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在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P()，(为自然数).（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC的相似线（其中⊥BC，∥AC），此外还有_______条（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当_______时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的.
题型：填空题难度：中档来源：福建省中考真题
(1)1；（2）或或
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得..”主要考查你对&&相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得..”考查相似的试题有：
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线性代数问题：A相似于对角D,即P^-1AP=D,怎么证明A^-1=PD^-1P^-1?我明白A^k=PD^kP^-1的证明过程.可是k=-1时,也就是 P^-1AP=D,得到A=PDP^-1,所以A^-1=[PDP^-1]^-1.为什么A^-1不等于P^-1D^-1P,而等于PD^-1P^-1呢?
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注意求逆的时候有一个反序的问题(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}
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扫描下载二维码& （2016o杭州一模）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）
本题难度：0.40&&题型：选择题
（2016o杭州一模）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（-m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，-3am+6a），以下说法：①m=3；②当∠APB=120°时，a=；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥正确的是（　　）
A、①②B、③④C、①②③D、①②③④
来源：2016o杭州一模 | 【考点】二次函数综合题．
二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表所示：
…通过分析表格数据，以下结论不正确的是（　　）
A、二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线=1B、当x=-1时，对应的函数值y=-5C、该抛物线开口向上，函数有最小值-9D、其图象与x轴、y轴都只有一个交点，分别为（-2，0）（0，-8）
已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变量x的对应值如下表，则下列说法正确的是（　　）
A、当x≤0时，y随x的增大而减少；当x＞0时，y随x的增大而增大B、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧C、二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点的纵坐标为-2D、二次函数y=ax2+bx+c有最小值，且最小值是-8
下列说法中，错误的是（　　）
A、二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是开口向上的抛物线B、二次函数y=ax2+1（a≠0）的图象必在x轴上方C、二次函数图象的对称轴是y轴或与y轴平行的直线D、二次函数图象的顶点必在图象的对称轴上
关于二次函数y=a（x+1）2的图象，下列说法中，正确的是（　　）
A、是一条开口向上的抛物线B、顶点坐标为（1，0）C、可以由二次函数y=ax2的图象向上平移1个单位得到D、可以由二次函数y=ax2的图象向左平移1个单位得到
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o杭州一模）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（-m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，-3am+6a），以下说法：①m=3；②当∠APB=120°时，a=36；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和②式将两式相减即可得到m=a+ba即可得到C（03a-3b）从而得到c=3a-3b代入②式就可解决问题②设抛物线的对称轴与x轴的交点为G则有PG⊥x轴只需求出点P的坐标就可解决问题③在第一象限内作∠MBA=120°且满足BM=BA过点M作MH⊥x轴于H如图1只需求出点M的坐标然后验证点M是否在抛物线上就可解决问题④易知点N在抛物线上且△ABN为直角三角形时只能∠ANB=90°此时点N在以AB为直径的⊙G上因而点N在⊙G与抛物线的交点处要使点N存在点P必须在⊙G上或⊙G外如图2只需根据点与圆的位置关系就可解决问题．
【解答】解：①∵点A（-m0）、B（10）在抛物线y=ax2+bx+c上∴am2-bm+c=0①a+b+c=0②由①-②得am2-bm-a-b=0即（m+1）（am-a-b）=0．∵A（-m0）与B（10）不重合∴-m≠1即m+1≠0∴m=a+ba∴点C的坐标为（03a-3b）∵点C在抛物线y=ax2+bx+c上∴c=3a-3b代入②得a+b+3a-3b=0即b=2a∴m=a+ba=3故①正确②∵m=3∵A（-30）∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x-1）则y=a（x2+2x-3）=a（x+1）2-4a∴顶点P的坐标为（-1-4a）．根据对称性可得PA=PB∴∠PAB=∠PBA=30°．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G则有PG⊥x轴∴PG=AGotan∠PAG=2×33=233∴4a=233∴a=36故②正确③在第一象限内作∠MBA=120°且满足BM=BA过点M作MH⊥x轴于H如图1在Rt△MHB中∠MBH=60°则有MH=4sin60°=4×32=23BH=4cos60°=4×12=2∴点M的坐标为（323）当x=3时y=36（3+3）（3-1）=23∴点M在抛物线上故③正确④∵点N在抛物线上∴∠ABN≠90°∠BAN≠90°．当△ABN为直角三角形时∠ANB=90°此时点N在以AB为直径的⊙G上因而点N在⊙G与抛物线的交点处要使点N存在点P必须在⊙G上或⊙G外如图2则有PG≥2即4a≥2也即a≥12故④正确．故选D．
【考点】二次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o杭州一模）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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