高等数学的极限，无穷小问题_百度知道
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[√(1+xarcsinx)-√(cosx)][√(1+xarcsinx)+√(cosx)]= 1+xarcsinx-cosx所以 f(x)=(1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]当x→0时，分母是有极限2的，所以我们考虑分子1+xarcsinx-cosx的极限就可以了这一步把根号去掉了当x→0时，要将函数极限与x^k比较，最好的办法是泰勒展开只要保留第一个x项就可以了arcsinx =x+O(*x^3);cosx=1-x^2/2+O(x^4);所以1+xarcsinx-cosx=1+ x(x+O(*x^3))-(1-x^2/2+O(x^4))
= (3/2)x^2+O(x^4)因此f(x)= (1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]
[(3/2)x^2+O(x^4)]/ 2
= (3/4)x^2+O(x^4)实际上，函数极限与x^k比较，最直接办法就是泰勒展开这里其实是可以直接将 f(x)泰勒展开的但是f(x)表达式比较复杂，所以第一步去除根号可以大大简化而如果函数是由简单函数的和差积商等四则运算得到也可以先对简单的函数泰勒展开，然后再用四则运算合成例如x第二步中 xacrsinx 可以先计算acrsinx的泰勒展开，然后乘以x那么泰勒展开的运算就大大简化一些简单函数x→0时的x^k趋势是可以简单记住的，例如sinx tanx arcsinx
arctanx 这些函数和x 是等价的无穷小量1-cosx 是和 x^2等价的无穷小量exp(x)-1和 x等价的无穷小量之后，处理极限问题就变得很方便
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小o记号表示(在某个给定变换趋势下的)高阶无穷小量,你的图片里写得很清楚了o(1)就是g(x)=1的情况f(x)≠0 时 o(f(x))/f(x) = o(1) 也是对的,你只要记h(x)=o(f(x)),然后代定义就行了高数：o(x)-o(x)等于o(x)还是零,o(x)是比x高阶的无穷小同济六版的教材144页最后写的是等于o（x）,我不明白用同一个式子表示的无穷小相减为什么不是零?_百度作业帮
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因为比x高阶只是幂上高,前面还有系数呢.比如2x平方-x平方,还是比x高阶的无穷小.（在x趋向0时）高数高等数学1.7无穷小的比较_图文_百度文库
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高数高等数学1.7无穷小的比较
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有关高数的问题cosx的麦克劳林公式是1-x^2/2i +x^4/4i-x^6/6i+o(x^7),请问是不是只有当x趋向于0时才能用这个公式代替cosx,这个公式到底应该怎么用.还有就是最后加的高阶无穷小到底是x几次方的高阶无穷小,就上面的式子而言,可不可以写成o(x^6),o(x^8),或者o(x^5),o(x^4),哪个对,哪个不对,
不是啊.后面的o(x^7)只是表示当x→0时,后面的余项是x^7的高阶无穷小.如果x不趋于0,也无所谓,只是可能对做题没什么用.用法还是要具体题目具体分析.余项可以写成o(x^6)什么的,都无所谓,只是除开余项之后的部分精确程度不同,这对做题可能有影响,有的可能要精确一些（比如展开到x^6/6!）,有的可能就粗略一些就行了（比如展开到x^2/2!）.
如果就展开到
1-x^2/2i +x^4/4i-x^6/6i，那后面的高阶无穷小应该写什么是不是有要求的，比如只能最小写到o(x^6)，不能再小了，比如o(x^5)，o(x^4)，往大了写也对，如o(x^7)，o(x^8)，都行，请问我这样理解对不对。
后面是有要求的，一般展开到了x^k，后面就是o(x^k)。这里cosx是特例，把它继续展开就会发现没有x^7项，x^6后面直接是x^8，所以写成o(x^7)也对。绝对不能写o(x^5)（因为前面的x^6/6!显然也是o(x^5)，这么写就会非常的奇怪。。。），更不能写o(x^8)（因为余项不是x^8的高阶无穷小）。
哦，那请问您余项到底是x几次方的高阶无穷小，就1-x^2/2i +x^4/4i-x^6/6i而言，谢谢
余项是x^6的高阶无穷小。这里由于继续展开后x^7项系数为0，所以也是x^7的高阶无穷小。}