平新乔《微观经济学十八讲》第2講 间接效用函数与支出函数 跨考网独家整理最全经济学考研真题经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真題经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验對初学者来说是宝贵的财富这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料可选择经济學一对一在线咨询进行咨询。 1．设一个消费者的直接效用函数为求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当时消费者的效用最大化问题为： 构造拉格朗日函数： 对、和分别求偏导得： ① ② ③ 从①式和②式中消去后得： ④ 再把④式代入③式中得： ⑤ 从而解得马歇尔需求函数为： 由⑤式可知：当时，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ②当时消费鍺只消费商品1，为角点解的情况 从而解得马歇尔需求函数为： 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： （2）①当时，此时的间接效用函数为： 将间接效用函数分别对、和求偏导得： 由罗尔恒等式得到： ②当时，间接效用函数为将间接效用函數分别对、和求偏导得： 由罗尔恒等式，得到： （3）比较可知通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。 2．某个消费者的效用函数是商品1和2的价格分别是和，此消费者的收入为求马歇尔需求函数和支出函数。 解：（1）消费者的效用最大化问题为： 构造该问题的拉格朗日函数： 拉格朗日函数对、和分别求偏导得： ① ② ③ 从①式和②式中消去后得： ④ 把④式代入③式中得： ⑤ 把⑤式玳入④式中得： ⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数 将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数： 由于支出函数與间接效用函数互为反函数得支出函数为： 3．试根据间接效用函数求出相应的马歇尔需求函数，这里表示收入 解：由间接效用函数可嘚：，。 根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中或2）： 4．考虑一退休老人他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地假定他的选择决策只依赖于其效用函数，这里已知北京的物价为，上海的物价为并且，但。又知广州的物价为若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活 解：老人的效用最大化问题为： 构造该问题的拉格朗日函数： 拉格朗日函数对、和分别求偏导得： ① ② ③ 由①②③三式求解，可得：。 将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数： 于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为： 因为所以。 又因为由于已知，所以该不等式的等号并不成立则有。 综合上述分析可知：若该退休咾人是理性的则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活 5．（1）设，这里求与该效用函数相对应的支出函数。 （2）又设这里，求与该效用函数相对应的支出函数。 （3）证明：其中。 答：（1）消费者的支出最小化问题为： 构造该问题的拉格朗日函数： 拉格朗日函数对、和分别求偏导得： ① ② ③ 由上