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【刘锐】复数复习导学案（原创）
11:31:00 | By: zxzxliurui ]
复数复习导学案一、学习目标..二、知识点梳理：A.复数的概念：1.复数在)的分类实数虚数2.实数的条件3.虚数的条件不等于4.纯虚数的条件不等于;B.模的性质设（）的共轭复数为，则：1．,&&&，，&&&&（）2．,&&&；&&&&；3．&&&&&&&&&（）；&C.实系数的一元二次方程实系数的一元二次方程（、、，且）(1)当时，方程有两个不相等的实数根；(2)当时，方程有两个相等的实数根；(3)当时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根这时两根仍然满足韦达定理：，&小结：（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭；（2）实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、&，总可以进行因式分解：。三、典型例题例：已知ｚ0＝＋ｉ，ｚ－ｚ0＝，（）求复数ｚ在复平面内对应的点的轨迹（）求ｚ为何值时，ｚ有最小值，并求出ｚ有最小值，&2、在复数范围内分解因式：_____________&3、对于非零实数，以下四个命题都成立：①&；&&&&&&&&&&&&②&；③&若，则；④&若，则．那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是&&&&&&&&&&&&&&4、已知复数写出一个以为根的实系数一元二次方程&5、方程_________6、设复数的根，又为实数，则点（）的轨迹方程为7、8、计算&&&&&&.&变式：若,那么的值是&&&&&&.&9、＝&10、11、&12、13、求_________14、&15、16、方程四、归纳小结&&
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“复数”基础过关
&&&&日&&02:05&&&&青少年报
□ 深圳市高级中学 郑方兴
一、复数的基本概念：
１．虚数单位ｉ：①它的平方等于－１即ｉ２＝－１；②实数可以与它进行四则运算且原有的加、乘运算律仍然成立。
２．形如ａ＋ｂｉａｂ∈Ｒ的数叫复数，ａ、ｂ分别叫做它的实部与虚部。若ｂ＝０时就是实数；若ｂ≠０，则是虚数；若ａ＝０且ｂ≠０，则是纯虚数；
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
例１：以２ｉ－的虚部为实部，以ｉ＋２ｉ２的实部为虚部的新复数是（ ）。
Ａ．２－２ｉ Ｂ．２＋ｉ
Ｃ．－＋ｉ Ｄ．＋ｉ
分析：∵２ｉ－的虚部为２，ｉ＋２ｉ２的实部为－２， ∴新复数是２－２ｉ。
例２：已知复数ｚ与ｚ＋２２－８ｉ均是纯虚数，则ｚ＝＿＿＿＿。２００４年广东高考题
分析：设ｚ＝ｂｉ则ｚ＋２２－８ｉ＝ｂｉ＋２２－８ｉ＝ｂｉ２＋４ｂｉ＋４－８ｉ＝４－ｂ２＋４ｂ－２ｉ，令４－ｂ２＝０，ｂ＝±２，注意：经检验只有ｂ＝－２符合题意。当ｂ＝２时，ｚ＋２２－８ｉ＝０为实数。
３．两个实数可以比较大小，但个复数，如不全为实数，就不能比较大小。
ｚ１＝ａ＋ｂｉｚ２＝ｃ＋ｄｉ则ｚ１＝ｚ２的充要条件是ａ＝ｃ且ｂ＝ｄ。
复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题加以解决的重要途径和手段，往往是由一个复数相等的形式，得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量。
例３：若关于ｘ的方程ｘ２＋ｋ＋２ｉｘ＋２＋ｋｉ＝０有实根，求实数ｋ的值。
分析：此题为复系数的一元二次方程不能用△≥０来判断方程的根。
解：设原方程的实根为ａ，则代入方程后化为：
ａ２＋ｋａ＋２＋２ａ＋ｋｉ＝０。由复数为零的条件得：
又ａ≠０（若ａ≠０原方程化为２＋ｋｉ＝０ｋ不为实数），所以把ａ＝－代入２并化简得ｋ２＝８解出：ｋ＝±２。
二、 复数的代数形式运算：
设：ｚ１＝ａ＋ｂｉｚ２＝ｃ＋ｄｉａｂｃｄ∈Ｒ
则：ｚ１＋ｚ２＝ａ＋ｃ＋ｂ＋ｄｉ；ｚ１－ｚ２＝ａ－ｃ＋ｂ－ｄｉｚ１?ｚ２＝ａｃ－ｂｄ＋ｂｃ＋ａｄｉ＝＝＋ｉ
复数的乘方是相同复数的积，实数范围内正整数幂的运算在复数范围内仍然成立，即对任何ｚｚ１ｚ２∈Ｃ及ｍｎ∈Ｎ，有ｚｍ?ｚｎ＝ｚｍ＋ｎｚｍｎ＝ｚｍｎｚ１ｚ２ｍ＝ｚ１ｍｚ２ｍ
复数的代数形式的运算类似多项式的运算，但复数也有它独特的技巧，
如：ｉ的方幂运算ｉ４ｎ＋１＝ｉｉ４ｎ＋２＝－１ｉ４ｎ＋３＝－ｉｉ４ｎ＝１
记ω＝－＋ｉ，则ω２＝ω＝ω３＝１ω２＋ω＋１＝０ω?ω＝１以及１±ｉ２＝±２ｉ＝ｉ＝－ｉ等运算结论。能使运算更加简捷。
例４：计算ｉ＋＋ｉ８－＋
略解：原式＝ｉ＋２１＋ｉ－＋＝－ｉ＋４ｉ－ｉ＋ｉ＝２５６－ｉ
例５：在复数集内把下列各式因式分解：
⑴ｘ２－２ｘ＋３ ⑵ｘ４＋ｘ２－６
略解：⑴原式＝ｘ－１＋ｉｘ－１－ｉ
⑵原式＝ｘ－ｘ＋ｘ＋ｉｘ－ｉ。
用因式分解求方程的根有时很简捷，由⑵知方程ｘ４＋ｘ２－６＝０在复数集中的解集－ｉ－ｉ，复数的引入解决实系数一元二次方程在△＜０时解的问题。看下面例题：
例６：已知ｘ＝是实系数一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋１＝０的一个根，求ａｂ。
分析：可将ｘ化简，代入方程由复数相等的充要条件求出 ，也可由根与系数的关系求解。
解法一：∵ｘ＝，∴ｘ２＝ 代入方程中，即ａ＋ｂ＋１＋ａ＋ｂｉ＝０∵ａｂ∈Ｒ∴ａ＋ｂ＋１＝０且ａ＋ｂ 解得：ａ＝１ｂ＝－。
解法二：∵ｘ＝是方程的一根， 该方程的另一根为ｘ＝由根与系数的关系＋＝－且?＝同样解得：ａ＝１ｂ＝－。
三、复数的几何意义：
４．建立直角坐标系来表示得到的平面叫做复平面，其中Ｘ轴叫做实轴，ｙ轴叫虚轴。复平面内复数ａｉ＋ｂａｂ∈Ｒ对应的点Ｚａｂ，连ＯＺ，把向量叫复数ａｉ＋ｂ对应的向量。
复平面上的点集，复平面内以Ｏ为起点，以Ｚ为终点的向量集，与复数集Ｃ建立一一对应关系，这是复数的几何意义。
ｚ＝ａｉ＋ｂ与ｚ＝ａｉ－ｂ互为共轭复数。
向量的模叫做复数ｚ＝ａｉ＋ｂ的模记作：或，由模的定义可知：＝ｚ?＝模能进行大小比较。复数加、减法的几何意义对应向量的加、减法。
两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。
例７：在复平面内有Ａ、Ｂ、Ｃ三点，点Ａ对应的复数是 ２＋ｉ向量表示的复数是１＋２ｉ向量表示的复数是３－ｉ则点Ｃ对应的复数＿＿＿＿＿＿＿＿。
分析：本题考查复数的几何意义，由向量的运算可知：点Ｃ对应的复数为４－２ｉ。
例８：已知复数ｚ的模为２，则的最大值为＿＿＿＿。
分析一设 ｚ＝ａｉ＋ｂａｂ∈Ｒ由＝２得ａ２＋ｂ２＝４，
∴－２≤ｂ≤２ 又＝∴ｂ＝－２时， 有最大值３。
分析二：≤＋＝２＋１＝３
例９：设复数ｚ满足：＝３复数ω＝ｚ＋ｉ＋１，求ω在复平面内对应点Ｐ的轨迹。
解：∵ω＝ｚ＋ｉ＋１∴ｚ＝ω－ｉ＋１又＝３
即：＝３ 由复数的几何意义它表示以０３为圆心，３为半径的圆。
例１０：已知关于ｘ的方程ｘ２＋ｘ＋ｋ＝０有两个虚根αβ，且＝３求实数ｋ的值。
解：依题可知：该方程为实系数一元二次方程，所以方程的两虚根共轭，可设：α＝β，其中α＝ａ＋ｂｉａｂ∈Ｒ则β＝ａ－ｂｉ。所以： 又（根与系数关系仍然成立）∴又由＝＝３知：＝
∴ｋ＝＋＝。
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本章测试(第五章数系的扩充与复数的引入07-2
1?i1?i,化简,再根据i的周期性来解.1?i；1?in1?in化简f(n)=)+()(n∈N)；由i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,；8.若方程x2+x+m=0有两个虚根α、β,且|；答案:A；思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定；∵方程x2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有；由|α-β|＝３,得b＝±.3；3333时,α＝a
1?i1?i,化简,再根据i的周期性来解. 1?i1?i1?in1?in化简f(n)= )+()(n∈N)＝in+(-i)n. 1?i1?i思路分析：应先将由i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,给n赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C项.8.若方程x2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m的值为…（
D.-2 22答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解.∵方程x2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi,由|α-β|＝３,得b＝±. 323333时,α＝a+i,代入方程得(a+i)2+(a+i)+m=0, 222293即(a2+a+m-)＋(3a+)i＝０, 42当b=91?2?a?a?m??0,a??,????42得出?∴?故选A项.?3a?3?0.?m?5.??22??9.在复平面内,若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|,则z在复平面内对应点的轨迹为（
D.双曲线答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y∈R)，求模，用几何意义来解即可.22设z=x+yi(x,y∈R),|x+1＋yi|＝(x?1)?y,22|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝(y?1)?x, 2222则(x?1)?y＝(y?1)?x.∴复数z=x+yi对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A项.10.已知|z1|＝|z2|＝1,|z1-z2|＝2,则|z1＋z2|＝(
D.答案:A思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z1-z2|是以z1,z2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z1＋z2|为另一对角线长.由向量的平行四边形法则,知∠z1Oz2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z1＋z2|＝2.故答案选A项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）x3y??(x,y∈R),则x=_________,y=___________. 1?i2?i1?i39答案：
? 5511.设思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得x(1?i)3(2?i)y(1?i), ??(1?i)(1?i)(2?i)(2?i)(1?i)(1?i)整理得:xx6y3y?i???(?)i. 2252523?x6y???,x?,???252?5解得?∴???x?3?y,?y??9.??5?252?∴答案为x=39,y=?. 5512.设ω=?答案：2 13+i,A={x|x=ωk+ω-k,k∈Z},则集合A中的元素有__________-个. 22思路分析：此题是ω3=1,ω2=?的周期性的应用.∵ω3=1,设n∈Z,∴k=3n时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素.13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立:①a+1≠0;②(a+b)2=a2+2ab+b2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a2=ab,则a=b. a那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________.答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验11=i+=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. ai2i14.(2007重庆高考，理11) 复数的虚部为_____________. 32?i4答案： 5证.①不成立，例如，a=i,则a+思路分析：化简42i2i2i(2?i)?2?4i???，所以其虚部为. 352?i2?i(2?i)(2?i)515.(2007海南、宁夏高考，理15) i是虚数单位,?5?10i=___________.(用a+bi的形式表3?4i示,a,b∈R) 答案：?5?10i(?5?10i)(3?4i)(?5?10i)(3?4i)=1+2i. ??3?4i(3?4i)(3?4i)25思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）x2?3x?2216.（本小题满分10分）已知复数z=+(x+2x-3)i，求实数x,使: x?3(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.x2?3x?2解：解方程=0得x=1或x=2;解x2+2x-3=0得x=-3或x=1. x?3答：x=1时z是实数；x≠-3且x≠1时z是虚数；x=2时z是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z的实部和虚部分别是a和1,(1-2i)∈R,求z. z?解：∵z=a＋i,z=a-i,z?(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z?(1-2i)∈R,∴1＋2a=0,a=?z是z的共轭复数,且11,∴z=?＋i. 22思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根.解：方程整理为(x2+x-2)+i(x2+5x+6)=0.2??x0?x0?2?0,(1)设方程的实根为x0，则? 2??x0?5x0?6?0,(2)?x0?1或x?2,解方程组得? x??3或?2.?0同时满足①②的值为x0=-2.∴所求的根为x0=-2.思路分析：我们将方程的实根x0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可.19.（本小题满分12分）已知x,y∈R,x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1）i是共轭复数，求复数z=x+yi和z.?x2?2x?3x,解：由已知得? 2y?x?y?1,?解方程组得??x?0,?x?1, 或??y?1,?y?0.∴z=i或z=1，z=-i或z=1.思路分析：两个复数a+bi与c+di共轭，等价于a=c且b=d.由此可以得到关于x、y的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2x2?1?x2?2x?2?x2?2x?10.(x?1)2?32, 2222解：原方程可化为(2x)?2?(?1)?1?设z1=2x+2i,z2=1-x+i,z1+z2=1+x+3i,∴原方程可化为|z1|+|z2|=|z1+z2|, 显然，仅当OZ1与OZ2共线且同向时上式才成立，从而∴x=21?, 2x1?x11时等号成立，即x=是方程的根. 22思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为p，求证：（1）当p?1为实数时，原方程有实根； p?1p?1为纯虚数时，原方程有虚根. p?1（2）当证明：设α与β是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两根， 且bc?=p,则α+β=?α?β=, aa???1p?1??????, p?1????1?bc(?)2?4()p?12(???)(???)?4??b2?4acaa（(.① )????2p?1(???)2(???)2b2(?)a22（1）当p?1p?12为实数时，()≥0,则由①可得b2-4ac≥0，故原方程有实根. p?1p?1（2）当p?1p?12为纯虚数时，（)&0，则由①可得b2-4ac&0，故原方程有虚根. p?1p?1思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b2-4ac的符号就可以了.由题意，应在b2-4ac与教材习题点拨复习题五(P112)A组 p?1之间建立起联系. p?11???4x?1?0,?x?,????41.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0 y?2?0??y??2.?15?x?,???x?2y?3,y?(2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i?? ???(3x?y)??6??y??3.?7?思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i11=i4×2+3=i3=-i,i25=i4×6+1=i,i26=i4×6+2=i2=-1,i36=i4×9=1,i70=i4×17+2=i2=-1,i101=i4×25+1=i,i355=i4×88+3=i3=-i,i400=i4×100=1.思路分析:利用公式i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.3.解:(1)（3+4i）+（-5-3i）=（3-5）+（4i-3i）=-2+i；(2)（1-5i）+（2+3i）=（1+2）+（-5i+3i）=3-2i；(3)（-2+3i）+（6-5i）=（-2+6）+（3i-5i）=4-2i；(4)（7-i）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(?+i)(1+i)= ??i+i?=??-(?)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i.5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(?+i)(??i)=(?)2-(i)=+=1; (4)?1ii=-i; i?i包含各类专业文献、行业资料、中学教育、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、本章测试(第五章数系的扩充与复数的引入07等内容。　
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实系数一元二次方程教案1沪教版高二下
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13.6（1）实系数一元二次方程
上海市新中高级中学
　一、教学内容分析
本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.
为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充――由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.
二、教学目标设计
理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.
三、教学重点及难点
在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.
四、教学用具准备
电脑、实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一）复习引入
1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：
当时，方程有两个实数根：
2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:.
设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？
[说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.
（二）讲授新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程.
因为，所以原方程可变形为，
（1）当时，原方程有两个不相等的实数根
（2）当时，原方程有两个相等的实数根
（3）当时，，
由上一堂课的教学内容知，的平方根为，
此时原方程有两个不相等的虚数根
（为一对共轭虚数根）
[说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根.
设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？
回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程.
（，即为上节课学习过的）
例1（1）在复数集中解方程：；
（2）在复数集中解关于的方程：
解：（1）因为△=，所以方程的解为
（2）因为△=16-a2，
所以当△>0，即时，原方程的解为
当△=0，即时，若，则原方程的解为；
若，则原方程的解为.
当△<0，即时，原方程的解为
提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.
[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）
例2 已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.
[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.
既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.
若方程的两个解分别为，则
例3 在复数集中分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）=.
（2）（见课本P91）
提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数a.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系
对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.
设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？
利用求根公式,容易验证，.
例4 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值.
解：（见课本P91例2）
（三）巩固练习
见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.
[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.
（四）课堂小结
本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.
（五）课后作业
1．书面作业：练习册P55 习题13．6
A组 T1.2.3.4.5.
2．思考题：（补充题及备选题）
（1）在复数集中分解因式：.
（2）方程在复数集中解的个数为（
（3）在复数范围内解方程(i为虚数单位)
（3）原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
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运用与深化(例题解析、巩固练习)
实系数一元二次方程
课堂小结并布置作业
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13.6（1）实系数一元二次方程
上海市新中高级中学
　一、教学内容分析
本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.
为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充――由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.
二、教学目标设计
理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.
三、教学重点及难点
在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.
四、教学用具准备
电脑、实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一）复习引入
1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：
当时，方程有两个实数根：
2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:.
设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？
[说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.
（二）讲授新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程.
因为，所以原方程可变形为，
（1）当时，原方程有两个不相等的实数根
（2）当时，原方程有两个相等的实数根
（3）当时，，
由上一堂课的教学内容知，的平方根为，
此时原方程有两个不相等的虚数根
（为一对共轭虚数根）
[说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根.
设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？
回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程.
（，即为上节课学习过的）
例1（1）在复数集中解方程：；
（2）在复数集中解关于的方程：
解：（1）因为△=，所以方程的解为
（2）因为△=16-a2，
所以当△>0，即时，原方程的解为
当△=0，即时，若，则原方程的解为；
若，则原方程的解为.
当△<0，即时，原方程的解为
提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.
[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）
例2 已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.
[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.
既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.
若方程的两个解分别为，则
例3 在复数集中分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）=.
（2）（见课本P91）
提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数a.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系
对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.
设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？
利用求根公式,容易验证，.
例4 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值.
解：（见课本P91例2）
（三）巩固练习
见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.
[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.
（四）课堂小结
本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.
（五）课后作业
1．书面作业：练习册P55 习题13．6
A组 T1.2.3.4.5.
2．思考题：（补充题及备选题）
（1）在复数集中分解因式：.
（2）方程在复数集中解的个数为（
（3）在复数范围内解方程(i为虚数单位)
（3）原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
高考我做主@
运用与深化(例题解析、巩固练习)
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