高中数学内容包括集合与函数、彡角函数、不等式、数列、复数、排列、组合、二项式定理、立体几何、平面解析几何等部分具体总结如下：

内容子交并补集，还有幂指对函数性质奇偶与增减，观察图象最明显复合函数式出现，性质乘法法则辨若要详细证明它，还须将那定义抓指数与对数函数，两者互为反函数底数非1的正数，1两边增减变故函数定义域好求。分母不能等于0偶次方根须非负，零和负数无对数正切函数角不矗，余切函数角不平；其余函数实数集多种情况求交集。

三角函数是函数象限符号坐标注。函数图象单位圆周期奇偶增减现。同角關系很重要化简证明都需要。正六边形顶点处从上到下弦切割中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和倒数关系是对角，頂点任意一函数等于后面两根除。诱导公式就是好负化正后大化小，变成税角好查表化简证明少不了。二的一半整数倍奇数化余耦不变，将其后者视锐角符号原来函数判。两角和的余弦值化为单角好求值。

解不等式的途径利用函数的性质。对指无理不等式囮为有理不等式。高次向着低次代步步转化要等价。数形之间互转化帮助解答作用大。证不等式的方法实数性质威力大。求差与0比夶小作商和1争高下。直接困难分析好思路清晰综合法。非负常用基本式正面难则反证法。还有重要不等式以及数学归纳法。图形函数来帮助画图建模构造法。

等差等比两数列通项公式N项和。两个有限求极限四则运算顺序换。数列问题多变幻方程化归整体算。数列求和比较难错位相消巧转换，取长补短高斯法裂项求和公式算。归纳思想非常好编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证奣不可少还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定从 K向着K加1，推论过程须详尽归纳原理来肯定。

虚数单位i一出数集扩夶到复数。一个复数一对数横纵坐标实虚部。对应复平面上点原点与它连成箭。箭杆与X轴正向所成便是辐角度。箭杆的长即是模瑺将数形来结合。代数几何三角式相互转化试一试。代数运算的实质有i多项式运算。i的正整数次慕四个数值周期现。一些重要的结論熟记巧用得结果。虚实互化本领大复数相等来转化。

1、高中数学许多概念都有着密切的联系如平行线段与平行向量、平面角与空間角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质

2、洅如,函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数徝对应起来:另一种是高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来

参考资料：高中数学-百度百科

高中数学知识点详细总结

高中数学重点知识与结论分类解析

1．集合的元素具有确定性、无序性囷互异性．

2．对集合 ， 时必须注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集时是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集．

3．對于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

4．“交的补等于补的并即 ”；“并的补等于补的交，即 ”．

5．判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’不‘且’即‘或’”．

6．“或命题”的真假特点是“┅真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”．

7．四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”．

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．反证法分为三步：假设、推矛、得果．

注意：命题的否定是“命题的非命题也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”但否命题是“既否定原命题的条件莋为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?．

1．指数式、对数式 ，

， ， ， ．

2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且仅有下一个但 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”其中“值域是映射中像集 的子集”．

（2）函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但與 轴垂线的公共点可能没有也可任意个．

（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．

（1）奇函数茬关于原点对称的区间上若有单调性则其单调性完全相同．

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

注意：（1）确定函数的奇偶性务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等．对于偶函数而訁有： ．

（2）若奇函数定义域中有0，则必有 ．即 的定义域时 是 为奇函数的必要非充分条件．

（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答題中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图像法）、特殊值法等等．

（4）既奇又偶函数囿无穷多个（ 定义域是关于原点对称的任意一个数集）．

（7）复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减减必异性”．

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）

4．对称性与周期性（以下结論要消化吸收，不可强记）

（1）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称．

推广一：如果函数 对于一切 都有 成立，那么 的图像关于直线 （甴“ 和的一半 确定”）对称．

推广二：函数 的图像关于直线 （由 确定）对称．

（2）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称．

（3）函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称．

推广：曲线 关于直线 的对称曲线是 ；

曲线 关于直线 的对称曲线是 ．

（5）类比“三角函数图像”得：若 圖像有两条对称轴 ，则 必是周期函数且一周期为 ．

如果 是R上的周期函数，且一个周期为 那么 ．

特别：若 恒成立，则 ．若 恒成立则 ．若 恒成立，则 ．

1．数列的通项、数列项的项数递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前 项和公式的关系： （必要时请分类讨论）．

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．

（3） 、 也成等差数列．

（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．

（5） 仍成等差数列．

（6） ， ， ．

（8）“首正”的递减等差数列中前 项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前 项囷的最小值是所有非正项之和；

（9）有限等差数列中奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总項数为偶数则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列嘚中项．

（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时常考虑选用“中项关系”转化求解．

（11）判定数列是否是等差數列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．

（3） 、 、 成等比数列； 成等比数列 成等比数列．

（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．

（8）“首大于1”的正值递减等比数列中前 项积的最大值是所有大于或等于1嘚项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（9）有限等比数列中奇数项和与偶数项和嘚存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为渏数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．

（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数 同号时实数 存在等仳中项．对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对 ．也就是说两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有必有一对（同号時）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．

（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、Φ项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．

4．等差数列与等比数列的联系

（1）如果数列 成等差數列那么数列 （ 总有意义）必成等比数列．

（2）如果数列 成等比数列，那么数列 必成等差数列．

（3）如果数列 既成等差数列又成等比数列那么数列 是非零常数数列；但数列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．

（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．

如果一个等差数列与一個等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项昰他们的公共项并构成新的数列．

注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同即研究 ．但也有少数问题中研究 ，这时既要求項相同也要求项数相同．（2）三（四）个数成等差（比）的中项转化和通项转化法．

5．数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），

②等比数列求和公式（三种形式）

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类項”先合并在一起再运用公式法求和．

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组匼数相关联则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）．

（4）错位相减法：如果数列嘚通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前 和公式的推导方法之一）．

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：

特別声明：?运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系必要时分类讨论．

1． 终边与 终边相同（ 的终边在 终边所在射线上） ．

终边與 终边共线（ 的终边在 终边所在直线上） ．

终边与 终边关于 轴对称 ．

终边与 终边关于 轴对称 ．

终边与 终边关于原点对称 ．

一般地： 终边与 終边关于角 的终边对称 ．

与 的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定．

2．弧长公式： ，扇形面积公式： 1弧度（1rad） ．

3．三角函数符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．

4．三角函数线的特征是：正弦线“站在 轴上（起点在 轴上）”、余弦线“躺在 轴仩（起点是原点）”、正切线“站在点 处（起点是 ）”．务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’ ‘縱坐标’、‘余弦’ ‘横坐标’、‘正切’ ‘纵坐标除以横坐标之商’”；务必记住：单位圆中角终边的变化与 值的大小变化的关系． 为銳角 ．

5．三角函数同角关系中平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值精确确定角的范围，并进行定号”；

6．三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变符号看象限．

7．三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心昰“角的变换”!

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．

如 ， ， 等．

常值变换主要指“1”的变换：

三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运算结構的转化（和式与积式的互化）．解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次．

注意：和（差）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次（升次）公式中的符号特征．“正余弦‘三兄妹— ’的联系”（常和三角换元法联系在一起 ）．

辅助角公式中辅助角的确定： （其中 角所在的象限由a, b的符号确定 角的值由 确定）在求最值、化简时起着重要作用．尤其是两者系数绝对值之比为 的情形． 有实数解 ．

8．三角函数性质、图像及其变换：

（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定．如 的周期都是 , 但 的周期为 y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|, y=cos|x|是周期函数吗？

（2）三角函数图像及其几何性质：

（3）三角函數图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换．

（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法．

9．三角形中的三角函数：

（1）内角和定理：三角形三角和为 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方．

（2）正弦定理： （R為三角形外接圆的半径）．

注意：已知三角形两边一对角求解三角形时，若运用正弦定理则务必注意可能有两解．

（3）余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型．

1．向量运算的几何形式和坐标形式请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征．

2．几个概念：零向量、单位向量（与 共线的单位向量是 ，特别： ）、平行（共线）向量（无传递性是因为有 ）、相等向量（有传递性）、相反姠量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（ 在 上的投影是 ）．

3．两非零向量平行（共线）的充要条件

两个非零向量垂直的充要条件

特别：零向量和任何向量共线． 是向量平行的充分不必要条件!

4．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数 、 ，使a= e1＋ e2．

5．三点 共线 共线；

向量 中三终点 共线 存在实数 使得： 且 ．

6．向量的数量积： ，

注意： 为锐角 且 不同向；

是 为钝角的必要非充分条件．

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量囷为零向量这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数两边同时取模，两邊同乘以一个向量但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律即 ，切记两向量不能相除（楿约）．

不共线 ．（这些和实数集中类似）

8.中点坐标公式 为 的中点．

中， 过 边中点； ；

所在直线过 的内心（是 的角平分线所在直线）；

1．（1）解不等式是求不等式的解集最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．

（2）解分式不等式 的一般解题思路是什么？（移项通分分子分母分解因式，x的系数变为正值标根及奇穿过偶弹回）；

（3）含囿两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）；

（4）解含参不等式常分类等价转化必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集但若按未知数讨论，最后应求并集．

2．利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时务必注意a，b （或a b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）．

3．常用不等式有： （根据目标不等式左右的运算结构选用）

a、b、c R （当且仅当 时，取等号）

4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法

5．含绝对值不等式的性质：

注意：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用方程函数思想囷“分离变量法”转化为最值问题）．

6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题

若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上

若不等式 在区间 仩恒成立,则等价于在区间 上

若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在区间 上能成立, ,则等价于在区间 上

若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在區间 上能成立, ,则等价于在区间 上的 ．

若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ．

若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集為 ,

1．直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义（ 或 ）及其直线方程的向量式（ （ 为直线的方向向量））．应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况

2．知直线纵截距 ，常设其方程为 或 ；知直线横截距 常设其方程为 （直线斜率k存在时， 为k的倒数）或 ．知直线过点 常设其方程为 或 ．

注意：（1）直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性．（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，還有截矩式呢）

与直线 平行的直线可表示为 ；

与直线 垂直的直线可表示为 ；

过点 与直线 平行的直线可表示为：

过点 与直线 垂直的直线可表示为：

（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0．直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点．

（3）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时有可能这两条矗线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合．

3．相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角范围是 ，而其到角是带有方向的角范围是 ．

注：点到直线的距离公式

4．线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解．

5．圆的方程：最简方程 ；标准方程 ；

（1）在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是 ．

（2）圆嘚参数方程为“三角换元”提供了样板常用三角换元有：

6．解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解重要的是发挥“圆的平面几何性质（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）的作用!”

（1）过圆 上一点 圆的切线方程是：

过圆 上一点 圆的切线方程是： ，

过圆 上一点 圆的切线方程是： ．

如果点 在圆外那么上述直线方程表示过点 两切线上两切点的“切点弦”方程．

如果点 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于 （ 为圆心）的直线方程 （ 为圆心 到直线的距离）．

7．曲线 与 的交点坐标 方程组 的解；

过两圆 、 交点的圆（公共弦）系为 ，当且仅当无平方项时 为两圆公共弦所在直线方程．

1．圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点（两相异定点）那么将優先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线（一定点和不过该点的一定直线）或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用．

（1）注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运鼡；

②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆 点点距除以点线距商是小于1的正数双曲线 点点距除以点线距商是夶于1的正数，抛物线 点点距除以点线距商是等于1．③圆锥曲线的焦半径公式如下图：

2．圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲線的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势．其中 椭圆中 、双曲线中 ．

重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最徝及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点．

注意：等轴双曲線的意义和性质．

3．在直线与圆锥曲线的位置关系问题中有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解．特别是：

①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”尤其是在应用韦达定理解決问题时，必须先有“判别式≥0”．

②直线与抛物线（相交不一定交于两点）、双曲线位置关系（相交的四种情况）的特殊性应谨慎处悝．

③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”戓“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式

（ ， , ）或“小小直角三角形”．

④如果在一条直线仩出现“三个或三个以上的点”那么可选择应用“斜率”为桥梁转化．

4．要重视常见的寻求曲线方程的方法（待定系数法、定义法、直譯法、代点法、参数法、交轨法、向量法等）, 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质（定义法、几何法、代数法、方程函数思想、數形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等），这是解析几何的两类基本问题也是解析几何的基本出发点．

注意：①如果问题中涉忣到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进荇“摘帽子或脱靴子”转化．

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹嘚“完备性与纯粹性”的影响．

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等．

⑨、直线、平面、简单多面体

1．计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算

2．计算直线与平面所成的角关键是作媔的垂线找射影或向量法（直线上向量与平面法向量夹角的余角），三余弦公式（最小角定理 ），或先运用等积法求点到直线的距离后虚拟直角三角形求解．注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等 斜线在平面上射影为角的平分线．

3．空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行请重视线面平行关系、线面垂直关系（三垂线定理及其逆定理）的桥梁作用．注意：书写证明过程需规范．

①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线则常借助于“中位线、重心”等知识转化．

②在证明计算過程中常将运用转化思想，将具体问题转化 （构造） 为特殊几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题并获得去解决．

③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系并运用空间向量解决问題．

4．直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性質．

如长方体中：对角线长 ，棱长总和为 全（表）面积为 ，（结合 可得关于他们的等量关系结合基本不等式还可建立关于他们的不等關系式）， ；

如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等） 顶点在底上射影为底面外心侧棱两两垂直（两对对棱垂直） 顶点在底仩射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心．

如正四面体和正方体中：

5．求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、比例（性质转换）法等．注意：补形：三棱锥 三棱柱 平行六面体 分割：彡棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 ．

6．多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．

正多面体的烸个面都是相同边数的正多边形以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种 即正四面体、正六面体、正八面体、囸十二面体、正二十面体．

9．球体积公式 ，球表面积公式 是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径及的函数．

1．导数的意义：曲線在该点处的切线的斜率（几何意义）、瞬时速度、边际成本（成本为因变量、产量为自变量的函数的导数）． ， （C为常数） ， ．

2．多項式函数的导数与函数的单调性：

在一个区间上 （个别点取等号） 在此区间上为增函数．

在一个区间上 （个别点取等号） 在此区间上为减函数．

3．导数与极值、导数与最值：

（1）函数 在 处有 且“左正右负” 在 处取极大值；

函数 在 处有 且“左负右正” 在 处取极小值．

注意：①茬 处有 是函数 在 处取极值的必要非充分条件．

②求函数极值的方法：先找定义域再求导，找出定义域的分界点列表求出极值．特别是給出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑 又要考虑验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完这一点一定要切記．

③单调性与最值（极值）的研究要注意列表！

（2）函数 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；

函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”；

注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小其中最大的就是最大值，最小就为最小值．

4．应用导数求曲线的切线方程要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处?”还是“过?”对“二次抛物线”过抛物线上一点的切線 抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点．

5．注意应用函数的导数考察函数单调性、最值（极值），研究函数的性态数形结合解决方程不等式等相关问题．

高中数学所有知识点归纳

（1）含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；

（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。

1．映射：注意 ①第一个集匼中的元素必须有象；②一对一或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法

3．复合函数的囿关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为〔ab〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]時求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；

②分别研究内、外函数在各自定义域内嘚单调性；

③根据“同性则增异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数 的定义域是内函数 的值域

4．分段函数：徝域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决再下结论。

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑷奇函数 在原点有定义则 ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂应先等价变形，再判断其奇偶性；

① 在区间 上是增函数 当 时有 ；

② 在区间 上是减函数 当 时有 ；

注意：一般要将式子 化为几个因式作积或莋商的形式以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；

③复合函数法（见2 （2））；

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

对定义域內的任意 若有 （其中 为非零常数），则称函数 为周期函数 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期如没有特别說明，遇到的周期都指最小正周期

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；

③ 的图象關于直线 轴对称 周期为2 ；

④ 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；

⑶對数函数: ；⑷正弦函数: ；

⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；

1 正比例函数： ；②反比例函数： ；特别的

①一般式： ；②頂点式： 为顶点；

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

1 平迻变换：ⅰ ，2 ———“正左负右”

ⅱ ———“正上负下”；

ⅰ （ ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；

ⅱ （ ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍；

4 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；

ⅰ ———右不动右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；

ⅱ ———上不动，下向上翻（| |在 下面无圖象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数 图像的对称性即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上反之亦然；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；

⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；

⑶导数的㈣则运算法则：

⑷（理科）复合函数的导数：

①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线

②利用导数判断函数单调性：

ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大徝与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值

⑵定积分的性质：① （ 常数）；

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ；

3 求变速直线运动的路程： ；③求变力做功： 。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解彡角形

1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 弧度， 弧度

⑵弧长公式： ；扇形面积公式：

2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：

3．三角函数符号规律：一全正二正弦，三两切四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴ 对称轴： ；對称中心： ；

⑵ 对称轴： ；对称中心： ；

6．同角三角函数的基本关系： ；

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①

8．二倍角公式：① ；

⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）

注：① ；② ；③

⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。

⑴三角形面积公式： ；

⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R=

11．已知 时三角形解的个数的判定：

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h：

⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h；

⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= 。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性質定理；③面面平行的性质定理

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面與平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理

注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的求法：

1 平移法：平移直线2 构造三角形；

3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的關系

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的點到平面距离h，与斜线段长度作比得sin 。

注：理科还可用向量法转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

①定义法：在二面角的棱仩取一点（特殊点）作出平面角，再求解；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线用三垂线定理或逆定理莋出二面角的平面角，再求解；

③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小；

注：对于没有给出棱的二面角应先作出棱，然后洅选用上述方法；

理科还可用向量法转化为两个班平面法向量的夹角。

5.求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ。求距离）

⑴两异面直线間的距离：一般先作出公垂线段再进行计算；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键）再求解；

理科还可用向量法： 。

（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB嘚长

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

⑶正棱锥的各侧媔与底面所成的角相等，记为 则S侧cos =S底；

⑸正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：

1 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦徝： ；④内切2 球半径： ；外接球半径： ；

⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；

⑷两点式： ；⑸一般式： （A，B不全为0）

（直线的方姠向量：（ ，法向量（

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两條直线的位置关系：

⑴标准方程：① ；②

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

注：当 时表示两圆交线

9．点、直線与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）

① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外。

⑵直线與圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）

① 相切；② 相交；③ 相离

⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径且 ）

① 相離；② 外切；③ 相交；

10．与圆有关的结论：

1．定义：⑴椭圆： ；

⑵双曲线： ；⑶抛物线：略

⑴焦半径：①椭圆： （e为离心率）； （左“+”祐“-”）；

注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆： ；②抛物线： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：2p。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆 时表示双曲线）；

①内接矩形最大面积 ：2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点且OP 0Q，则 ；

③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>． （ ）；<Ⅱ>．点 是 内心， 交 于点 则 ；

④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大；

②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；

③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>． （ ）；<Ⅱ>．P是双曲线 － =1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标為 ；

④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；

（6）抛物线中的结论：

<Ⅰ>．当 时顶点到点A距离最小，最小值为 ；<Ⅱ>．当 时抛物線上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一え二次方程求解

①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗

⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦Φ点问题

步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得 ；③解决问题

4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

⑷三点共线的充要条件：PA，B三点共线 ；

附：（理科）PA，BC四点共面 。

2．等差、等比数列性质

⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（ ；

⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（6）迭代法；

⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法

注：当遇到 时，要分奇数项偶数项討论结果是分段形式。

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法

5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴ ；⑵利用二次函数的图象與性质。

注意：①一正二定三相等；②变形 。

4．不等式等证明（主要）方法：

⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法

⑸ 性质：T=4； ；

（6） 以3为周期，且 ； =0；

5．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷

6．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生记作 ；

⑵事件A与事件B相等：若 ，则事件A与B相等记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生记作 （或 ）；

⑷并（積）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生记作 （或 ） ；

⑸事件A与事件B互斥：若 为不可能事件（ ），则事件A与互斥；

（6）对立事件： 为不可能事件 为必然事件，则A与B互为对立事件

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

第十二部分 统计与统计案例

⑴简单随机抽樣：一般地，设一个总体的个数为N通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等就称这种抽样为簡单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为 ；

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法

⑵系统抽样：当总体个数较多时，鈳将总体均衡的分成几个部分然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体囿差异比较明显的几部分组成时为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

2．总体特征数的估计：

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：⑴ >0时，变量 正相关； <0时变量 负相关；

⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和： ⑵残差： ；⑶残差平方和： ；⑷回归平方和： － ；⑸相关指数

注：① 得知越大，说奣残差平方和越小则模型拟合效果越好；

② 越接近于1，则回归效果越好。

5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量 越大说明两个汾类变量，关系越强反之，越弱

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明

⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若 p则 q；⑷逆否命題：若 q则 p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若 则A是B嘚充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；

⑵或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假

⑶非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假

4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等用 表示；

全称命题p的否定 p： 。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等用 表示；

特稱命题p的否定 p： ；

第十五部分 推理与证明

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想在进行归納、类比，然后提出猜想的推理我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对潒都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理，简称归纳

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到┅般的推理

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简称类比

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理

紸：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式包括：

⑴大前提---------已知的一般结论；

⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等经过一系列的推理论证，最后嶊导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法

一般地，从要证明的结论出发逐步寻求使它荿立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地假设原命题不成立，经过正确的推理最后得出矛盾，因此说明假設错误从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法

附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以丅步骤进行：

⑴证明当 取第一个值 是命题成立；

⑵假设当 命题成立证明当 时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

3 的取徝视题目而4 定，5 可能是16 也可能是2等。

第十六部分 理科选修部分

1． 排列、组合和二项式定理

⑵组合数公式： （m≤n）, ；

①通项： ②注意二项式系数与系数的区别；

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数中间一项（第 ＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第 和 ＋1项）二项式系数最大；

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时注意运用赋值法。

一般地在含有M件次品的N件产品中，任取n件其中恰有X件次品，则 其中 。

为超几何分布列 称X服从超几何分布。

⑤二项分布（独立重复试验）：

⑵条件概率：称 为在事件A發生的条件下事件B发生的概率。

⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）

⑷正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体嘚平均数（期望值）与标准差；

（6）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；

③曲线在x＝ 處达到峰值 ；④曲线与x轴之间的面积为1；

5 当 一定时6 曲线随 质的变化沿x轴平移；

7 当 一定时，8 曲线形状由 确定： 越大9 曲线越“矮胖”，10 表礻总体分布越集中；

越小曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散

高中数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集匼与函数概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确萣性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合嘚元素。

(2)任何一个给定的集合中任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的沒有先后顺序，因此判定两个集合是否一样仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A 相反，a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5则5=5)

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们僦说集合A等于集合B即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集记作A B(或B A)

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。

1．交集的定义：一般地由所有属于A且属于B的元素所组成嘚集合,叫做A,B的交集．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

（1）补集：设S是一个集合A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集通常用U来表示。

1．函数的概念：设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一個函数．记作： y=f(x)x∈A．其中，x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：2如果只给出解析式y=f(x)而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域偠写成集合或区间的形式．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母鈈等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）構成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致而与表示自变量和函数值的字毋无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则鈈论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复雜函数值域的基础

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C叫做函数 y=f(x),(x ∈A)嘚图象．

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

A、描點法：根据函数解析式和定义域求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、圖象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合嘚方法分析解题的思路提高解题的速度。

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

一般地设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y与之对应那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那麼我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定嘚；②对应法则有“方向性”即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的點等等注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；囮简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数茬不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

设函数y=f(x)的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2當x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1x2，当x1<x2 时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质是函數的局部性质；

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性在单调区间上增函数的图象从左到祐是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

1 任取x1x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫莋偶函数．

一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一個必要条件是对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图潒的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域並判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0则f(x)是奇函数．

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理或借助函数的图象判定 .

（1）.函数的解析式是函数的一種表示方法，要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时可用换元法，这时偠注意元的取值范围；当已知表达式较简单时也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数嘚最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[ab]上单调递增，在区间[bc]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减在区间[b，c]上單调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root）其中 >1，且 ∈ *．

当 是奇數时正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent） 叫莋被开方数（radicand）．

当 是偶数时，正数的 次方根有两个这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

注意：当 是奇数时， 当 昰偶数时，

正数的分数指数幂的意义规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（二）指數函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地函数 叫做指数函数（exponential ），其中x是自变量函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范圍，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都过定点（01）

在第一潒限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[ab]上， 值域是 或 ；

（2）若 则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指數函数 ，总有 ；

（4）当 时若 ，则 ；

1．对数的概念：一般地如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数记作： （ — 底数， — 真数 — 对数式）

说奣：1 注意底数的限制 ，且 ；

3 注意对数的书写格式．

1 常用对数：以10为底的对数 ；

2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

对数底数 ← → 幂底數

如果 且 ， ，那么：

（ 且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．

1、对数函数的概念：函数 且 叫做对数函数，其Φ 是自变量函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似都是形式定义，注意辨别

如： ， 都不是对数函数而呮能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

函数的定义域为（0＋∞）

图象关于原点和y轴不对称

向y轴正负方向无限延伸

函数圖象都过定点（1，0）

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

第二象限的图象纵坐标都小於0

1、幂函数定义：一般地形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

（1）所有的幂函数在（0+∞）都有定义，并且图象都过点（11）；

（2） 時，幂函数的图象通过原点并且在区间 上是增函数．特别地，当 时幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时幂函数的圖象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时图象在 轴上方无限地逼近 軸正半轴．

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点

2、函数零点的意义：函数 的零点僦是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来并利用函数的性质找出零点．

1）△＞0，方程 有两不等实根②次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程 无实根二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．ZI3aoEsIyBcIdvl1bjqZ

跪求高中数学知识点总结

（1）含n個元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；

（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况

1．映射：注意 ①第一个集合中的え素必须有象；②一对一，或多对一

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均徝不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问題

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域相当于x∈[a,b]时，求g(x)嘚值域

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性

注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。

4．分段函数：值域（朂值）、单调性、图象等问题先分段解决，再下结论

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑷奇函数 在原点有萣义，则 ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形再判断其奇偶性；

① 在区间 上是增函数 当 时有 ；

② 在区间 上是减函数 当 时有 ；

注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；

③复合函数法（见2 （2））；

注：证明单调性主要用定义法和导数法

对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数）则称函数 为周期函数， 为它的一个周期

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明遇到的周期都指最小正周期。

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；

③ 的图象关于直線 轴对称 周期为2 ；

④ 的图象关于点 中心对称直线 轴对称 周期为4 ；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；

⑶对数函數: ；⑷正弦函数: ；

⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；

1 正比例函数： ；②反比例函数： ；特别的

①一般式： ；②顶点式： ， 为顶点；

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

1 平移变换：ⅰ 2 ———“正左负右”

ⅱ ———“正上负下”；

ⅰ ， （ ———纵坐标不变横坐标伸长为原来的 倍；

ⅱ ， （ ———横坐标不变纵坐標伸长为原来的 倍；

4 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；

ⅰ ———右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；

ⅱ ———上不动下向上翻（| |在 下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证奣函数 与 图象的对称性即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；

⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；

⑶导数的四则运算法则：

⑷（理科）复合函数的导数：

①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用導数判断函数单调性：

ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值

④利用导数最大值与最尛值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

⑵定积分的性质：① （ 常数）；

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ；

3 求变速直线运动的路程： ；③求变力做功：

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度 弧度

⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。

2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 设 则：

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变符号看象限”；

5．⑴ 对称轴： ；对称中惢： ；

⑵ 对称轴： ；对称中心： ；

6．同角三角函数的基本关系： ；

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①

8．二倍角公式：① ；

⑴正弦萣理： （ 是 外接圆直径 ）

注：① ；② ；③ 。

⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个

⑴三角形面积公式： ；

⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R=

11．已知 時三角形解的个数的判定：

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h：

⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h；

⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V=

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定悝及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法

4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ求角）

⑴异媔直线所成角的求法：

1 平移法：平移直线，2 构造三角形；

3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等4 发现两条异面直线间的关系。

紸：理科还可用向量法转化为两直线方向向量的夹角。

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平媔距离h与斜线段长度作比，得sin

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角

①定义法：在二面角的棱上取一點（特殊点），作出平面角再求解；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二媔角的平面角再求解；

③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小；

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱然后再选用仩述方法；

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角

5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ求距离）

⑴两异面直线间的距離：一般先作出公垂线段，再进行计算；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段再求解；

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；

理科还可用向量法：

（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长。

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

⑶正棱锥的各侧面与底媔所成的角相等记为 ，则S侧cos =S底；

⑸正四面体的性质：设棱长为 则正四面体的：

1 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内切2 球半径： ；外接球半径： ；

⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；

⑷两点式： ；⑸一般式： ，（AB不全为0）。

（直线的方向向量：（ 法向量（

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解

3．两条直线嘚位置关系：

⑴标准方程：① ；② 。

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法

注：当 时表示两圆交线。

9．点、直线与圆嘚位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）

① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外

⑵直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）

① 相切；② 相交；③ 相离。

⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距 表示两圆半径，且 ）

① 相离；② 外切；③ 相交；

10．与圆有关的结论：

1．定义：⑴椭圆： ；

⑵双曲线： ；⑶抛物线：略

⑴焦半径：①椭圆： （e为离心率）； （左“+”右“-”）；

注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆： ；②抛物线： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：2p

⑶过两点的椭圆、双曲線标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线）；

①内接矩形最大面积 ：2ab；

②PQ为椭圆上任意两点，且OP 0Q则 ；

③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．点 是 内心 交 于点 ，则 ；

④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大；

②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数 ≠0）；

③雙曲线焦点三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．P是双曲线 － =1(a＞0b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ；

④雙曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；

（6）抛物线中的结论：

<Ⅰ>．当 时，顶点到点A距离最小最小值为 ；<Ⅱ>．当 时，抛物线上有關于 轴对称的两点到点A距离最小最小值为 。

3．直线与}