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第3章习题解答
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官方公共微信2010NOIP提高初赛问题求解第三题求证明!记T为一队列,初始时为空,现有n个总和不超过32的正整数依次入列.如果无论这些数具体为何值,都能找到一种出队的方式,使得存在某个时刻队列T中的数之_百度作业帮
2010NOIP提高初赛问题求解第三题求证明!记T为一队列,初始时为空,现有n个总和不超过32的正整数依次入列.如果无论这些数具体为何值,都能找到一种出队的方式,使得存在某个时刻队列T中的数之
2010NOIP提高初赛问题求解第三题求证明!记T为一队列,初始时为空,现有n个总和不超过32的正整数依次入列.如果无论这些数具体为何值,都能找到一种出队的方式,使得存在某个时刻队列T中的数之和恰好为9,那么n的最小值是___________.
本题可用抽屉原理求解.设 为各正整数值,则T的队列顺序为 a1,a2,a3… an,设bi为前i项数之和,则 b0=0,b1=a1 ,b2=a1+a2 ,b3=a1+a2+a3 ….如队列T中的数之和恰好为9,实际上即是找到某个bj和bi ,使得 bj-bi=9.由题意可知bi取值范围为1-32,现将这32个数构造为集合{1,10}, {2,11}, …, {8,17}, {18,27}, {19,28},…,{23,32} ,{24},{25},{26},这17个集合中的任一个集合不能包含两个或两个以上的 ,否则它们的差为9.例如设n=17时,队列T为
,即 b1=1, b2 =2,… b8=8, b9 =18,
b11=20… b17=26,它们中没有任意两个数是在同一集合内的,所以不存在数之和恰好等于9.故根据抽屉原理可得,当n=18时,至少存在两个 在同一个集合,即它们的差为9.因此,答案为n=18.第3章习题解答_图文_百度文库
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复变函数习题答案第3章习题详解52-2
4)；dzz?i；，C：z?1（其中C为以?；12；，?；65；；i为顶点的正向菱形）；解：在所给区域内，f?z??；1z?i；有一孤立奇点，由柯西积分公式：C；dzz?i；?2?i；5)；?z?a?；（其中a为a?1的任何复数，C：z?1为正向）；解：当z?a，f?z??；?z?a?；在所给区域内解析，根据柯西―古萨基本定理：C；?z?a?；2?i2!e；
4)Cdzz?i，C：z?1（其中C为以?12，?65； i为顶点的正向菱形）解：在所给区域内，f?z??1z?i有一孤立奇点，由柯西积分公式：Cdzz?i?2?i5)?z?a?Cez3（其中a为a?1的任何复数，C：z?1为正向）。 dz，解：当z?a，f?z??ez3?z?a?z在所给区域内解析，根据柯西―古萨基本定理：Cez3?z?a?2?i2!eadz?0当z?a，f?z??e在所给区域内解析，根据高阶导数公式：Cez3?z?a?dz??e?ia10． 证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，C1z2dz?0。证明：当C所围成的区域不含原点时，根据柯西―古萨基本定理：C1z2dz?0；当C所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：C1z2dz?2?if'?0??0；11． 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1)z?2zzzzdz2)z?4dz解：1）z?2zzdz??2?2e?i?i? 2e2iei?d??0；
2）z?4zzdz??2?4e?i?i? 4e4iei?d??0由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为f?z??复平面上处处不解析。zz在12． 设区域D为右半平面，z为D内圆周z?1上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与?z1z，证明Re??0?1????。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周z?1到z的曲线作d???4?2为C。 证明：因为f????11??2在D内解析，故积分?z11??62 d?与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从1 沿圆周z?1到z的曲线作为C，则：z ?11??2 d???1111?x2 dx???11?e2i? dei??arctgx10???iei?2i? 1?ed???4?i?? e?i??ei?d?????z1?i?2sec?d?
?Re??004?1??2??d???4?13． 设C1和C2为相交于M、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为B1与B2。B1与B2的公共部分为B。如果f?z?在B1?B与B2?B内解析，在C1、C2上也解析，f?z?dz?C1f?z?dz。C2证明：如图所示，f?z?在B1?B与B2?B内解析，在C1、C2上也解析，由柯西―古萨基本定理有：f?z?dzNOMP1N?0f?z?dzMRNP2M?0?f?z?dzNOMP1N?f?z?dzMRNP2M??f?z?dz??f?z?dzNOMMP1N??f?z?dz??f?z?dzMRNNP2M ??f?z?dz??f?z?dzNOMNP2M??f?z?dz??f?z?dzMRNMP1N??f?z?dz??f?z?dzNOMMP2N??f?z?dz??f?z?dzMRNNP1M?f?z?dzC2?f?z?dzC114． 设C为不经过?与??的正向简单闭曲线，?为不等于零的任何复数，试就?与??跟C的不同位置，计算积分Czz??22dz的值。解：分四种情况讨论：1） 如果?与??都在C的外部，则f?z??zz??22在C内解析，柯西―古萨基本定理有Czz??22dz?02） 如果?与??都在C的内部，由柯西积分公式有Czz??22dz?z???z???dz??z????z???dzCCzz??????2?i????2?i?????????zz??3） 如果?在C的内部，??都在C的外部，则f?z??在C内解析，由柯西积分公式有7zCz2??2dz?z????z???dzCz?2?i??????i4） 如果?在C的外部，??都在C的内部，则f?z??zzz??在C内解析，由柯西积分公式有Czz??22dz?z????z???dzC?2?i????????i15． 设C1与C2为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明21?zdz??2?i?Cz?z0?1C2??z2，当z在C内时，001dz??? z?z0???sinz0，当z0在C2内时。sinz证明：因为C1与C2为两条互不包含，也不相交，故C1与C2只有相离的位置关系，如图所所示。 1） 当z0在C1内时，f?z??21?zdz??2?i?Cz?z0?1sinzz?z0在C2内解析，根据柯西―古萨基本定理以及柯西积分公式：C2?12dz??2?izz?z02?i??sinzz2?z?z0?0?z0?22） 当z0在C2内时，f?z??21?zdz??2?i?Cz?z0?1z?z0在C1内解析，根据柯西―古萨基本定理以及柯西积分公式：C2?1dz??0?2?isinzz?z02?i??sinz?z?z0??sinz 21?z?dz??2?i?Cz?z0?1C2??z2，当z在C内时，001dz??? z?z0???sinz0，当z0在C2内时。sinz16． 设函数f?z?在0?z?1内解析，且沿任何圆周C：z?r，0?r?1的积分等于零，问f?z?是否必需在z?0处解析？试举例说明之。 解：不一定。例如：f?z??1z2在z?0处不解析，但z?r?11z2dz?0。17． 设f?z?与g?z?在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D。如果f?z??g?z?在C上所有的点处成立，试证在C内所有的点处f?z??g?z?也成立。证明：设z是C内任意一点，因为f?z?与g?z?在C及C内解析，由柯西积分公式有：
f?z??12?if???C??zd?，g?z??12?i?Cg????zd? 8又f????g???在C上所有的点处成立，故有：Cf?????zd???Cg????zd?即f?z??g?z?在C内所有的点处成立。18． 设区域D是圆环域，f?z?在D内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周K1与K2，K2包含K1，z0为K1，K2之间任一点，试证?3.14?仍成立，但C要换成K1??K2。 证明：19． 设f?z?在单连通域B内处处解析，且不为零，C为B内任何一条简单闭曲线。问积分Cf?z?dz是f?z?'否等于零？为什么？解：因为f?z?在单连通域B内处处解析且不为零，又解析函数f?z?的导数ff'?z?仍然是解析函数，故?z?在B内处处解析。根据柯西―古萨基本定理，有f?z?C'f?z?dzf?z?'?020． 试说明柯西―古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线？解：如C不是简单闭曲线，将C分为几个简单闭曲线的和。如C?C1?C2，则C1，C2是简单闭曲线。f?z?dzC?f?z?dz?f?z?dzC1C2?0?0?021． 设f?z?在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D内但不在C上的任f'意一点z0，等式C?z?z?z0dz??z?z?C f?z?2dz成立。证明：分两种情况：1） 如果z0在C的外部，f'?z?z?z0和f?z?z?z0在C内解析，故Cf'?z?z?z0'dz??z?z?C f?z?2dz?02） 如果z0在C的内部，在C内解析的函数f?z?，其导函数f西积分公式有：C?z?仍是C内的解析函数，根据柯f'?z?z?z0dz?2?if'?z?z?z?2?if '?z0??2?if'由高阶导数公式有：Cf?z??z?2z0?2dz?2?if'?z?z?z ?z0??Cf'?z?z?z0dz??z?z?C f?z?dz22． 如果??x,y?和??x,y?都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而s?? 9y??x，t??x??y，那末s?it是x?iy的解析函数。?s?x?t?x证明：?s??y??x???yx??xx，?s?y?t?y??yy??xy ?t??x??y
???xx??，yx??xy??yy 又??x,y?和??x,y?都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即?yx??xy，?xy??yx。??x,y?和??x,y?满足拉普拉斯方程：?xx????s?x??????t?yyy?0，?xx??yy?0yxxx，?s?y??yy??xy???t?x 故s?it是x?iy的解析函数。?u?x?u?y?u?y23． 设u为区域D内的调和函数及f??i，问f是不是D内的解析函数？为什么？解：设f?s?it，则s??u?x，t?????u??u?s???u??u， ????????2?x?x??x??y?y??x??y?x?x22???u??u?t???u??u????
， ??2???????????x?x??y??x?y?y?y??y??y?s22?t因为u为区域D内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程
??s?x??t?y，?s?y???t?x?
f是D内的解析函数。24． 函数v?x?y是v?x?y的共轭调和函数吗？为什么？ 解：??u?x?1，?u?y?1，?v?x?1，?v?y?1
??u?x??v?y，?u?y???v?x 故函数v?x?y不是v?x?y的共轭调和函数。25． 设u和v都是调和函数，如果v是u的共轭调和函数，那末u也是v的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？ 解：这句话不对。如果v是u的共轭调和函数，则f?z??u?iv是解析函数，满足柯西―黎曼方程： ?u?x?v?y?u?y?v?x?v?x?u?y???u??y?v?y?u?x???u??x?，??
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在全国高中数学竞赛第2卷只有3道题 已知 1、某校有25个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题.2、在所有没有解出第一道题的学生中,解出第2题的人数是解出第3题人数的2倍.3、只解出第1题
在全国高中数学竞赛第2卷只有3道题 已知 1、某校有25个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题.2、在所有没有解出第一道题的学生中,解出第2题的人数是解出第3题人数的2倍.3、只解出第1题的学生比余下的学生中解出第1题的人数多.4、只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题.则共有多少学生只解出第2题?3、中是“多1”
设：只解出第一道题的人数是x1,不止解出第一题的学生人数是x2；未解出第一道题的学生中,只解出第2题的人数是y,只解出第3题的人数是w,解出2、3题的人数是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必须是整数,所以得出w=2,r+2,y=6,x1=8,x2=7解出第二题的人数是y+r=8人}