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利用能量等式
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在中，数值积分是计算数值的方法和理论。在中，给定函数的的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。[1]
数值积分简介
构造数值最通常的方法是用积分上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用(Rhomberg Integration)。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值导出。
数值积分必要性
数值积分的必要性源自计算函数的的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。例如常见的函数：
的原函数就无法用初等函数表示。
不仅如此，在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、、气压等，医学测量中的、浓度等等。另外，积分函数有可能是某个的解。由于很多微分方程只能数值求解，因此只能知道函数在某些点上的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。
另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，不再适用，只能使用更广泛的或，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。
数值积分代数精度
若式（2）对
(k=0,1，…，m)精确成立，亦即E(f)=0，而当时k=m+1时（2）不再是精确等式，则说求积公式（2）的代数精度是m。根据K.魏尔斯特拉斯的“”逼近定理，就一般的f而言，m越大E(f)越小，因此可以用代数精度的高低说明求积公式的优劣。
数值积分矩形法
用一系列矩形的和来逼近积分的精确值。[2]
矩形法是一种常见的数值积分方法，用来计算一维定积分的近似值。矩形法的主要思想是将积分区间I=[a,b]分割成许多足够小的分区间的总和：
，使得能够假设积分函数f在各个小区间
上的取值变化不大。这时，可以在每个分区间上取一个代表性的点
（称为节点），并将分区间的长度乘以积分函数在这一点上的值，以近似得到函数在这一段小区间上的积分。直观上来看，就是取一个矩形，用它的面积来代替积分函数的曲线在这一小段区间上围出来的曲边梯形的面积。总体上，将所有这样的矩形面积加起来（这个和称为黎曼和），就近似地等于函数在这个区间上的定积分。
根据黎曼积分的定义，只要区间被分得足够精细，那么这样的分割所得到的黎曼和会无限趋近于函数的积分。
数值积分公式
根据每个小区间中节点的选取方式，可以得到不同的数值积分公式。
上矩形公式：取每个小区间中的“最高点”（f的最大值或）作为节点。
下矩形公式：取每个小区间中的“最低点”（f的最小值或）作为节点。
中矩形公式：取每个小区间中央的一点作为节点。
数值积分插值法
另一种数值积分的思路是用一个容易计算积分而又与原来的函数“相近”的函数来代替原来的函数。这里的“相近”是指两者在积分区间上定积分的值比较接近。最自然的想法是采用多项式函数。比如说，给定一个函数f后，在积分区间I=[a,b]中取
，就可以对原来的函数进行。得到拉格朗日插值多项式以后，计算这个多项式的积分。[2]
其中Li是拉格朗日插值的基本多项式。
数值积分牛顿公式
牛顿-柯特斯公式是一种插值型公式。假设I=[a,b]中取
，可以写成：[1]
如果n=1，那么牛顿-柯特斯公式就变成（取每个小区间两端点，做成梯形，梯形的值也和矩形一样，趋于原来的函数的积分）。
数值积分高斯型
一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表1）。
求积公式含有2(m+1)个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数，能使公式的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1,…,xm取为区间[α,b]上关于ω(x)的m+1次正交的零点，内插型求积公式即达到最高代数精度2m+1。这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。
许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。
高值积分的主要方法有、方法和数论方法。
李庆扬. 数值分析[M]. 清华大学出版社有限公司, 2001.
丁丽娟, 程杞元. 数值计算方法[J]. 1997.
本词条内容贡献者为
副教授审核
同济大学数学科学学院数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具，用来计算无法解析求解的定积分的近似解。
如：Φ(x)=∫x0t3et-1dt不存在Φ(x)的解析解，要求Φ(5)。
那么我们就要通过数值积分的方法来计算，数值积分的目的是，通过在有限个采样点上计算f(x)的值来逼近 f(x)在区间[a,b]上的定积分.
设a=x0&x1&…&xM=b. 称形如
且具有性质∫baf(x)dx=Q[f]+E[f]的公式为数值积分或面积公式。项E[f]称为积分的截断误差，值{xk}Mk=0称为面积节点， {wk}Mk=0称为权。
下面介绍几种常用的数值积分方法。
基于多项式差值的面积公式
通过M+1个等距点{(xk,f(xk))}Mk=0存在唯一的次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多项式来近似[a,b]上的f(x)时，PM(x)的积分就近似等于f(x)的积分，这类公式称为牛顿－科特斯公式。当使用采样点x0=a和xM=b时，称为闭型牛顿－科特斯公式。
左/中/右矩形公式、梯形公式
左/中/右矩形公式
辛普森公式
若f(x)在[a,b]上有定义，将区间[a,b]分割成n等分（取n为偶数），则有a=x0&x1&…&xM=b，其中
xi=a+iΔx（?i=0,1,…,n,Δx=b-an为步长）
这里我们想通过(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))三点抛物线g(x)=αx2+βx+γ来取代f(x)在[x0,x2]的定义，今儿求出它的近似积分值(如图)，最后用累加的方式求得f(x)在[a,b]上的近似积分。
由假设我们有
所以可得∫baf(x)dx=∫x2x0+∫x4x2+?+∫xnxn-2f(x)dx
若令Sn=Δx3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)?+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)]且f(4)(x)在[a,b]上连续，则我们可以估计出辛普森公式的误差值为
试用辛普森公式估计∫10e-x2dx，取n=6
令f(x)=e-x2,Δx=16则
拉格朗日插值
分段线性插值
例如：函数f(x)=11+x2如果在区间[-5，5]上取11个等距节点:xk=-5+k(k=0,1,2,...,10),由Lagrange插值公式可得到f(x)的10次L10(x)。如图所示：
L10(x)仅在区间的中部能较好的逼近函数f(x),在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。
可以证明，当节点无限加密时，Ln(x)也只能在很小的范围内收敛，这一现象称为Runge现象。它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的，因而不采用高次多项式插值。
已知函数f(x)在区间[xk,xk+1]的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=P1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1), 其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)=yk+yk+1-ykxk+1-xk(x-xk)
把此式按照yk和yk+1写成两项:
P1(x)=x-xk+1xk-xk+1yk+x-xkxk+1-xkyk+1
lk=x-xk+1xk-xk+1&&&&&lk+1=x-xkxk+1-xk
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下：
li(xk)={10k=ik!=i
l0(x)=x-x1x0-x1,x∈[x0,x1]
其它点上，l0(x)=0;
对于i=1,2,…,n-1，
li(x)={x-xi-1xi-xi-1x-xi+1xi-xi+1x∈[xi-1,xi]x∈[xi,xi+1]
其它点上，li(x)=0; 对于i=n，
ln(x)=x-xn-1xn-xn-1,x∈[xn-1,xn]
其它点上，ln(x)=0. 于是，
P1(x)=∑k=0nyklk(x)
此表达式与前面的表达式是相同的,这是因为在区间[xk,xk+1]上, 只有lk(x),lk+1(x)是非零的，其它基函数均为零。
P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk、yk+1 无关，而由插值结点xk、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1 .
根据拉格朗日一次插值函数的余项,可以得到分段线性插值函数的插值误差估计: 对x∈[a,b],当x∈[xk,xk+1]时,
R(x)=12f′′(ξ)(x-xk)(x-xk+1)
则R(x)≤h28M，其中
h=max0≤k≤n-1|xk+1-xk|,M=maxx∈(a,b)f′′(x)
于是有下面的定理：
如果f(x)在[a,b]上二阶连续可微，则分段连续函数φ(x)的余项有以下误差估计：
|R(x)|=|f(x)-?(x)|≤h28M
h=max0≤k≤n-1|xk+1-xk|,M=maxx∈(a,b)f′′(x)
于是可以加密插值结点, 缩小插值区间, 使h减小, 从而减小插值误差。
已知函数y=f(x)=11+x2在区间[0,5]上取等距插值节点(如下表)，
求区间上分段线性插值函数,并利用它求出f(4.5)近似值。
在每个分段区间[k,k+1]上，
P1(x)=x-(k+1)k-(k+1)yk+x-(k)k+1-(k)yk+1=-yk(x-k-1)+yk+1(x-k)
P1(4.5)=-0.05882×(4.5-5)+0.03846×(4.5-4)=0.04864
拉格朗日型二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1), 求一个次数不超过二次的多项式P2(x), 使其满足,
P2(xk-1)=yk-1,P2(xk)=yk,P2(xk+1)=yk+1
其几何意义为:
已知平面上的三个点
(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),
求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
插值基本多项式
有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1) 基本多项式为二次多项式；
(2) 它们的函数值满足下表：
因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0, 故有因子(x-xk)(x-xk+1), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设
lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1)
lk-1(xk-1)=1=>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1
a=1(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)
lk-1(x)=(x-xk)(x-xk+1)(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)
lk(x)=(x-xk-1)(x-xk+1)(xk-xk-1)(xk-xk+1)
lk+1(x)=(x-xk-1)(x-xk)(xk+1-xk-1)(xk+1-xk)
拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
P2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x)
P2(x)是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
P2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)
利用此三值的二次插值多项式求lg(12)的近似值。
解：设x0=10,x1=15,x2=20,则:
我们在[a,b]上用多项式Pn(x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作Rn(x)=f(x)-Pn(x)
当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,下面来估计截断误差：
设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在[a,b]上连续，
y(n+1)=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；
插值结点为:a≤x0&x1&…&xn≤b,
Pn(x)是n次拉格朗日插值多项式；
则对任意x∈[a,b]有：
Rn(x)=1(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x)
其中ξ∈(a,b), ξ依赖于x：ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)
设maxa≤x≤b|fn+1(x)|≤Mn+1，则
|Rn(x)|≤1(n+1)!Mn+1ωn+1(x)
易知，线性插值的截断误差为:
R1(x)=12f′′(ξ)(x-x0)(x-x1)
二次插值的截断误差为:
R2(x)=16f(3)(ξ)(x-x0)(x-x1)(x-x2)
在例2中，用lg10,lg15和lg20计算lg12.
P2(12)=1.0766,
e=|1.0792-1.0766|=0.0026
估计误差：
三次样条插值法
三次样条曲线原理
x:a=x0&x1&…&xM=by:y0&&&y1&&&…&&&yn
样条曲线S(x)是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：
a. 在每个分段区间[xi,xi+1]（i=0,1,…,n-1，x递增），S(x)=Si(x) 都是一个三次多项式。
b. 满足S(xi)=yi（i=0,1,…,n）
c.S(x)，导数S′(x)，二阶导数S′′(x)在[a,b]区间都是连续的，即S(x)曲线是光滑的
所以n个三次多项式分段可以写作：
Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3,i=0,1,…,n-1
其中ai,bi,ci,di代表4n个未知系数。
a. n+1个数据点[xi,yi],i=0,1,…,n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线进行逼近
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）
根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：
, 其中 i=0,1,…,n-1
微分连续性：
, 其中i=0,1,…,n-2
样条曲线的微分式：
将步长hi=xi+1-xi带入样条曲线的条件：
a. 由Si(xi)=yi(i=0,1,…,n-1)推出
b. 由Si(xi+1)=yi+1(i=0,1,…,n-1)推出
ai+hibi+h2ici+h3idi=yi+1
c. 由S′i(xi+1)=S′i+1(xi+1)(i=0,1,…,n-2)推出
S′i(xi+1)=bi+2ci(xi+1-xi)+3di(xi+1-xi)2=bi+2cih+3dih2S′i+1(xi+1)=bi+1+2ci(xi+1-xi+1)+3di(xi+1-xi+1)2=bi+1
由此可得：
bi+2hici+3h2idi-bi+1=0
d. 由S′′i(xi+1)=S′′i+1(xi+1)(i=0,1,…,n-2)推出
2ci+6hidi-2ci+1=0
设mi=S′′i(xi)=2ci，则
a. 2ci+6hidi-ci+1=0可写为：
mi+6hidi-mi+1=0，推出
di=mi+1-mi6hi
b. 将ci,di带入 yi+hibi+h2ici+h3idi=yi+1可得：
bi=yi+1-yihi-hi2mi-hi6(mi+1-mi)
c. 将bi,ci,di带入bi+2hici+3hidi=bi+1(i=0,1,…,n-2)可得：
himi+2(hi+hi+1)mi+1+hi+1mi+2=6[yi+2-yi+1hi+1-yi+1-yihi]
由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即S′′=0。具体表示为m0=0和 mn=0
则要求解的方程组可写为：
b. 固定边界(Clamped)
首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为
c. 非节点边界(Not-A-Knot)
指定样条曲线的三次微分匹配，即
S′′′o(x1)=S′′′1(x1)S′′′n-2(xn-1)=S′′′n-1(xn-1)
根据S′′′i(x)=6di和di=mi+1-mi6hi，则上述条件变为
h1(m1-m0)=h0(m2-m1)hn-1(mn-1-mn-2)=hn-2(mn-mn-1)
新的方程组系数矩阵可写为：
右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：
假定有n+1个数据节点
(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
a. 计算步长hi=xi+1-xi(i=0,1,…,n-1)
b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程
c. 解矩阵方程，求得二次微分值mi。
d. 计算样条曲线的系数：
其中i=0,1,…,n-1
e. 在每个子区间xi≤x≤xi+1中，创建方程
gi(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3
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