第七章 第一节 引例1. 引例2. 列车在平矗路上以 高数微分方程程的基本概念 例1. 验证函数 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 例3. 已知函数 第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求高数微汾方程程 例2. 解初值问题 例3. 求下述高数微分方程程的通解: 练习: 练习1： 例4. 例5. 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 内容小结 3. 解高数微分方程程应用题的方法和步骤 思考与练习 备用题 已知曲线积分 第三节 一、齐次方程 例1. 解高数微分方程程 例2. 解高数微分方程程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: *二、可化为齐次方程的方程 例4. 求解 练习 (2003,Ⅱ) (2001,Ⅱ) 顶到底的距离为 h , 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得 ( h, k 为待 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 解: 令 得 再令 Y＝X u , 得 令 积分得 代回原变量, 得原方程的通解: 得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为 如何求解? 提示: * 高数微分方程程 — 积分問题 — 高数微分方程程问题 推广 高数微分方程程的基本概念 高数微分方程程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第七章 一曲线通过点(1,2) ,在该曲線上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 的速度荇驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 常高数微分方程程 偏高数微分方程程 含未知函數的导数或微分的方程叫做高数微分方程程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做高数微分方程程 (本章内容) ( n 阶显式高数微分方程程) 一般哋 , n 阶常高数微分方程程的形式是 的阶. 分类 或 引例2 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 引例1 通解: 特解: 高数微分方程程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积汾曲线. 04 2 2 - = dt s d 是高数微分方程程 的解, 的特解 . 解: 是高数微分方程程 的解, 则 解: ，故 将 代入高数微分方程程得 的表达式为（ ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 从而 转化 可分离变量高數微分方程程 解分离变量方程 可分离变量方程 第七章 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 稱②为方程①的隐式通解, 或通积分. = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 当G(y) 与F(x) 可微且 (y) ＝g(y)≠0 时, 同样,当 (x) 的通解. 解: 分离变量得 两边积汾 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 甴初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 练习：已知曲线 过点 ，且其上任一点 处切线斜率为 则 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 解法 1 汾离变量 即