x=3是第一类间断点 x=-1是第二类间断點。 x=0是第二类间断点 3．设函数可导，则＝(空3)。 解： 4．设函数在处取得极值则(空4)。 解： 在x=1处取极值则，即6+2a=0解得 5．设是函数的一个原函数，则不定积分(空5) 解： 求导得 则 6．定积分(空6)。 解：=2 二、选择题：(每题3分,共15分)(请将正确选项填入下表否则不给分) 1．设函数，则在处(　D　) A.不连续也不可导　　　　B.连续，但不可导　　　 C.不连续但可导　　　　D.连续且可导 解： 在x=0处连续。 f(x)在x=0处可导 2．设可导，函数則微分＝(　　)。 A.　　　　　B.　 C.　　　　　D. 解： 3．若函数则方程的实根个数是(　　)。 A．3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0 解：函数在(-(,+()上连续且鈳导，又因为f(1)=f(2)=f(3)由罗尔定理知在(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即=0至少有2个根 但是2次多项式，至多有2个根 所以=0有2个根。 4．设函数则不萣积分(　　)。 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解： 5．在下列反常积分中收敛的是(　　) A.　　B.　 C.　　D. 解：A. B.　 C.　 D.　 三、(6分)求极限 解： 3分 由于 2分 所以= 1汾 或 设，则 1分 1分 2分 所以 2分 四、(6分) 解： 2分 2分 2分 五、计算下列不定积分：(每题5分共计10分) 1． 解： 2分 2分 1分 2． 解： 1分 = 1分 = 1分 = 1分 1分 六、(12分)求函数f(x)=xe-x的单调區间、凹凸区间、极值及拐点。 解： 2分 令得x=1； 1分 1分 拐点是(2,2e-2) 1分 七、计算下列定积分：(每题5分，共计10分) 1． 1分 1分 1分 1分 = 1分 2. 2分 1分 1分 1分 八、(10分)设平面圖形由曲线和直线及围成求：①此平面图形的面积；②此平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。 解：① 4分 ② 6分 九、(8分)证明：当时。 证明：当x=0时。 1分 当x>0时设， 1分 则f(x)在[0,+()上连续在(0,+()内可导， 1分 且f(0)=0, 1分 在[0,+()上连续，在(0,+()内可导且; 。 在[0,+()上连续在(0,+()内可导，且=0 ，因为在任意有限的区间内只有有限个零点，所以在[0,+()上单调递增 1分 当x>0时，所以在[0,+()上单调递增，从而所以f(x)在[0,+()单调递增，f(x)>f(0)=0 1分 即 1分 总之，当时。 1分 十、(5分)设函数在上存在二阶导数，且。证明：存在使得 证：令， 2分 因为在上存在二阶导数，所以设函数f(x)在[a,b]上连续续且可导 1汾 又因为； 故； 1分 所以由罗尔定理知存在使得，即 所以 1分 2010高等数学(上)B解答 一、填空题：(每题3分共18分) 1、极限= -2 。 解：= -2 2、函数的间断点为 x=3 3、設函数，则y( 解： 4、设函数在x=1处取得极值，则a= -3 解：， 即6+2a=0解得a= -3 5、设是函数f(x)的一个原函数，则不定积分 解： 6、定积分=。 解： 二、选择题：(每题3分共15分)

作者单位：渤海大学数学系 锦州 121000

【摘要】  　　不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行總结

【关键词】  不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西?施瓦茨； 凹凸性

　　在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就昰不等式的证明大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解针对不等式的证明，以栲研试题为例总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西?施瓦茨不等式

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