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方向余弦啊，法向量向上，与Z轴所成的为锐角XY轴在面的下方啊，法向量与X和Y成的不是锐角，故为负
MM是个很好升的职业，尤其是45+的时候是个黄金段，45以下就继续在破阵（破阵可群，可单刷），要么，就选择去落日，和一队打手组队刷，确实很快，（但是这么好的位置...
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如何求函数的偏导数
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您使用浏览器不支持直接复制的功能，建议您使用Ctrl+C或右键全选进行地址复制/4该会员上传的其它文档：4 p.6 p.7 p.7 p.7 p.7 p.4 p.1 p.3 p.4 p.3 p.3 p.2 p.3 p.2 p.2 p.8 p.7 p.5 p.8 p.3 p.3 p.9 p.3 p.帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题一、常见基本题型：（1）已知某个不等式..帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题一、常见基本题型：（1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；（2）让你去证明某个不等式恒成立。解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函数的最值问帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题相关文档docdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc关于我们常见问题关注我们官方公共微信多元函数的复合函数的偏导数的链式法则在下是这样想的：等号右边能否直接运算，得，但等号左边是,很明显不等。和为什么不能约去？
那只是个记号，你还真把它当除法了？
更新：7月4日22:00updated放在后半，之前的回答只字未易&br&&br&——————————————————————————————————————&br&&br&1.&br&简而言之：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%5Cne+%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial x} \ne \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} & eeimg=&1&&&br&&br&2.&br&繁而言之：&br&不像常微分里那样，若&img src=&///equation?tex=z%3Dz%28u%29& alt=&z=z(u)& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=u%3Du%28x%29& alt=&u=u(x)& eeimg=&1&&则&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdx%7D+%3D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdu%7D+%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+& alt=&\frac{dz}{dx} =\frac{dz}{du} \frac{du}{dx} & eeimg=&1&&. 偏微分复合函数直接约分根本就是错的。&br&&i&接下来一段话可能有些让你觉得繁琐乏味，但是看完之后对此问题你就不会再说：因为公式就是这么写的，因为是偏微分，所以就是不能约分。&/i&&br&&br&首先，请记住在计算&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial u} & eeimg=&1&&的时候，一定要清楚当&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&随着&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&变化的时候谁没有变。&br&也许你会说：&img src=&///equation?tex=z%3Dz%28u%2Cv%29& alt=&z=z(u,v)& eeimg=&1&&所以是&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&没有变。这样说姑且算对，但是只知道这一点的人就会提出这个问题：&a class=&internal& href=&/question/&&f = x*x - y*y, x, y是相互独立的变量，那么 f 对(x-y)的偏导数是多少？&/a&&br&&br&也许你还是觉得这个问题自找麻烦了，那么请打开一本&a class=&internal& href=&/topic/&&热力学与统计物理&/a&的教科书，比如 汪志诚 的，你就会看到&img src=&///equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+U%7D%7B%5Cpartial+T%7D+%29_%7BV%7D+& alt=&(\frac{\partial U}{\partial T} )_{V} & eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+U%7D%7B%5Cpartial+T%7D+%29_%7BS%7D+& alt=&(\frac{\partial U}{\partial T} )_{S} & eeimg=&1&&这类绝非扯淡的偏微分方式。&br&回到我们的原本的问题上来，单独地处理&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial u}{\partial x} & eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial u} & eeimg=&1&&的问题时，我们不会问&没变化自变量是谁&。&br&当问题是处理它们的关系之时，”没变化自变量是谁“就值得考虑了。&br&在计算&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial u}{\partial x} & eeimg=&1&&之时，&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&随着&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&一起变化，而本来是和&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&一起共同决定&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&的值的&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&保持不变&img src=&///equation?tex=u%3Du%28x%2Cy%29& alt=&u=u(x,y)& eeimg=&1&&，在计算&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial u} & eeimg=&1&&之时，本来与&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&一起决定&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&的值的&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&没有变&img src=&///equation?tex=z%3Dz%28u%2Cv%29& alt=&z=z(u,v)& eeimg=&1&&.&br&此外，还知道 &img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&的函数，而&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&又都是&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&的函数，所以最基层的自变量是&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&.&br&这样一来，计算&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial u} & eeimg=&1&&的过程从最基层的自变量&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&的角度理解就是&img src=&///equation?tex=z%28u%28x%2Cy%29%2Cv%28x%2Cy%29%29& alt=&z(u(x,y),v(x,y))& eeimg=&1&&随&img src=&///equation?tex=u%28x%2Cy%29& alt=&u(x,y)& eeimg=&1&&变化而变化，未变化的是&img src=&///equation?tex=v%28x%2Cy%29& alt=&v(x,y)& eeimg=&1&&.&br&于是乎，一边是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial x} & eeimg=&1&&：&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&自由变化，&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&固定不变，而&img src=&///equation?tex=u%28x%2Cy%29& alt=&u(x,y)& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=v%28x%2Cy%29& alt=&v(x,y)& eeimg=&1&&均可以随着&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的改变而变化。一边是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} & eeimg=&1&&:&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&倒是仍能自由变化，右侧分式的&img src=&///equation?tex=u%28x%2Cy%29& alt=&u(x,y)& eeimg=&1&&也可以随&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&而变化，不过左侧分式的&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&出现在分母位置，也就是说&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&被锁定死了，所以计算结果自然不会与&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial z}{\partial x} & eeimg=&1&&相等。&br&用比较专业的话来说就是：&b&定义偏导数的时候，一定要说明使用的整体坐标系统&/b&，而不是只看“分子”和“分母”。&br&用通俗一些的话来说：一所名叫&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&的房子里面有两个房间：&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&，两个房间里面都有两种人&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&，直接算&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+x%7D& alt=&\frac{\partial z}{\partial x}& eeimg=&1&&相当于让两个房间里面的&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&类型的人闭嘴，听听整个房子里面&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&类型的人说话是什么效果，而&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D& alt=&\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}& eeimg=&1&&相当于先封印&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&房间，只开放&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&房间，然后看看只让&img src=&///equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&&房间里面&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&类型的人说话是什么效果。至于那个完整的偏微分展开式也可以做类似的比拟来理解。&br&&br&——————————————————————————————————————&br&&br&接下来，我将采用古典的几何直观方法给出微分形式的论证。&br&&br&可微的一元函数&img src=&///equation?tex=y%3Dy%28x%29& alt=&y=y(x)& eeimg=&1&&可以看成平面上的一条曲线，而它的微小局部可以近似成一段直线。&br&在点&img src=&///equation?tex=%28x_%7B0%7D%2C+y_%7B0%7D++%29& alt=&(x_{0}, y_{0}
)& eeimg=&1&&附近微小的一段函数都可用一条直线（其实也就是它的切线）代替：&br&&img src=&///equation?tex=y-y_%7B0%7D%3Dk%28x-x_%7B0%7D%29& alt=&y-y_{0}=k(x-x_{0})& eeimg=&1&&&br&既然是等效的替代，就有理由认为直线的微分形式&img src=&///equation?tex=dy%3Dk+dx& alt=&dy=k dx& eeimg=&1&&也是曲线的微分形式。&br&&br&与此类似的，可微的二元函数&img src=&///equation?tex=z%3Dz%28x%2Cy%29& alt=&z=z(x,y)& eeimg=&1&&可以看成三维空间中的一块曲面，它在点&img src=&///equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%2Cz_%7B0%7D%29& alt=&(x_{0},y_{0},z_{0})& eeimg=&1&&附近微小的一块曲面可以用小块平面代替：&br&&img src=&///equation?tex=z-z_%7B0%7D%3Dm%28x-x_%7B0%7D%29%2Bn%28y-y_%7B0%7D%29& alt=&z-z_{0}=m(x-x_{0})+n(y-y_{0})& eeimg=&1&&&br&两者共同的微分形式：&img src=&///equation?tex=dz%3Dmdx%2Bndy& alt=&dz=mdx+ndy& eeimg=&1&&&br&&br&从&img src=&///equation?tex=dy%3Dk+dx& alt=&dy=k dx& eeimg=&1&&可以直接得到&img src=&///equation?tex=k%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+& alt=&k=\frac{dy}{dx} & eeimg=&1&&，但是面对&img src=&///equation?tex=dz%3Dmdx%2Bndy& alt=&dz=mdx+ndy& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&该怎么办呢？&br&那就强行让&img src=&///equation?tex=dx%3D0& alt=&dx=0& eeimg=&1&&或者&img src=&///equation?tex=dy%3D0& alt=&dy=0& eeimg=&1&&吧，&img src=&///equation?tex=m%3D%5Cfrac%7Bdz%28x%2Cy%29%7D%7Bdx%7D+%28dy%3D0%29& alt=&m=\frac{dz(x,y)}{dx} (dy=0)& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=n%3D%5Cfrac%7Bdz%28x%2Cy%29%7D%7Bdy%7D+%28dx%3D0%29& alt=&n=\frac{dz(x,y)}{dy} (dx=0)& eeimg=&1&&&br&不过这样写不太方便，改为&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%3D%5Cfrac%7Bdz%28x%2Cy%29%7D%7Bdx%7D%28dy%3D0%29& alt=&\frac{\partial z(x,y)}{\partial x} =\frac{dz(x,y)}{dx}(dy=0)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%3D%5Cfrac%7Bdz%28x%2Cy%29%7D%7Bdy%7D%28dx%3D0%29& alt=&\frac{\partial z(x,y)}{\partial y} =\frac{dz(x,y)}{dy}(dx=0)& eeimg=&1&&&br&微分形式变为：&img src=&///equation?tex=dz%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddy& alt=&dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy& eeimg=&1&&&br&参考如下照片，倾斜的截面就是近似代替二元函数的平面，各个偏导数的几何意义如图所示：&br&&img data-rawheight=&996& data-rawwidth=&744& src=&/eabd77ed84_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&744& data-original=&/eabd77ed84_r.jpg&&&img data-rawheight=&1037& data-rawwidth=&775& src=&/85a999e7e3d52afeaa0b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&775& data-original=&/85a999e7e3d52afeaa0b_r.jpg&&暂且就这样吧
更新：7月4日22:00updated放在后半，之前的回答只字未易——————————————————————————————————————1.简而言之：\frac{\partial z}{\partial x} \ne \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} 2.繁…
那只是一个形式分数符号，没有任何理由可以约去。&br&&br&————————————————————————&br&&br&更新 1：我们在这种情形有可以“消去”的写法，Jacobian。&br&假设 z 是 x, y 的函数，x, y 都是 u, v 的函数，且 z, x, y 分别对于各自的自变量&strong&可微（可导是不足的）&/strong&，则&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial%5Cleft%28u%2Cv%5Cright%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+z%7D%7B%5Cpartial%5Cleft%28x%2Cy%5Cright%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cleft%28x%2Cy%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial%5Cleft%28u%2Cv%5Cright%29%7D& alt=&\frac{\partial z}{\partial\left(u,v\right)}=\frac{\partial z}{\partial\left(x,y\right)}\cdot\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}& eeimg=&1&&&br&&br&其中&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cleft%28y_1%2C%5Cdotsc%2Cy_m%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial%5Cleft%28x_1%2C%5Cdotsc%2Cx_n%5Cright%29%7D%5Ctriangleq%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+y_i%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%5Cright%29%7D_%7Bm%5Ctimes+n%7D& alt=&\frac{\partial\left(y_1,\dotsc,y_m\right)}{\partial\left(x_1,\dotsc,x_n\right)}\triangleq{\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\right)}_{m\times n}& eeimg=&1&&&br&&br&这就是复合函数微分法（链式法则）。
那只是一个形式分数符号，没有任何理由可以约去。————————————————————————更新 1：我们在这种情形有可以“消去”的写法，Jacobian。假设 z 是 x, y 的函数，x, y 都是 u, v 的函数，且 z, x, y 分别对于各自的自变量可微（可导是…
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