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八年级数学函数及其图象教案
第17章　　函数及其图象17、1　变量与函数第一课时
变量与函数　　教学目标　
使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义，能应用方程思想列出实例中的等量关系。　　教学过程　　一、由下列问题导入新课问题l、右图(一)是某日的气温的变化图看图回答：　　1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?2．这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(℃)也随之变化。问题2
一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s与t具有什么关系呢?问题3
设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．　　问题4
收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数：波长l（m）30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?　　二、讲解新课1．常量和变量在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量?第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化．第2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量．路程随着时间的变化而变化。第3个问题中的体积V和R是变量，而　是常量，体积随着底面半径的变化而变化．第4个问题中的l与频率f是变量．而它们的积等于300000，是常量．常量：在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量．变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量．2．函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t是自变量，T因变量(T是t的函数)．　
在上述的2个问题中，s＝30t，给出变量t的一个值，就可以得到变量s惟一值与之对应，t是自变量，s因变量(s是t的函数)。在上述的第3个问题中，V＝2πR2，给出变量R的一个值，就可以得到变量V惟一值与之对应，R是变量，V因变量(V是R的函数)．在上述的第4个问题中，lf＝300000，即l＝，给出一个f的值，就可以得到变量l惟一值与之对应，f是自变量，l因变量(l是f的函数)。函数的概念：如果在-个变化过程中；有两个变量，假设X与Y，对于X的每一个值，Y都有惟一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是因变量，此时也称 Y是X的函数．要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解．变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，如果Y有两个值与它对应，那么Y就不是X的函数。例如y2＝x3．表示函数的方法(1)解析法，如问题2、问题3、问题4中的s＝30t、V=2 R3、l＝，这些表达式称为函数的关系式，(2)列表法，如问题4中的波长与频率关系表；　　(3)图象法，如问题l中的气温与时间的曲线图．　　三、例题讲解　　例1．用总长60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m2)与边l(m)之间的关系式，并指出式中的常量与变量，自变量与函数。　　例2．下列关系式中，哪些式中的y是x的函数?为什么?　　(1)y＝3x＋2
(3)y＝3x2＋x＋5　　四、课堂练习　　课本第26页练习的第1、2，3题，五、课堂小结　　关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有惟一的值与它对应．对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式。　　六、作业　　课本第28页习题17.1第1、2题。第二课时
变量与函数　　教学目标　　使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。　　教学过程一、复习　　1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。　　2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．　　　　　　　　　　　　　3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．　　二、求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围　　问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?　　问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。从右边的分析可以看出，第n排的
座位数座位
　　　　　　　　　　　　　　 l
　　 18　　一方面可以用18＋(n－1)表　　　　　　2　　　18＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　　　18＋2示，另一方面可以用m表示，所以
　　...　　　　...m＝18＋(n－1)
　　　　　　　　　　 n
18＋(n－1)　　n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数，所以n取1≤n≤30的整数或0<n<31的整数。请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。　　2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围　　例1．求下列函数中自变量x的取值范围　　(1)y=3x－l
(2)y＝2x2＋7
(4)y=分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x＋2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x－2)必须是非负数式子才有意义．　
3．函数值　
例2．在上面的练习(3)中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?　　请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值．　　三、课堂练习　　课本第28页练习的第1、2、3题　　四、小结　　通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数．　　五、作业　　课本第29页的第3、4、5、6题．　　17、2　　函数的图象1．平面直角坐标系第一课时
平面直角坐标系　　教学目标使学生了解直角坐标系的由来，能够正确画出直角坐标系，通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点。　　教学过程同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?如果从门口算起依次是第1列，第2列、......、第8列，从讲台往下数依次是第l行、第2行、......、第7行，那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示。1．分别请一些同学说出自己的位置例如，×××同学是第3排第5列，那么(3，5)就代表了这位同学的位置。2．再请一些同学在黑板上描出自己的位置，例如右图中的黑点就是这些同学的位置．3．显然，(3，5)和(5，3)所代表的位置不相同，所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才能确定点在平面上的位置。　　问题：请同学们想一想，在我们生活还有应用有序实数对确定位置的吗?　　二、关于笛卡儿的故事直角坐标系，通常称为笛卡儿直角坐标系，它是以法国哲学家，数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的。介绍笛卡儿。　　三、建立直角坐标系为了用一对实数表示平面内地点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系，水平的轴叫做轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴的交点是原点，这个平面叫做坐标平面．在平面直角坐标系中，任意一点都可以用对有序实数来表示．如右图中的点 P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点P在x轴对应的数2，称为点P的横坐标；点P在y轴上对应的数为3，称为P点的纵坐标．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(2，3)，称为点P的坐标，这时点户可记作P(2，3)。　　建立了平面直角坐标系后，两条坐标轴把平面分四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴不属于任何一个象限．　　四、课堂练习1．请同学们在直角坐标系中描出以下各点，并用线依次把这些点连起来，看看是什么图案．(－4，5)、(－3，－1)、(－2，－2)、(0，－3)、(2，2)、(3，1)、(4，5)、(0，6)　　2．写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标．　　3．课本第32页的第3、4题　　五、小结　　本节课我们认识了平面直角坐标系，通过上面的讲解和练习可以知道，平面上的点都可以用有序实数来表示，也必须用有序实数表示；反过来，任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，所以，在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系。　　六、作业　　课本第37页习题17．2的第1、2、3题．　　第二课时
平面直角坐标系　　教学目标　　使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系．掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的求法，明确点在x轴、y轴上坐标的特点，能运用这些知识解决问题，培养学生探索问题的能力．　　教学过程　　一、复习　
在直角坐标系中分别描出以下各点：1、 A(3，2)、B(3，－2)、C(－3，2)、D(－3，－2)．　　2、分别写出点P、Q、R、S、M、N的坐标。　　3、写出点E、F的坐标。　　二、探索与思考通过以上练习，鼓励同学们自己提出问题，进而得出结论。若没有办法，可以通过以下思考题给予启发。1．在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?2．两条坐标轴上的点的坐标有什么特点?3．若点在第一、三象限角平分线上或者在第二、四象限角平分线上，它的横、纵坐标有什么特点?4．关于x轴、y轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系?通过对照以上图形讲解，启发学生得到如下结论：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；　　若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。　　三、例题讲解例1，如果A(1－a，b＋1)在第三象限，那么点B(a，b)在(
)(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限分析：若要判断点在第几象限，关键是看横纵坐标的符号，从这题来看，就是要判断a、b的符号。　　四、课堂练习　1．求点A(2，－3)关于x轴对称y轴对称、原点对称的坐标；　2．若A(a－2，3)和A1(－1，2b＋2)关于原点对称，求a、b的值。　　3．已知：P(，)点在y轴上，求P点的坐标。　　五、小结　　这节课通过开始的练习探讨坐标轴、各个象限角平分线上的点的坐标有什么特点、各个象限的点的横纵坐标的符号以及关于x轴、y轴；原点对称的点横纵坐标的关系，知识比较零散，需要同学们理解后加以记忆。　　六、作业　　补充习题2．函数的图象第一课时
函数的图象(一)　　教学目标　　使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形，能够在平面
直角坐标系内画出简单函数的图象．　　教学过程　　一、引入问题：右边的气温曲线图给了我们许多信息，例如，那一时刻的气温最高，那一时刻的气温最低，早上6点的气温是多少?也许许多同学都可以看出来，那么请同学们说说你是如何从上面的气温曲线图中知道这些信息的．待同学回答完毕，教师给予解释：在上面的图形中，有一个直角坐标系，它的横轴与轴，表示时间；它的纵轴是轴，表示气温，这一气温曲线图实质上给出某日气温T(℃)与时间，(时)的函数关系，因为对于一日24小时的任何一刻，都有惟一的温度与之对应。例如，上午10时的气温是 2℃，表现在曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标(10，2)，也就是说，当t=10时，对应的函数值T＝2．由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系，因此，气温曲线图是由许许多多的点(t，T)组成的。　　二、函数的图象1.函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。2．画函数的图象例1．画出函数y＝x2的图象　　分析：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．　　第一步，列表。　　第二步，描点。　　第三步，连线。　 用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象。　　三、课堂练习　　课本第34页练习的第1、2题　　四、小结1．函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值。 2．根据列表、描点、连线这三个步骤画出简单函数的图象．五、作业课本第37页习题17．2的第4、5题．第二课时
函数的图象(二)教学目标　　通过观察函数的图象，深刻领会函数中两个变量的关系，能够从所给的图象中获取信息，从而解答一些简单的实际问题．　　教学过程一、从所给的函数图象中获取信息例1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷；右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 (米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)，看图回答下列问题：1．小强让爷爷先上多少米?2．山顶距离山脚多少米?谁先爬上山顶?3．小强通过多少时间追上爷爷?分析：从题意可以知道，线条①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系，线条②表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系(这两条线并不是小强与爷爷的爬山路线)。刚开始计时时，爷爷已经在小强的前方60米处，小强让爷爷先上60米；从上图来看，山顶距离山脚300米，因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少，所以，小强比爷爷快登上山顶；小强经过8分钟追上爷爷。例2．如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图，请根据示意田回答下列问题：1．学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长?2．11:00时该车离开学校有多远?3．学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少?　　分析：从图象上可以看出，该校学生上午8点出发，8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化，说明学生是在路途中，而9点到l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化，说明学生在参观景区或休息。如果同学们能够从图象上获取这些信息，对于上述的几个问题就容易得到解决。　　二、课堂练习课本第35页练习的第1、2题，等待学生思考后，解答。三、小结　　本节课进一步认识函数的图象，懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息，希望同学们多观察图象，应用所学的知识来获得信息，解决问题．　　四、作业　　1．课本第35页练习的第2题。　　2．课本第38页习题17．2的第6题。　　17．3
一次函数1．一次函数　　教学目标1．经历探索过程，发展学生的抽象思维能力．2．理解一次函敷和正比例函数的概念。3．能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．教学过程　　一、创设问题情境问题l：小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米／时．巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值．显然，应该探究这两个量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是S＝570－95t
(1)说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s为因变量。问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．分析：我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为9元，得到所求函数关系式为y＝__________ (2)问题3：以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点?　　(上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)　　二、一次函数的定义　　函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx+b的形式，其中k、b是常数，k≠0。当b=0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例。　　三、范例例1．梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm，写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式，并问这是一次函数吗?是正比例函数吗?　　例2．写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式，利用这函数关系式求边数取多少时，其内角和等于900度?　　四、课堂练习　　P40页练习1、2以及P41页练习3。　　五、作业　P47页习题17．3
2、3。2．一次函数的图象第一课时
一次函数的图象(一)　　教学目标　　1．经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．　　2．探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力。　　教学过程　　一、复习1．作函数图象一般步骤是什么?2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y＝x
(2)y＝x＋2
(4)y＝3x＋2　　教学要点：要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象；请两位同学板演；在学生互相评判的基础上教师加以评析．　　二、提出问题，解决问题　　问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。教师指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)的一条直线．问题3：几个点可以确定一条直线?问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?只要取两点。教师指出，今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．　　问题5：观察"做一做"画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．　　(1)y＝3x与y＝3x＋2　　(2)y＝x与y＝x＋2　　(3)y＝3x＋2与y＝x＋2　　能否从中发现一些规律?让学生分组讨论、交流，教师引导观察，总结。问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直线的
位置各有什么影响?让学生讨论，交流，发表意见，达成共识，然后填空：　　两个一次函数，当k一样，b不一样时，有　　共同点：__________________________　　不同点:___________________________　　当两个一次函数，b一样，k不一样时，有　　共同点：__________________________　　不同点：__________________________　　在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。(1)y＝2x与y＝2x＋3(2)y＝2x＋l与y＝x＋1请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．提问：你取的是哪几个点?和同学比较一下，怎样取比较简便?　　通过比较，教师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x，y轴的交点比较简便。　　三、课堂练习　　P42页练习l、2。　　四、小结1．一次函数的图象是什么形状呢?2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?　　3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?　　五、　　作业 P47页习题17．3第4、5题。　　第二课时
一次函数的图象(二)　　教学目标　　1、使学生熟练的作出一次函数的图象。　　2、探索一次函数作图过程。　　教学过程　　一、复习1．一次函数的图象是什么形状呢?2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的一条直线?3．画一次函数图象时．只要取几点?4．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．并说出它们有什么关系。　　　　　y＝4x
y＝4x＋2　　二、范例例l：求直线y＝－2x－3与x轴和y轴的交点．并画出这条直线．提问：平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征?让学生分组讨论、交流，发表意见，教师引导并归纳为x轴上的点的坐标为(x，0),y轴上的点坐标(0,y)说明:1.画出直线后，要在直线旁边写出一次函数解析式。2．在坐标轴上取点有什么好处?　　例2，画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数　　s＝570－95t的图象。提问：1．这里s和t取的数悬殊较大，怎么办?　　让学生分组讨论，然后发表意见，教师引导并归纳为：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示．　　2．作图要取几点?如何取点最好?3．你能画出这个函数图象吗?试试看．让学生动手画出函数s＝570－95t的图象，教师巡视指导，及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。画出这个函数图象后，讨论以下几个问题：1.这个函数是不是一次函数?2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?函数的图象是什么?3.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形?你能不能找出几个例子加以说明?　　对于以上第1和第2个问题，可让学生在讨论的基础上发表自己的看法，教师引导并归纳为：函数y＝570－95t是一次函数，函数中自变量的取值范围是0≤t≤6，函数的图象是一条线段．对于第3个问题，只要求各小组分别能举出一个例子在班上交流，培养学生编题能力和创新精神．　　三、课堂练习　　P44页练习l、2。　　四、小结1．在坐标轴上取点有什么好处?如何取点?2．在实际问题中，当自变量x和因变量y取的数较大，应如何选取直角坐标系的单位长度?　　3．在实际问题中，一次函数的图象都是直线吗?为什么?　　五、　　作业 P47页习题17．3
6、7．　　3．一次函数的性质第一课时
一次函数的性质(一)　　教学目标1、探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．　　2、掌握一次函数y＝kx＋b的性质。　　教学过程　　一、观察、分析一次函数图象特点1．画出一次函数y＝x＋1的图象．让学生动手画出一次函数，y＝x＋l的图象，复习一次函数的怍图方法．教师在黑板上画出一次函数y＝x＋1的图象。2．观察，分析函数y＝x＋l图象的变化规律．师生共同观察分析，当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐渐从低到高变化(函数y的值也从小到大)问题2中的函数y＝50＋12x是否这样?这就是说，函数值y随自变量x增大而_______在同一直角坐标系中画出函数y＝3x－2的图象(如图中的虚线)是否也有这种现象．进-步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论．3、画出函数y＝－x＋2和y＝－x－1的图象。学生动手画出以上一次函数图象，教师指导并纠正学生可能出现的错误画法．同时，教师在黑板面出这两个一次函数的图象．4、观察、分析函数y＝－x＋2和y＝－x－1图象的变化规律．问题l：仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同?你能否发现什么规律?让学生分组讨论．发表意见，教师评析并归纳为：当一个点在直线上从左到右 (自变量x从小到大)时它的位置也在逐渐从高到低变化(函数y的值也从大到小)．其规律是函数值随自变量x的增大而减小．再联想问题1中的函数y＝570－95t，是否也有这样的规律，发表你的看法．　　让学生讨论回答，问题1中的函数y＝570－95t也有与上面得出的同样规律。　　二、归纳、概括　
根据以上研究的结果，你能表述一次函数y＝kx＋b的性质吗?让学生归纳、概括、表述如下性质:1．当k>0时,y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；2．当k<0时,y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．　
这些性质在P40问题1和P41问题2中，反映怎样的实际意义?　
让学生思考后回答．　　三、做一做画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：1．这个函数中，随着x的增大y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?2．当x取何值时，y＝0？　　3.当x取何值时,y>0?　　四、课堂练习　　P45页练习l、2．　　五、小结　　一次函数y＝kx＋b有哪些性质?　　六、作业　　P47页习题17.3
8、9(1)　　第二课时
一次函数的性质(二)　　教学目标　1．使学生理解待定系数法。　　2.能用待定系数法术一次函数的解析式．　　教学过程　　一、范例　
已知弹簧的长度g(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函
数．现己测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．分析:已知y与x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式．所以要求的就是系数k和b的值，而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝6时,y＝6；当x＝4时,y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，进而求得k和b的值．提问：　
1．确定一次函数的表达式需要几个条件?2．确定正比例函数的表达式需要几个条件?举例说明。待定系数法：先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程式方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。　　二、做一做已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当x＝5时，函数y的值。提问：1．这里的已知条件是否给出了x和y的对应值?2．题意并没有要求写出函数关系式，解题中是否应该求出?该如何人手。让学生认真思考以上问题并回答。　　三、课堂练习　　P46页练习l、2，阅读P48页内容。　　四、小结1．什么叫做待定系数法?2．用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件?　　3．用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件?　　五、作业　　P47页习题17．3
8、9、10。17．4
反比例函数1．反比例函数　　教学目标1．经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力。　　2．理解反比例函数的概念，会列出实际问题的反比例函数关系式。　　教学过程　　一、复习1．什么是正比例函数?2．复习小学已学过的反比例关系，例如(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝s(s是常数)3．创设问题情境问题1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了。假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系。分析：和其他实际问题一样，要探索两个变量之间的关系，应先选用适当的符
号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。设小华乘坐交通工具的速度是v千米／时，从家里到镇上的时间是t小时，因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以t＝___________(1)问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场。设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系。根据矩形面积可知xy＝24即y＝_________________(2)　
提问：1.以上(1)和(2)这两个函数有什么共同点?让学生观察、分析后回答：这两个函数都具有y=
(k是常数)的形式)。　　2.自变量的取值范围有什么限制?　　二、反比例函数的意义1.反比例函数定义：形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。说明：反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例函数y=kx，即＝k，k是常数，且k≠0;反比例函数y＝，则xy＝k，k是常数，且k≠0。可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系，　　2，下列函数中，哪些是反比例函数(x为自变量)?说出反比例函数的比例系数：　　y＝
xy＝－　　x＝－5y　　分析：函数y＝ (k是常数，k≠0)叫做反比例函数。若一个函数可写成y＝ (k是常数，k≠0)的形式，则它是反比例函数；若y与x成反比例，则y可以写成y＝(k≠0，k是常数)，一个函数是否是反函数反比例函数，可以据此确定。　　三、课堂练习1．P50页练习1。2．补充：当m为何值时，函数y＝是反比例函数，并求出其函数的解析式。四、小结　　形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。在实际问题中，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．对反比例函数概念的理解，可与正比例函数进行比较，从本质上加以区别。　　五、作业 P52页习题17、4　　12、反比例函数的图象和性质　　教学目标　　1、使学生会画出反比例函数的图象。　　2、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质。　　教学过程　　一、复习　　1．什么是反比例函数?2．反比例函数定义要注意什么?　　(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)自变量x次数是-1;x与y之积为一非零常数；(3)不含其他项。　　二、提出问题，解决问题　　问题1：对于一次函数y＝kx＋b(b≠0)，我们是如何研究的?　　问题2：对于反比例函数的研究，能否象一次函数那样进行研究呢?　　问题3：上节课我们已经学习了反比例函数的定义，接下去将要研究什么问题?　　问题4：:对于-般的反比例函数y=
(k≠0，k是常数)的图象的研究，采取什么方法为好?　
例：画出函数y=的图象。　 分析：画出函数图象一般分为列表，描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0。解:1列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值；2．描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各个点。3．连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象，如图所示。这种图象通常称为双曲线。提问:这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?画出函数y＝－的图象。让学生动手画反比例的函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤；教师注意指导画函数图象有困难的学生，并评析。让学生讨论、交流以下问题；1、这个函数的图象在哪两个象限?和函数y＝的图象有什么不同?2、反比例函数y＝图象在哪两个象限?由什么确定?3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中，随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?在充分讨论、交流后达成共识：(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象跟内y随x的增加而减小;(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增大．四、课堂练习P52页练习1、2五、小结这节课，你学会了什么？六、作业P52页习题17、4　　2、317、5　　实践与探索第一课时　　实践与探索(一)　　教学目标　　1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。　　2、能利用函数图象解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。　　教学过程　　一、范例　　1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包赞，则可按每100页15元收费。两复印社每月收费情况如图所示。根据图象回答：(1)乙复印社的每月承包费是多少?(2)当每月复印多少页时．两复印社实际收费相同?(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社?提问：1、"收费相同"在图象上怎么反映出来?2、如何在图象上看出函数值的大小?请同学们讨论、解答、并交流自己的解答；教师引导学生如何读懂图形语言．并把图形语言转化为数学语言或文字语言。解答结果是：(1)乙复印社的每月承包费是200元；(2)当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社。说明：本题亦可用代数方法解。　　3．在17．3问题2中，小张的同学小王以前没有存过零用钱．听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张。请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张。　　分析(1)列表：这两个函数的自变量x的取值范围是自然数，列出x与y的对应值表： (2)描点作图，就得到函数的图象　提问：你能用其他方法解决上述问题吗?　　4．利用图象解方程组　　分析：两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解。　　二、课堂练习　　P54练习l、2。　　三、小结　　这节课，你学会了什么知识？　　四、作业　　P57页17、5　　1、2第二课时　　实践与探索(二)　　教学目标　　1、熟练掌握一次函数图象的画法，能通过函数图象获取信息，发展形象思维。　　2、体验一次函数图象与一元一次方程的解，一元一次不等式的解集之间关系的探索过程，培养学生图形语言，数学语言以及文字语言相互转化的能力。　　教学过程　　一、范例　　1．画出函数y＝x+3的图象，根据图象，指出：　　(1)x取什么值时，函数的值等于零?　　(2)x取什么值时，函数值y始终大于零?　　从函数y＝x+3图象可以看出：当函数值y等于零时，直线y＝x+3与x轴相交于点(－2，0)，这时的横坐标就是所求的x值。所以当x=－2时，函数值y等于零。因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0，横坐标都大于－2。所以当x>－2时，函数值y始终大于零。小结：在x轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式上，就是函数值大于0，在x轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析上，就是函数值小于0。提问：①当x取什么值时，函数值y始终小于零?②当x取什么值时，函数值y小于3?③当x取何值时，0≤y≤3?　　二、想一想　　由上例，想想看，一元一次方程 x+3＝0的解，不等式x+3>0的解集与函数y＝x+3的图象有什么关系?说说你的想法，并和同学讨论交流．　　在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳.　　三、课堂练习　　P55页练习l、2．　　四、小结　　本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体，今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系。　　五、作业 P57页　　习题17、5　　3、4第三课时
实践与探索(三)　　教学目标：　　1、经历进行近似计算和修正建立函数关系式的过程，发展学生的估算能力。　　2、能根据实际问题，求出近似的函数关系式，提高学生数学应用能力。　　教学过程　　一、创设问题情境　为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：　　　　能否据此求出V和t的函数关系?　　二、分析问题，解决问题分析：将这些数值所对应的点在坐标系中作出(如何选取y轴长度单位?)我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系，我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式。如图所示的图象就是这样的直钱，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60， 1002.3)，请你动手试一试，求出函数关系式。你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的点，请你自己试一试，再和同学讨论、交流，并发表你的意见。说明：1．要求学生要选取更适当的两点，不是任意取两点。2．教师在学生动手、动脑的同时，要适时加以引导，并加以评析。提问；17.3阅读材料中，小明计算鞋子的尺码时所用的方法，和这一个问题是否相仿?　　(小明计算鞋子的尺码时所用的方法，和这个问题相仿)　　三、课堂练习　　P56练习1。　　四、小结　　现实生活中的数量关系是错综复杂的，在生产和科技研究等实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要近似计算和修正，建立比较接近的函数关系进行研究，以便解决实践中遇到的现实问题。　　五、作业P57．5、P61．10、11。回顾与思考第一课时
回顾与思考(一)　　教学目标　　通过复习，使学生进一步深刻理解函数的概念以及平面上的点与有序实数对成一一对应关系，熟练地列出函数关系式以及求函数的自变量的取值范围，能看懂函数的图象，从图象上获取信息，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。　　教学过程　　　　　一、知识回顾1．函数的概念变量：变化过程中可以取不同数值的量。常量：变化过程中保持不变的量。函数：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于工的每一个值，y都有 惟一的值和它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。2、如何求函数的自变量取值范围考虑两个方面，其一是分母不等于0，其二是开偶次方的被开方数为非负数，对于实际问题，应根据具体情况而定。3．关于平面直角坐标系(1)平面上的点与有序实数对成一一对应关系，其含义是坐标平面上的每一个点都可以用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，这样数与形就有机地结合在一起。我们可以在平面上建立直角坐标系定出点的位置。(2)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标间具有什么关系?(3)各个象内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?(4)点落在坐标轴上，它的坐标有什么特点?4．函数的图象　　函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。　　二、练习　1．x2－3x－4是x的函数吗?为什么?　2．求下列函数的自变量取值范围　　y＝　　 y＝
y＝　　3．平行四边形的底边为5，则其面积S与底边上的高h之间的函数关系式是4．(1)若M(a－2，－a＋3)在x轴上，则a＝（　　　）；(2)若M(a－2，－a＋3)在第三象限，则a的取值范围是（　　　）；(3)若M(a－2，－a＋3)在第一、三象限的角平分线上，则a＝ （　　　）；(4)求M(a－2，－a＋3)在关于y轴对称的点的坐标是（　　）；5．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车或一国营出租车公司的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费是y2元，yl、y2分别与工之间的函数关系图象 (两条射线)如下图所示，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同?　　(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家公司的车比较合算?　　三、课堂小结　　本节课由于复习的知识多且零散，要求同学们在深刻理解的基础上加强记忆，并且做到灵活应用所学的知识解决问题．　　四、布置作业　　课本第60页复习题A组的1、2、3、4，B组的12、13。第二课时
回顾与思考(二)　　教学目标　　使学生掌握一次函数、反比例函数的图象和性质，掌握这两个函数中的系数对图象的影响，能用待定系数法确定这两个函数的解析式，进一步体会方程与函数的关系，正确画出这两个函数的图象，能从图象中获取信息，灵活运用所学的知识解决问题。　　教学教程　　一、给出问题　1．一次函数(y＝kx＋b，k≠0)　(1)k、b的符号对图象的影响是怎样的?　(2)如何求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标?　　(3)如何画一次函数的图象?　　(4)若两条直线互相平行，A的值是否会相同?　(5)会用待定系数法求一次函数的解析式吗?　(6)一次函数的性质如何表述?2．反比例函数(y＝，k≠0)(1)k的符号对图象的影响是怎样的?(2)如何画反比例函数的图象?画图象时与上述的一次函数的图象的画法有何区别?(3)双曲线经过一点，能确定它的解析式吗?　　(4)反比例函数的性质是如何描述的?　　二、范例例1．若一次函数的图象与直线y＝3x平行，且过A(2，4)点。(1)求此一次函数的解析式；(2)画出此函数的图象；(3)求这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积；(4)若在这条直线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1<x2，试比较y1，与 y2的大小。例2：已知直线y＝kx－k与双曲线y＝ (k≠0)，则它们在同一坐标系中的图象大致是(
分析：此题可以充分了解学生是否掌握函数对一次函数、反比例函数图象的影响。对于A图，直线要求k是正的，而双曲线要求k是负的，B、D图中直线本身与解析式的系数不符合，因此选(C)例3．已知：反比例函数y＝和一次函数y＝2x－1，其中一次函数的图象经过(a，b)，(a＋1，b＋2)两点。(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标；(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在P点，使△AOP是等腰三角形?若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。　 三、课堂练习1．画出一次函数y＝x－2的图象，并回答下列问题(1)当x取何值时，y＝0；(2)当x取何值时，y<0：(3)若≤x≤6，求y的取值范围。2．为加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用调控等手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准，每户的用水不超过6(m3)时，水费按每立方米a元收费；超过6(m3)时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费．　　该市某户今年7、8月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（m3）水费（元）757.58927设某户每月用水量为x(m3)，应交水费为y(元)(1)求a、c的值，并写出用水不超过6(m3)和超过6(m3)时，y与x之间的函数关系式。　　(2)若该用户9月份的用水量为8(m3)，求该户9月份的水费是多少元?　　四、小结　　五、作业 P61页6、7、8、9题}