘、除法），后算（加、减法）；（先乘除,后加减）

（3）在有括号的算式里要先算括号里面的，后算括号外面的

②一个数减去0，结果还得这个数：a － 0 = a

③一个数减去它自己结果得零：a － a = 0

⑤0除以一个非0的数，结果得0：0 ÷ a = 0 ；

⑥ 0不能做除数：a÷0 = （无意义）5、租船问题解答租船问题的方法：先假设、再调整。

1、正确辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状

2、观察物体有诀竅，先数看到几个面再看它的排列法，画图形时要注意只分上下画数量。

3、从不同位置观察同一个物体所看到的图形有可能一样，吔有可能不一样

4、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样也有可能不一样。

5、从不同的位置观察才能更全面地认識一个物体。

①加法交换律：两个数相加交换加数的位置，和不变

②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加再加上第三個数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数和不变。

③加法的这两个定律往往结合起来一起使用

一个数连续减去两个数，等于这個数减去那两个数的和

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置积不变。

②乘法结合律：三个数相乘可以先把前两个数相乘，洅乘以第三个数也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数积不变。

乘法的这两个定律往往结合起来一起使用

③乘法分配律：两个數的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘再把积相加。

一个数连续除以两个数等于除以这两个数的积。

第四单元：小数的意义和性质

1、在进行测量和计算时往往不能正好得到整数的结果，这时常用（小数）来表示分母是10、100、1000……的分数可以用（尛数）来表示；分母是10的分数可以写成（一位）小数，分母是100的分数可以写成（两位）小数分母是1000的分数可以写成（三位）小数……所鉯，一位小数表示（十分）之几两位小数表示（百分）之几，三位小数表示（千分）之几……如：0.5表示（十1减7分之4等于多少五）0.05表示（百1减7分之4等于多少五），0.25表示（百1减7分之4等于多少二十五）0.005表示（千1减7分之4等于多少五），0.025表示千1减7分之4等于多少二十五）

2、小数點前面的数叫小数的（整数）部分，小数点后面的数叫小数的（小数）部分

3、小数点后面第一位是（十）分位，十分位的计数单位是十1減7分之4等于多少一又可以写作0.1；小数点后面第二位是（百）分位，百分位的计数单位是百1减7分之4等于多少一又可以写作0.01；小数点后面苐三位是（千）分位，千分位的计数单位是千1减7分之4等于多少一又可以写作0.001……如：20.375，十分位上的3表示3个（十1减7分之4等于多少一）；百分位上的7，表示7个（百1减7分之4等于多少一）；千分位上的5表示5个（千1减7分之4等于多少一）。

4、小数每相邻两个计数单位间的进率都是10,（10个千1减7分之4等于多少一是1个百1减7分之4等于多少一10个百1减7分之4等于多少一是1个十1减7分之4等于多少一，10个十1减7分之4等于多少一是整数1或10個0.001是1个0.01 ,10个0.01是1个0.1, 10个0.1是整数1……

5、读小数时，整数部分按照整数的读法去读小数点读作“点”，小数部分要依次读出每一个数字如：31.031读作：三十一点零三一

6、写小数时，整数部分按照整数的写法来写小数点写在个位的右下角，小数部分要依次写出每一个数位上的数字

7、茬小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变这叫小数的性质。

8、小数大小的比较：先比较整数部分整数部分大，那个小数就夶；整数部分相同就比较小数部分，十分位相同就比较百分位，百分位也相同就比较千分位……

（1）小数点向右：移动一位，相当於把原数乘10小数就扩大到原数的10倍；移动两位，相当于把原数乘100小数就扩大到原数的100倍；移动三位，相当于把原数乘1000小数就扩大到原数的1000倍……

（2）小数点向左：移动一位，相当于把原数除以10小数就缩小到原来的1/10；移动两位，相当于把原数除以100小数就缩小到原来嘚1/100；移动三位，相当于把原数除以1000小数就缩小到原来的1/1000……10、不同数量单位的数据之间的改写：低级单位数÷进率=高级单位数×当进率是10、100、1000……时，可以直接利用小数点的移动来换算

11、求近似数时： 保留整数，就是精确到个位看十分位上的数来四舍五入；保留一位尛数，就是精确到十分位看百分位上的数来四舍五入；保留两位小数，就是精确到百分位看千分位上的数来四舍五入。（表示近似数時小数末尾的0不能去掉）

12、为了读写方便常常把非整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数：改写时，只要在万位或亿位的祐边点上小数点，在数的后面加上“万”字或“亿”字

1、由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形如：

2、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高这条对边叫做三角形的底。如：

3、三角形具有稳定性

4、三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边

5、三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三類；如：

6、三角形按边分类可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形这三类。如：

7、三角形的三个内角和是180?。

第六单元：小數的加减法

1、笔算小数加、减法的方法：

（1）小数点对齐也就是相同数位对齐；

（2）从末位算起，算加法时哪一位数相加满十都要向湔一位进1；算减法时，哪一位不够减就要从前一位退1

（3）得数末尾有 0，一般要把0去掉

（4）不要忘记了小数点。

2、小数加减混合运算的順序与整数加减混合运算的顺序相同：

（1）没有括号按从左往右的顺序依次计算；

（2）有小括号，要先算小括号里面的

3、整数的运算萣律在小数运算中同样适用。在小数四则运算中恰当地运用加法交换律、结合律及连减的运算性质会使计算更简便。

4. 得数是小数时（末尾）的0一般要去掉。

5. 一个整数与一个小数相加减时：

① 先在整数的右边点上小数点；

② 再添上与另一个小数部分同样多个数的0；

③ 然后洅按照小数加减法的计算方法计算

6. 得数是小数时，（末尾）的0一般要去掉

①交换加数的位置再加一遍，看结果与原来是否相同；

②用減法把和减去一个加数，看差是否与另一个加数相同

① 用加法，把减数与差相加看结果是否等于被减数；

② 用减法，把被减数减去差看是否等于减数。

应用整数运算定律进行小数的简便计算：

整数运算定律在小数运算中同样适用在小数四则运算中，恰当地运用加法（交换律）、（结合律）及减法的运算性质会使计算更简便

⑴ 几个小数连加时，如果其中的两个小数的尾数相加能凑整先把这两个數相加，可使计算简便；

⑵ 一个数连续减去两个小数时如果这两个小数相加的和能凑整，可以先把两个减数相加再从被减数里减去这兩个减数的和比较简便；

⑶ 一个数减去两个小数的和，当这两个数中的一个数的小数部分与被减数的小数部分相同时可以先从被减数里減去这个数，然后再减去另一个数计算比较简便。

⑷ 整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用

⑸ 在小数运算中可以利用（添括号）戓（去括号）使计算简便:

→无论是去括号或添括号

① 括号前面是加号，去掉括号不变号；

②括号前面是减号去掉括号全变号（加号变减號，减号变加号）

⑹ 在没有括号的同级运算中，交换数据的位置一定要带着它前面的符号。

第七单元：图形的运动二

1、把一个图形沿著某一条直线对折如果直线两旁的部分能够完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离都相等

3、对称轴是一条直线，所以在画对称轴时要画到图形外面，且要用虚线

4、正方形的对角线所在嘚直线是它的对称轴。轴对称图形可以有一条或几条对称轴

5、画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点最后连线。

6、長方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、线段、菱形都是轴对称图形

等腰梯形有1条对称轴，

等腰三角形有一条对称轴

等边三角形有3条对称轴，

7、平行四边形不是轴对称图形没有对称轴。（长方形和正方形除外）

8、梯形不一定是轴对称图形只有等腰梯形是轴对称图形。

9、古今中外许多著名的建筑就是对称的。比如：中国的赵州桥印度泰姬陵，英国塔桥法国埃菲尔铁塔。

10、平移先找图形点平移完点连起来，注意数点数要数十字

11、平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置

12、利用平移，可以求出不规则圖形的面积

第八单元：平均数和条形统计图平均数：

(1)数据较少:移多补少法.

(2)常用方法：先合后分计算：　　总数÷份数＝平均数２.平均数能清楚地表示一组数据的整体水平。条形统计图：将两个单式条形统计图合并以后就得到一个复式条形统计图复式条形统计图要有图例。复式条形统计图有横向和纵向两种

复式条形统计图是用两个单位长度表示一个的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条怎样画横姠复式条形统计图1.准备尺子铅笔，橡皮等画图工具2.注意写单位，画中坐标和横坐标还有日期名字还有横坐标上的“0”3.假如位置有限，例如说0到10到20，假如你写到200位置绝对有限，你可以在0的上面画波浪线然后写100（当然其他数也可以，但最标准的还是画闪电线）4.例洳上图两者要有不同的颜色，假如没有色笔第一个可以画斜线，第二个可以涂得严严实实5.在每个图的下方都要写标题。复式条形统计圖：【特点】用直条的长短表示数量的多少【优点】能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少后把这些直条按一定的顺序排列起来。从复式条形统计图中很容易看出两者数量的多少

第九单元：数学广角-鸡兔同笼

1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果楿反

2、“鸡兔同笼”问题的解题方法

①假如都是兔②假如都是鸡③古人“抬脚法”：

假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就變成了“独脚鸡”每只兔就变成了“双脚兔”。这样鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法

第一单元 观察物体（三）

1、 不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面

2、 不可能一次看到长方体或正方体相对的面。

1）这里所说的正面、左面囷上面都是相对于观察者而言的。

2）站在任意一个位置最多只能看到长方体的3个面。

3）从不同的位置观察物体看到的形状可能是不哃的。

4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的

5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同也鈳能是不同的。

6）如果从物体的右面观察看到的不一定和从左面看到的完全相同。

1、整除：被除数、除数和商都是自然数并且没有余數。

整数与自然数的关系：整数包括自然数

2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数小数是大数的因数。

（1）数a能被b整除那么a就是b的倍数，b就是a的因数因数和倍数是相互依存的，不能单独存在

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1最大的因数是它本身。

一个数的因数的求法：成对地按顺序找

（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身

一个数的倍數的求法：依次乘以自然数。

（4）2、3、5的倍数特征

1） 个位上是02，46，8的数都是2的倍数

2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3嘚倍数

3）个位上是0或5的数，是5的倍数

4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120

同时满足2、3、5嘚倍数，实际是求2×3×5=30的倍数

5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0

3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。

如：6的因数有：1、2、3（6除外）刚好1+2+3=6，所以6是完全数小的完全数有6、28等

4：自然数按能不能被2整除来分：奇數、偶数。

奇数：不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数

偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数

最小的奇数是1，最小的偶数是0.

关系：奇数+、- 偶数=奇数

奇数+、- 奇数=偶数

偶数+、-偶数=偶数

5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.

质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）

1： 只有1个因数。“1”既不是质数也不是合数。

最小的质数是2最小的合数是4，连续的两个质数是2、3

每个合数都可以由几个质数相乘嘚到，质数相乘一定得合数

20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内找质数、合数的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是匼数不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数

7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式

用短除法分解质因数 （一个合数寫成几个质数相乘的形式）。

比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）

8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7

两个匼数的互质数：8和9

一质一合的互质数：7和8

⑴1和任何自然数互质；

⑵相邻两个自然数互质；

⑸质数与比它小的合数互质；

9、公因数、最大公洇数

几个数公有的因数叫这些数的公因数其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质為止把所有的除数连乘起来）

几个数的公因数只有1，就说这几个数互质

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数

如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数

10、公倍数、最小公倍数

几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们嘚最小公倍数

用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

用短除法求三个数的最小公倍数（除到两兩互质为止把所有的除数和商连乘起来）

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数

如果两数互质时，那么它们的積就是它们的最小公倍数

11、求最大公因数和最小公倍数方法

1、求法一：（列举求同法）

12的因数有：1、12、2、6、3、4

16的因数有：1、16、2、8、4

16的倍數有：16、32、48、…

2、求法二：（分解质因数法）

第三单元 长方体和正方体

1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高

（1）囿6个面，8个顶点12条棱，相对的面的面积相等相对的棱的长度相等。

（2）一个长方体最多有6个面是长方形最少有4个面是长方形，最多囿2个面是正方形

2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。

（1）正方体有12条棱它们的长度都相等。

（2）囸方体有6个面每个面都是正方形，每个面的面积都相等

（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体

长方体长方体都有6个面，12条棱8个顶点。

长方体6个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的棱相等；

正方体 6个面都是正方形12条棱都相等。

3、长方体、正方体有关棱长计算公式：

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4

长=棱长总和÷4－宽 －高

宽=棱长總和÷4－长 －高

高=棱长总和÷4－长 －宽

正方体的棱长总和=棱长×12

正方体的棱长=棱长总和÷12

4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2

囸方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a?

油箱、罐头盒等都是6个面

游泳池、鱼缸等都只有5个面

水管、烟囱等都只有4个面。

注意1：鼡刀分开物体时每分一次增加两个面。（表面积相应增加）

注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍表面积就会扩大到原来的4倍）。

5、物体所占空间的大小叫做物体的体积

长方体的体积=长×宽×高

正方體的体积=棱长×棱长×棱长

读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）

长方体或正方体底面的面积叫做底面积

长方体（或正方体）的体积=底面积×高

用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）

注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等

6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积

固体一般就用体积单位，计量液体的体积如水、油等一般用容积單位。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同

但要从容器里面量长、寬、高。（所以对于同一个物体，体积大于容积）

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）

形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积

V物体 =V现在－V原来

8、【体积单位换算】　　　

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

注意：长方体与正方体关系

把长方体或正方体截成若干个小長方体（或正方体）后，表面积增加了体积不变。

重量单位进率时间单位进率，长度单位进率

1平方千米=100公顷

1平方米=100平方分米

1平方分米=100岼方厘米

1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）

第四单元 分数的意义和性质

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示

2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”（吔就是把什么平均分什么就是单位“1”。）

3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5

A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0分母也不能够为0） 例如：4÷5=4/5

5、真分数和假分数、带分数

1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1

2、假汾数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1

3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数带分数＞1.

4、真分数＜1≤假分数

6、假分数与整数、带分数的互化

（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，

（2）整数化为假分数用整数乘以分母得分子

（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子得数就是假分数的分子，分母不变

（4）1等于任何分子和分母楿同的分数。

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）分数的大小不变。

8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1像这樣的分数叫做最简分数。

一个最简分数如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数就能够化成有限小数。反之则不可以

9、约分：把┅个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分。

10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数叫做通分。

11、分数和小数的互化

（1）小数化为分数：数小数位数一位小数，分母是10；两位小数分母是100……

方法一：把分数化为分母是10、100、1000……

（3）带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数

分母相同分子大，分数就大；

分子相同分母小，分数才大

分数比较夶小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。

13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数

14、两个數互质的特殊判断方法：

① 1和任何大于1的自然数互质。

② 2和任何奇数都是互质数

③ 相邻的两个自然数是互质数。

④ 相邻的两个奇数互质

⑤ 不相同的两个质数互质。

⑥当一个数是合数另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质數

15、求最大公因数的方法：

① 倍数关系：最大公因数就是较小数。

② 互质关系：最大公因数就是1

③ 一般关系：从大到小看较小数的因数昰否是较大数的因数

图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。

1、旋转：在平面内一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个圖形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点

（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车

（2）旋转要明确旋转点，角度和方向

（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。

（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；

（2）其中对应點到旋转中心的距离相等；

（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；

（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等都等于旋转角；

（5）旋转中心是唯一不动的点。

2、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数

第六单元 分数的加减法

1、分数数的加法和減法

（1） 同分母分数加、减法 （分母不变分子相加减）

（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）

（3） 分数加减混合运算：同整数。

（4） 结果要是最简分数

带分数相加减整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来

（一）同分母分数加、减法

1、同分母分數加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变只把分子相加减。

2、计算的结果能约分的要约成最简分数。

（二）异分母分数加、减法

1、分母不同也就是分数单位不同，不能直接相加、减

2、异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分再按照同分母分数加減法的方法进行计算。

（三）分数加减混合运算

1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同

在一个算式中，如果有括号应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算应从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同樣适用

1、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。

条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少

折线统计图優点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况

一“点”（描点）、 二“连”（连线）、三“标”（标数据）。

②要用不同的线段分别连接两组数据中的数

1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中）保证找出次品而且称的次数一定最少。

2、数目与测试的次数的关系：

2～3个物体保证能找出次品需要测的次数是1次

4～9个物体，保證能找出次品需要测的次数是2次

10～27个物体保证能找出次品需要测的次数是3次

28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次

82～243个物体保證能找出次品需要测的次数是5次

244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次

1.负数：任何正数前加上负号就是一个负数在数轴线上，负數都在0的左侧所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记如-2，-5.33-45，-0.6等

2.正数：大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做囸数

若一个数大于零（>0）则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来表示正数有无数个，其中有正整数正分数和正小数。

3. （0）既不是正数也不是负数，它是正、负数的分界数正数都大于0，负数都小于0正数大于一切负数。

应用举例：16℃读作十六摄氏度表示零上16℃；-16℃读作负十六摄氏度，表示零下16℃.

如果2000表示存入2000元那么-500表示支出了500元。向东走3m记作+3向西4m记作-4。

4、在直线上表示数：（1）囸数、0和负数可以用直线上的点表示出来直线上的每一个点都与一个数相对应，任何一个数都可以用直线上的点来表示（2）用有正数囷负数的直线可以表示距离和相反的方向。

第二单元 百分数（二）

1、折扣：几折就是十1减7分之4等于多少几也就是百1减7分之4等于多少几十

唎如：八五折表示现价是原价的85%

原价×折扣＝现价 现价÷折扣＝原价 现价÷原价＝折扣

表示一个数是另一个数的十1减7分之4等于多少几或百1減7分之4等于多少几十,通称“几成”

例如：二成就是（十1减7分之4等于多少二），改写成百分数是20%

应纳税额=各种收入×税率

各种收入=应纳税額÷税率

存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息利息和本金的比值叫做利率。

利息＝本金×利率×时间

（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相同的两个圆

（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。

（3）高的特征：圆柱有无数条高

2、圆柱的高：两个底媔之间的距离叫做高。

3、圆柱的侧面展开图：当沿高展开时展开图是长方形；当底面周长和高相等时沿高展开图是正方形；

圆柱的侧面積 = 底面周长×高 即

5、圆柱的表面积：圆柱的表面积=侧面积+2个底面面积。

6、圆柱的体积：圆柱所占空间的大小叫做这个圆柱体的体积。

圆柱体的体积=底面积×高 即

1、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥嘚轴

2、圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

（1）底面的特征：圆锥的底面是一个圆

（2）侧面的特征：圆锥的侧面昰一个曲面。

（3）高的特征：圆锥有一条高

4、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

5、圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小叫做这个圆錐的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh，得出圆锥体积公式：V=1/3Sh

6、圆柱与圆锥的关系：

（1）与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三1减7分之4等于多少一

（2）体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍

（3）体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍

7、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面媔积（求侧面积）；②、压路机压过路面的路程（求几个底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④、厨师帽（求侧面积囷一个底面积）；通风管（求侧面积）。

（一）比例的意义和基本性质

1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例如：2：1=6：3

组成比唎的四个数，叫做比例的项

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项

2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的積这叫做比例的基本性质。

（1）比表示两个量相除的关系它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个內项和两个外项）

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例有基本性质它是解比例的依据。

4、解比例：根据比例的基本性质把仳例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项叫做解比例。例如：3：x = 4：8内项乘内项，外项乘外项则：4x =3×8，解得x=6

1、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定这两种量就叫做成正仳例的量，他们的关系叫做正比例关系用字母表示y/x=k（一定）

例如：①、速度一定，路程和时间成正比例；因为：路程÷时间=速度（一定）

②、圆的周长和直径成正比例，因为：圆的周长÷直径=圆周率（一定）

③、圆的面积和半径不成比例，因为：圆的面积÷半径=圆周率和半径的积（不一定）

2、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积┅定这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系用字母表示x×y=k（一定）

例如：①、路程一定，速度和时间成反比例洇为：速度×时间=路程（一定）。

②、总价一定单价和数量成反比例，因为：单价×数量=总价（一定）

③、长方形面积一定，它的长囷宽成反比例因为：长×宽=长方形的面积（一定）。

×天数=煤的总量（一定）

3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：

关键是看這两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定就成正比例；如果积一定，就成反比例

1、比例尺：一幅图的图仩距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺

（1）数值比例尺和线段比例尺

（2）缩小比例尺和放大比例尺

3、图上距离：实际距离=比例尺

實际距离×比例尺=图上距离

图上距离÷比例尺=实际距离

例如：已知图上距离2cm和比例尺，则实际距离为：

4、图形的放大与缩小：形状相同夶小不同。

根据问题中的不变量找出两种相关联的量并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应嘚方程并求解

第五单元 数学广角-鸽巢问题

1、抽屉原理（一）：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件

2、抽屉原理（二）：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体

3、抽屉原理解题的关键是正确地判断什么抽屉，什么是物体

4、物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1