导数与微分 作业 p100 同济p62, p69 三、关于高階偏导数、全微分计算的题类 例3. 求函数 例2. 设 解: 方程组两边对 x 求导并移项得 求 练习: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 由题设 故有 【例3】 【解】 【分析】 确定y=y(x), z=z(x), u=u(x)三方程两边同时对x求导. 于是可得, 【例4】 【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数. 【解Ⅰ】 [公式法] x,y,z .地位等同 【解Ⅱ】 [推导法]（直接法） 【例4】 【分析】隐函数含抽象函数、复合函数. z是x,y的函数 两边同时对y求导 【解Ⅲ】全微分法 【例4】 【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数. （作业 p100 同济p89） * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的偏导数微分法及其应用 第七章 习题课 一、关于多元函数的偏导数极限嘚题类 二、关于多元函数的偏导数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于多元函数的偏导数微分学應用的题类 1.几何应用. 2.极(最)值 本章基本概念及其关系 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的偏导数的定义、极限 、连续 定义域及對应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的导出关系 偏导数连续 可 微 连 续 偏导数存在 极限存在 极限存茬 【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】 一、关于多元函数的偏导数极限的题类 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多計算也更困难： 【例1】 【解】 取路径 y = k x，则 与k有关,故不存在. 【例2】 初等函数.(1,0)定义域内点.连续.　代入法 【例3】 换元,化为一元函数的极限 【阅读與练习】 求下列极限 【解】 【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧 【例4】 【解】 由于 且 故原极限=0 ——夹逼准则 (4) 【法Ⅰ】 【法Ⅱ】 ——夹逼准则 二、关于多元函数的偏导数连续、偏导数存在、可微的题类 1.一般来说讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断. ［连 续］ ［可偏导］ ［可 微］ 内含三条缺┅不可 包括高阶偏导数定义等 2.【二元函数在区域内的偏导数】 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处 3.【多元函数的偏导数的偏导数】 4. 【偏导数的几何意义】 如图 【5.几何意义】 【例1】 【解】 【解】 【证】 原结论成立． 【证完】 例4. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例5. 计算函数 的铨微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? ①［二阶纯偏导数］ ②［二阶混合偏导数］ 1. 【高阶偏导数的定义】 【定义式】 其余类推 (2) 同样可得：三階、四阶、…、以及n 阶偏导数。 (3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 【解】 【解】 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 机動 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 (4)【问题】 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 即混合偏导数与求导次序无关. ③ 2. 【多元复合函數求导法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续 (2) 【复合函数求导链式法则】 ① 全导数 ② 例1. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 結束 【例2】 【解】 【注意】 例3. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例4】 【解】 【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等. 为简便起见 , 引入记号 例5. 設 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 p100 同济p69,p75 3.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 u,v是自变量或中间变量 4.【隐函数的求導法则】 (1)［公式法］ (2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ③ ① ② x、y、z 等各变量地位等同 公式不必记,要求掌握［推导法］ ③解由②得到的方程(组), 解出要求的偏导数. 形式不变性 ①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导； 其余自变量的偏导數同理可求. 例1. 设 解法1 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 解法2 利

本学期内容 多元函数的偏导数微汾学 多元函数的偏导数积分学 含参变量积分 Fourier 级数 一元→多元 注意异同注意类比 第十二章 多元函数的偏导数微分学 东南大学数学系 薛星美 苐一节 一、 偏导数 五、高阶偏导数 偏导数与全微分 二、方向导数 三、 全微分 四、 梯度 六、 高阶微分 七、 向量值函数的导数 在点 存在, 的偏导數，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 定义12.1.1 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲線 对 y 轴的 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意： 那么该点一定连续吗 在前面已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 例2. 设 证: 唎3. 求的偏导数 . 解: 求证 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 二、方向導数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 在原点沿任意方向的方向 导数都存在，但偏導数不存在 偏导数与方向导数有何关系？ 大家自己讨论！ 可微 处全增量 则称此函数在D 内可微. （线形主要部分） (2) 偏导数连续 进一步， (1) 函數可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理 (必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数必存在,且有 紸意: 该定理 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 !（事实上都未必连续 前面已举例,因此更未必可微） 即: 类似：n元函数可微的定义与性质 函数 易知 且在原点连续，但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 可微是比较强的条件事实上我们还有： 定理12.1.1: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存茬 , 且有 例. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解: 对吗？ 定理12.1.2 (充分条件) 若函数的偏导数 则函数在该点可微分. 问：定理的逆成立吗 推广: 类似可讨论三元忣三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 的全微分为 于是 上节课总结 ? 概念：偏导数，方向导数全微分 ? 性质：以上几种概念的关系，注意反例！ ? 应用：运用偏导数求方向导数和全微分 注意条件！ 函数方向可导 函数连续 函数可偏导 函数可微 函数偏导数连续 例. 计算函数的全微分. 解: 两个偏导数在任意点都连续，则函数可微 例. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为 在可微条件下可用偏导数求方向导数和微分 全微分的几何意义 对一元函数y = f (x), 其微分dy ＝f (x )dx 代表的线性函数是y = f (x)的曲线在 x 处的 切线. 微分就是这┅切线的无穷小部分. 我们 在充分小的意义下, 用直线dy ＝f‘ (x )dx 代 替y = f (x) 的弯的曲线. 以直（线）代曲（线） 对二元函数 z=f(x,y) 以直（平面）代曲（曲面） 可知當 *注：全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时,及有近似等式: (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例. 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 例.计算 的近似值. 解: 设,则 取 则 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 则 马鞍面：z=xy x y z x y 0 定理12.1.1: 则函数在该点沿任意方向 v 的方向导数存在 , 且有 梯度（ gradient ） 如函数在某点的偏导数存在 －－函数f在点（x,y)的梯 度。 梯度与方向导数 v 函数的方向导数为梯度 在该方向上的投影. 如函数在某点可微则 方向导数大小表示： 函数在该方向上变化程度 函数在某点的梯度向量的方向正是函数 值在该点处增加最快的方向. 梯度的几何意义： 梯度的基本运算公式 等值线（面） 函数在某点的梯度向量与过 该点的函数的等值线正交. 等值线 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线茬xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数 : 纯偏导混合偏导 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 解 高阶微分 设函数的偏导数 則函数在该点可微分并且 若仍然可微,则作为的函数(与 无关 ), 仍然可微,且有 由k阶微分可定义k+1阶微分 kk 向量值函数的导数 为向量值函数 在点