1、求arctanx带皮亚诺余项的麦克劳林公式时就可以不要写明-1＜x＜1的范围
答：不必，而且这样写是错的arctanx在x=0为中心的任意大小的邻域(-r,r)内各阶导数都连续。 
2、如果写成拉格朗日余項是因为其是有限项所以不要范围如果是写成级数就需要范围？
从本质上看泰勒公式中，对于拉格朗日余项无论是几阶，无论在什麼范围都是成立。
在泰勒级数中没有拉格朗日余项，实际上要求在一定范围（即收敛域）在n趋于无穷大时拉格朗日余项趋于0。这个范围与泰勒公式就不一定是一样的了
例如f(x)=arctan的麦克劳林公式，在任意范围内都成立
 麦克劳林级数只在内[-1,1]收敛。
 
3、把arctanx写成幂级数后x的范围昰(-1,1)那以外的范围就不能展开
答：首先把arctanx写成幂级数必须具体指出麦克劳林级数。
arctanx 在[-1,1]外不能展开为麦克劳林级数至于能不能展开成x-a的幂級数那是另一个问题了。

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

正切函数y=tanx在开区间（x∈(-π/2,π/2)）的反函数记作y=arctanx 或 y=tan-1x，叫做反正切函数它表示(-π/2,π/2)上正切值等于 x 的那个唯一确定的角，即tan(arctan x)=x反正切函数的定义域为R即(-∞，+∞)反正切函数是反三角函数的一种。

由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系所以不存在反函数。注意这里选取是正切函数的一个单调区间而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的，因此反正切函数是存在且唯一确定的。

引進多值函数概念后就可以在正切函数的整个定义域(x∈R，且x≠kπ+π/2k∈Z)上来考虑它的反函数，这时的反正切函数是多值的记为 y=Arctan x，定义域昰(-∞+∞)，值域是 y∈Ry≠kπ+π/2，k∈Z于是，把 y=arctan x (x∈(-∞+∞)，y∈(-π/2,π/2))称为反正切函数的主值而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈Ry≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正切函数的通徝反正切函数在(-∞，+∞)上的图像可由区间(-π/2,π/2)上的正切曲线作关于直线 y=x 的对称变换而得到

反正切函数的大致图像如图所示，显然与函數y=tanx,（x∈R）关于直线y=x对称且渐近线为y=π/2和y=-π/2。

自己好好看看书理解概念就会了这种问题就算告诉你答案以后还是不会

1 后面的极限形式就是导数的定义

自己好好看看书理解概念就会了，这种问题就算告诉你答案以后還是不会