2.5.2求数列前n项和知识的运用

上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式,从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法,在此基础上,这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量,将两个公式结合起来,已知其中三个量可求另两个量,即已知a1,a n,q,n,S n五个量中的任意三个,就可以求出其余的两个量,这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大,训练要控制难度和复杂程度,要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容

求数列前n项和,不仅仅是数学中的数列知识的演绎,更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如,教育储蓄问题、住房贷款问题等等,都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用,使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程,探索并掌握其中的一些基本的数量关系,感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用,在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时,在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响,充分发挥数学的教育功能

教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间,明确指出:计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述,又可用于数列求和.从这里我们应该认识到,教材的设计和安排给学生和教

师都留下了一定的空间,这个空间需要我们把握好,充实好.因此,这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习,使学生对一般数列的求和有个简单的认识

数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等),这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和

多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间

教学重点 1.求数列前n项和知识的灵活运用

2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题

教学难点运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

1.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一;

2.用等比数列前n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题;

3.将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题

1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;

2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会;

3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练

1.通过数学本身知识的演绎推理和运算,提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力;

2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能;

3.在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会,形成科学的世界观和价值观

师你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗?

生根据自己所知道的,说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解

师 出示投影胶片1:银行关于教育储蓄的管理办法(节选) 管理办法

第七条 教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元,本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额,分月存入,中途如有漏存,应在次月补齐,未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理

第八条 教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息;六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息

第十一条 教育储蓄逾期支取,其超过原定存期的部分,按支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税

第十二条 教育储蓄提前支取时必须全额支取,提前支取时,储户能提供“证明”的,按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税;储户未能提供“证明”的,按实际存

期和支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.

师 着重引导学生注意关键的内容

师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题,其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容

师 出示投影胶片2:课本第70页B 组题第4题:

(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元?

(2)依教育储蓄的方式,每月存a 元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元?

(3)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元?

(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元,每月应存入多少元?

(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a 万元,每月应存入多少元?

(6)依教育储蓄方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是到了4年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?

(7)依教育储蓄方式,原打算每月存a 元,连续存6年,可是到了b 年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支

(8)不用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存100元,6年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较.

师 要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的:

若每月固定存a 元,连续存n 个月,则计算利息的公式为2)1(n n a ×月利率

师 你能解释这个公式的含义吗?

生 独立思考、合作交流、自主探究

师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q ,

这个数列的项不正是依次月数的利息数?

这个数列具有什么特征呢?

师 用我们的数学语言来说,这是个首项为a q ,公差为a q 的等差数列,而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道,银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息――利滚利)计算的

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2.5.2 求数列前 n 项和知识的运用 从容说课 上节课师生共同分析探究了等比数列的前 n 项和公式， 从多种角度探索了等比数列前 n 项和公式的推导方法， 在此基础上，这节课会进一步将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能 等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量， 即已知 a1,an,q,n,Sn 五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的 难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的 内容 求数列前 n 项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数 列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列 知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其 中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多 地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发 挥数学的教育功能 教材例题 3 设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学 生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教 师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和 练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识 数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法 对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和 多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间 教学重点 1.求数列前 n 项和知识的灵活运用 2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题 教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，利用公式知三求一； 2.用等比数列前 n 项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题； 3.将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题 二、过程与方法 1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学； 2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会； 3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练 三、情感态度与价值观 1.通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能 力； 2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能； 3. 在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值 观 教学过程 导入新课 师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？ 生 根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解 师 出示投影胶片 1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选) 管理办法 第七条 教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为 50 元，本金合计最 高限额为 2 万元.开

导读：??数列的分类数列???数列的通项公式?函数角度理解?的概念???数列的递推关系，一、典型题的技巧解法1、求通项公式，知识框架??数列的分类数列???数列的通项公式?函数角度理解?的概念???数列的递推关系????等差数列的定义an?an?1?d(n?2)??????等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d???等差数列?nn(n?1)?等差数列的求和公式S?(a?a)?na?d?n1n1?

?求和?倒序相加求和????累加累积????归纳猜想证明??分期付款?数列的应用???其他?掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握

了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

上式两边同乘以2得2an+1=2an+2则{2an}是公差为2的等差数列。

2．数列求和问题的方法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=n(n?1)个奇数，

21∴最后一个奇数为：1+[

因此所求数列的前n项的和为

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法 1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】 等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l）=f（k）

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。 分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解 ∵依题意可知q≠1。

此题还可以作如下思考：

【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：a，b，c顺次成等比数列。

∴b2=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）

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