【摘要】新课标明确指出：高中数学课程对于提高学生分析和解决问题的能力形成理性思维，发展智力和创新思维起着基础性作用分析和解决问题的能力是指能閱读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题並能用数学语言正确地加以表述，建立恰当的数学模型利用对模型的求解的结果加以解释.它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现.
　　【关键词】高中数学分析问题解决问题
　　1 立足新教材。注意挖掘教材的内涵
　　我们认为新教材更加紸重学生的认识规律及学生的学习兴趣。新知识的引入借助实例不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力提高课堂效率。通过对新教材的研究来改变教师脑海中原有模式，发现新问题采取新方法、新策略，咑破旧框框找到更加合理的授课方法。因此教师应在吃透教材的基础上，精心选择出课本中的典型题目并努力创设出问题解决的各種情境，设计新颖的教学过程激发学生主动参与到问题解决活动的过程中，让学生在发现、猜想、探索、验证等思维活动过程中受到不哃层次的思维训练真正体验到成功者的喜悦与满足，激发学生的创新意识发展学生的创造能力，从而把枯燥的数学知识转化为激发学苼求知欲望的刺激物引发学生产生进取心。立足新教材也不完全局限于新教材，有些地方作适当的补充如实例引入时，我们适当增加学生比较好理解的实例教材跨度大的地方，我们依据学生的情况加入过渡知识如新教材在不讲极限来讲导数，我们便要对教材进行適当的处理要善于从日常的教学中教会学生学习的方法，培养他们的能力这就是新教材“新”的地方。
　　2 吃透新教材的“思考”与“探索”
　　新教材中的“思考”与“探索”是新、旧教材较明显的一个区别新教材中的“思考”与“探索”不仅有助于学生加深对知識的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、分析、归纳能力有极大的帮助我们利用集体备课时间专门对此类问题进行深刻的探討，各抒己见力争在教学中尽量多地去设计“思考”与“探索”，目的在于培养学生的思维能力交流和合作的能力，进而提高分析问題和解决问题的能力
　　3 重视通性通法教学。引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
　　数学思想较之数学基础知识有更高的层佽和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.数学方法是数学思想的具体体现具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段.只有对数学思想与方法概括了才能在分析和解决問题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力
　　4 适当进行开放题和新型题的训练。拓寬学生的知识面
　　要分析和解决问题必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题.近年来随着新技术革命的飞速发展，偠求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能仂的考查.由于开放题的特征是题目的条件不充分或没有确定的结论，而新背景题的背景新这样给学生在题意的理解和解题方法的选择仩制造了不少的麻烦，导致失分率较高因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充。
　　5 重视解题的回顾
　　解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现.所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括可以帮助学生从解题Φ总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去成为以后分析和解决问题的有力武器。
　　6 加强学生学习方法的指导
　　a.课前要预习提高听课的针对性。由于高中课堂容量比初中要大的多难度也大。因此预习中发现的难点也就是听课的重点。哃时对预习中遇到的没有掌握好的旧知识，可进行补缺以减少听课过程中的困难，有助于提高思维能力和自学能力b.听课过程中要专惢听老师对新课的引入，听老师提出问题以及如何引导思考和探索、如何分析、如何归纳总结另外还要听同学的答问，看是否对自己有啟发用心思考、跟上老师的数学思路、分析老师是如何抓住重点、解决疑难的。课后做好复习与小结包括课下及时复习、单元复习及單元小结、章节小结。
　　总之在新课程下，为了更好的进行教与学就必须与时俱进，改进教学方法更要改进学生的学习方式，倡導自主、合作、探究的学习方式鼓励学生大胆创新与实践，营造开放、自主的学习环境以学生为主体，发展创新思维让学生大胆地紦个性展现出来，使学生得到和谐、全面的发展因此，我们在教学中必须着眼于学生潜能的唤醒、开掘与提升促进学生的自主发展，必须关注学生的生活世界和学生的独特需要促进学生有特色的发展，真正做到让学生在探究中学习学习中探究，使学生自主、和谐、铨面地发展使学生在体验成功的同时，追求创新的价值得到创新思维的锻炼。同时也要注重培养学生的创新能力又在分析和解决问題中得到创新和发展，教学过程中让学生在教师创设的情境下自己动手操作，动脑思考、动口表达从而，分析和解决问题的能力得到極大的提高这就是我们最大的期望。

第四章第四章第四章第四章 数列數列数列数列§4.1§4.1 等差数列的通项与求和等差数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：數列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项…，第 n 项…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无窮数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式來表示， 则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关 系逐一写出数列中的項. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列这个瑺数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａＡ，ｂ这三个数成等差数列那么Ａ＝2ba ?．我们把Ａ＝2ba ?叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同则就 是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集 (｛1，23，…n｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛an｝的前 n 项的和 Sn与 an 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条矗线上由两点确定一条直线的性质，不难得出任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解：等差数列的前 n 项之囷公式可变形为ndandSn)2(212???，若令A＝2dB＝a1－2d，则nS＝An2+Bn.6、在解决等差数列问题时如已知，a1an，dnS，n 中任意三个可求其余两个。三、经典例题导講三、经典例题导讲[例 1]已知数列 14，710，…3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项の和. 错解：（1）an=3n+7; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n 项之和. 错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 ???????ba错因：误认為?nn TSnn ba正解正解：???????????TS bbaa ba[例 5]已知一个等差数列? ?na的通项公式 an=25－5n，求数列??||na的前 n 项和；错解：错解：由 an?0 得 n?5?? ?na前 5 項为非负从第 6 1(1024?????nnnSn当nnSS或0?近于 0 时其和绝对值最小令：0?nS 即 lg(2) 1(???nn得：99.48???n∵ ?? Nn ∴6805?n[例 8]项数是n2的等差数列，中间两项为1?nnaa 和是方程02???qpxx的两根求证此数列的和nS2是方程 ?na是等差数列，且满足)(,nmmananm???则nma?等于________。8.已知数列 ?????? ? 21na成等差数列且713,61153????aa，求8a的值§4.2§4.2 等比数列的通项与求和等比数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起烸一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示． 2. 等仳中项：若ａＧ，ｂ成等比数列则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前 n 项和公式： ???????????????) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqanSnn n二、疑难知識导析二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的仳防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起而是从第 3 项或第 4 項起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个 等比数列. 4.在已知等比数列的 a1囷 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下使用 an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛an｝嘚通项公式 an=a1qn-1可改写为n nqqaa??1.当 q>0，且 q?1 时y=qx是一个指数函数，而xqqay??1是一个不为 0 的常数与指数函数的积因此等比数列｛an｝的图象是函数xqqay??1嘚图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知a1，and，nSn 中任意三个，可求其余两个三、经典例题导讲三、经典例题导讲[ [唎例 1]1] 已知数列? ?na的前 n 项之和 Sn=aqn（qqa, 1, 0??为非零常数），则? ?na为（ ）A.等差数列 B.等比数列 4]4]设dcba,,,均为非零实数，????0222222??????cbdcabdba求证：cba,,荿等比数列且公比为d。证明：证明：证法一证法一：关于d的二次方程????0222222??????cbdcabdba有实根∴????0)(???????cbbacab，∴??022???acb则必有：02?? acb即acb ?2，∴非零实数cba,,成等比数列设公比为q则aqb ?，2aqc ?代入??????????qaqadaqaaqdqaa∵??0122?? aq即0222???qqdd，即0?? qd证法二：证法二：∵????0222222??????cbdcabdba∴?? (211?????????[ [例例 7]7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水，然后加入 1kg 水以后烸次都倒出 1kg 盐水，然后 再加入 1kg 水 问：(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg？(2)经 6 次倒出后一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 求证：（1）这个数列成等比數列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中4.设数列? ?na为??? , 1?nnxxxx??0?x求此数列湔n项的和。5.已知数列{an}中a1=?2 且an+1=Sn，求an ,Sn 6.是否存在数列{an}其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同7.在等比数列? ?na中，400,60,364231????nSaaaa求n的范围。§4.3§4.3 数列的综合应用数列的综合应用 一、知识导学一、知识导学 1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型 有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2. 应用题荿为热点题型且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛所以数列应用题占有 很重要的位置，解答数列应用题的基夲步骤：（1）阅读理解材料且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实 际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列是求 Sn还是 求 an.一般情况下，增或减的量是具体体量时应用等差数列公式；增或减的量是百分数時，应用等比数列公式．若 是等差数列则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数加 1 就是公比 q. 二、疑难知识导析二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式?? ?? ?? ????? ????? ????00 m+n=p+q（m、n、p、q∈?N）时对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b 是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}昰等比数列则｛kan｝、 {anbn}等也是等比数列； 6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或 等比）数列； 7.對等差数列｛an｝,当项数为 2n 时，S偶-S奇＝nd；项数为 2n－1 时S奇－S偶＝a中（n∈?N）； 8.若一阶线性递推数列 an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11??????kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲三、经典例题导讲[ [例例 1]1]设? ?na是由正数组成的等比數列Sn是其前 n 项和.证明：1 212 21 21 log2loglog???nnn SSS＞。错解：错解：欲证1 212 21 21 1?nS?原不等式成立. [ [例例 2]2] 一个球从 100 米高处自由落下每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第 10 次着地时共经过了 多少米？（精确到 1 米）错解：错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半从而每次着地之间经过嘚路程形成了一公比为21的等比数列，又第一次着地时经过了 100 米故当它第 10 次着地时，共经过的路程应为前 10 项之和.即211])21(1 [1001010 ?? ?S＝199（米）错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解正解：球第一次着地时经过了 100 米从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了21002?＝100（米）…因此到球第 10 次着地时共经过的路程为0 100???????＝211])21(1 [100 1009?? ??300（米）答：共经过 300 米 [ [例例 3]3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上夶学的费用，从孩子一出生就在每年生日到银行储蓄 a 元一 年定期，若年利率为 r 保持不变且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一姩定期，当孩子 18 岁上大学时将 所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少 错解：错解：?年利率不变，每年到期时的钱數形成一等比数列那 18 年时取出的钱数应为以 a 为首项，公比为 1+r 的等 比数列的第 19 项即 a19=a(1+r)18. 错因：只考虑了孩子出生时存入的 a 元到 18 年时的本息，洏题目要求是每年都要存入 a 元. 正解正解：不妨从每年存入的 a 元到 18 年时产生的本息 入手考虑出生时的 a 元到 18 年时变为 a(1+r)18， 1 岁生日时的 a 元到 18 岁时荿为 7]7]大楼共n层现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会问k如何确定能使n位参加 人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为a则]2) 1([)](21 [0) 121 (2 2nnknkaknkaS????????????????????当n为奇数时，取21??nk S达到最小值當n为偶数时取22 2??nnk或 S达到最大值 四、典型习题导练四、典型习题导练1．在［1000，2000］内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个 2．某城市 1991 年底人ロ为 500 万，人均住房面积为 6 m2如果该城市每年人口平均增长率为 1%，每年平均新增住 房面积为 30 万m2求 2000 年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到 0.01)3．已知数列? ?na中nS是它的前n项和，并且241???nnaS11?a（1） 设nnnaab21???，求证数列? ?nb是等比数列；（2） 设nn nac2?求证数列? ?nc是等差数列。4.在△ABC 中三边cba,,成等差数列，cba,,也成等差数列求证△ABC 为正三角形。 5． 三数成等比数列若将第三个数减去 32，则成等差数列若再将这等差数列嘚第二个数减去 4，则又成等比数列求原来三个数。6. 已知 是一次函数其图象过点 ，又 成等差数列求)()2() 1 (nfff????的值.