答案：D提示：本题目应运用数学知识进行推导和计算：由于v=k[c(H2)]m·[c(Cl2)]n，则有：⑴选择c(Cl2)=1.0
mol·L-1的两种情况：1.0n=，则n=
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科目：高中化学
（2012?广州二模）工业上常利用醋酸和乙醇合成有机溶剂乙酸乙酯：CH3COOH（l）+C2H5OH（l）2SO4△CH3COOC2H5（l）+H2O（l）△H=-8.62kJ?mol-1已知CH3COOH、C2H5OH和CH3COOC2H5的沸点依次为118℃、78℃和77℃．在其他条件相同时，某研究小组进行了多次实验，实验结果如图所示．（1）该研究小组的实验目的是探究反应温度、反应时间对乙酸乙酯产率的影响．（2）60℃下反应40min与70℃下反应20min相比，前者的平均反应速率小于后者（填“小于”、“等于”或“大于”）．（3）如图所示，反应时间为40min、温度超过80℃时，乙酸乙酯产率下降的原因可能是反应可能已达平衡状态，温度升高平衡向逆反应方向移动；温度过高，乙醇和乙酸大量挥发使反应物利用率下降（写出两条）．（4）某温度下，将0.10mol&CH3COOH溶于水配成1L溶液．①实验测得已电离的醋酸分子占原有醋酸分子总数的1.3%，则该温度下CH3COOH的电离平衡常数K=1.7×10-5．（水的电离忽略不计，醋酸电离对醋酸分子浓度的影响忽略不计）②向该溶液中再加入1.7×10-2mol&CH3COONa可使溶液的pH约为4．（溶液体积变化忽略不计）
科目：高中化学
题型：阅读理解
光气（COCl2）在塑料、制革、制药等工业中有许多用途，工业上采用CO与Cl2在活性炭催化下合成．（1）实验室中常用来制备氯气的化学方程式为&MnCl2+Cl2↑+2H2OMnO2+4HCl（浓）MnCl2+Cl2↑+2H2O；（2）工业上利用天然气（主要成分为CH4）与CO2进行高温重整制备CO，已知CH4、H2和CO的燃烧热（△H）分别为-890.3kJ?mol-1、-285.8kJ?mol-1、-283.0kJ?mol-1，则生成1m3（标准状况）CO所需热量为5.52×103KJ；（3）实验室中可用氯仿（CHCl3）与双氧水直接反应制备光气，其反应的化学方程式为CHCl3+H2O2=HCl+H2O+COCl2；（4）COCl2的分解反应为COCl2（g）=Cl2（g）+CO（g）△H=+108kJ?mol-1．反应体系达到平衡后，各物质的浓度在不同条件下的变化状况如图所示（第10min到14min的浓度变化曲线未示出）：①计算反应在第8min时的平衡常数K=0.234mol?L-1；②比较第2min反应温度T（2）与第8min反应温度T（8）的高低：T（2）＜T（8）（填“＞”、“＜”或“=”）③若12min时反应于T（8）下重新达到平衡，则此时c（COCl2）=0.031mol?L-1④比较产物CO在2～3min、5～6min、12～13min时平均反应速率[平均反应速率分别以v（2～3）、v（5～6）、v（12～13）表示]的大小v（5～6）＞v（2～3）=v（12～13）；⑤比较反应物COCl2在5～6min、15～16min时平均反应速率的大小：v（5～6）＞v（15～16）（填“＞”、“＜”或“=”），原因是在相同温度时，该反应的反应物的浓度越高，反应速率越大．
科目：高中化学
题型：阅读理解
俗话说，“陈酒老醋特别香”，其原因是酒在储存过程中生成了有香味的乙酸乙酯，在实验室里我们也可以用如图所示的装置来模拟该过程．请回答下列问题：（1）浓硫酸的作用是：①催化剂②吸水剂．（2）饱和碳酸钠溶液的主要作用是除去挥发出来的乙酸和乙醇，减小乙酸乙酯溶解度，有利于分层．（3）装置中通蒸气的导管只能插到饱和碳酸钠溶液的液面处，不能插入溶液中，目的防止倒吸，长导管的作用是将反应生成的乙酸乙酯蒸气冷凝．（4）若要把制得的乙酸乙酯分离出来，应采用的实验操作是分液．（5）进行该实验时，最好向试管甲中加入几块碎瓷片，其目的是防止暴沸．（6）实验室可用乙醇来制取乙烯，将生成的乙烯通入溴的四氯化碳溶液，反应后生成物的结构简式是．（7）生成乙酸乙酯的反应是可逆反应，反应物不能完全转化为生成物，反应一段时间后，就达到了该反应的限度，即达到化学平衡状态．下列描述能说明该反应已达到化学平衡状态的是（填序号）②④⑤．①单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol水②单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol乙酸③单位时间里，消耗1mol乙醇，同时消耗1mol乙酸④正反应的速率与逆反应的速率相等⑤混合物中各物质的浓度不再变化．
科目：高中化学
题型：阅读理解
“酒是陈的香”，就是因为酒在储存过程中生成了有香味的乙酸乙酯，在实验室我们也可以用如右图所示的装置制取乙酸乙酯．回答下列问题：（1）写出制取乙酸乙酯的化学反应方程式△CH3COOC2H5+H2OCH3COOH+C2H5OH CH3COOC2H5+H2O（2）在大试管中配制一定比例的乙醇、乙酸和浓硫酸的混合液的方法是：先在大试管中加入乙醇，然后慢慢向其中注入硫酸，并不断搅拌，最后向装有乙醇和浓硫酸的混合物的大试管中加入乙酸．（3）浓硫酸的作用是：①催化作用；②吸水作用．（4）饱和碳酸钠溶液的主要作用是酯在其中的溶解度更小，有利于酯分离，除去粗产品中的乙酸有利于闻到酯香味．（5）装置中通蒸气的导管要插在饱和碳酸钠溶液的液面上，不能插入溶液中，目的是防止倒吸．（6）若要把制得的乙酸乙酯分离出来，应采用的实验操作是分液．（7）做此实验时，有时还向盛乙酸和乙醇的试管里加入几块碎瓷片，其目的是防止暴沸．（8）生成乙酸乙酯的反应是可逆反应，反应物不能完全变成生成物，反应一段时间后，就达到了该反应的限度，也即达到化学平衡状态．下列描述能说明乙醇与乙酸的酯化反应已达到化学平衡状态的有（填序号）②④⑤．①单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol水②单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol乙酸③单位时间里，消耗1mol乙醇，同时消耗1mol乙酸④正反应的速率与逆反应的速率相等⑤混合物中各物质的浓度不再变化．
科目：高中化学
“酒是陈的香”，就是因为酒在储存过程中生成了有香味的乙酸乙酯，在实验室我们也可以用如图所示的装置制取乙酸乙酯．回答下列问题：（1）写出制取乙酸乙酯的化学反应方程式（2）浓硫酸的作用是：（填符号）A催化作用&&&&B吸水作用&&&C强氧化作用（3）饱和碳酸钠溶液的主要作用是①溶解挥发出来的乙醇，②降低乙酸乙酯在水中的溶解度，便于分层得到酯，③．（4）在实验中球形干燥管的作用是．（5）若要把制得的乙酸乙酯分离出来，应采用的实验操作是．（6）做此实验时，有时还向盛乙酸和乙醇的试管里加入几块碎瓷片，其目的是．（7）生成乙酸乙酯的反应是可逆反应，反应物不能完全变成生成物，反应一段时间后，就达到了该反应的限度，也即达到化学平衡状态．下列描述能说明乙醇与乙酸的酯化反应已达到化学平衡状态的有（填序号）．①单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol水②单位时间里，生成1mol乙酸乙酯，同时生成1mol乙酸③单位时间里，消耗1mol乙醇，同时消耗1mol乙酸④正反应的速率与逆反应的速率相等⑤混合物中各物质的浓度不再变化．我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=k/x+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=k/x（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数y=4/x的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数y=4/x的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式4/x-1≤ax-1的解集．-乐乐题库
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我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=kx+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=kx（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数y=4x的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数y=4x的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式4x-1≤ax-1的解集．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=k/x+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=k/x（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识...”的分析与解答如下所示：
1）直接把A点坐标代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标；（2）①根据题意得到函数y=4x的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=4x-n，然后把M点坐标代入即可得到n的值；②根据题意易得图象C′的解析式为y=4x-1；图象l′的解析式为y=x-1；③不等式4x-1≤ax-1可理解为比较y=4x-1和y=x-1的函数值，由于y=4x-1和y=x-1为函数y=4x的图象和直线AB同时向右平移1个单位长度，得到的图象；而反比例函数y=4x的图象与正比例函数y=ax（a≠0）的图象的交点为A（2，2）和B（-2，-2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（-1，-2），则当x＜-1或0＜x＜2时，函数y=4x-1的图象都在y=x-1的函数图象上方．
解：（1）把A（2，2）代入y=ax得 2a=2，解得a=1．∵反比例函数y=4x的图象与正比例函数y=x的图象的交点关于原点对称，∴B点坐标为（-2，-2）；（2）①函数y=4x的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=4x-n，把M（2，4）代入得4=42-n，解得n=1；②图象C′的解析式为y=4x-1；图象l′的解析式为y=x-1；③不等式4x-1≤ax-1的解集是x≥3或-1≤x＜1．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式；会运用图形的平移确定点的坐标和同时提高阅读理解能力．
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我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=k/x+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=k/x（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运...
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经过分析，习题“我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=k/x+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=k/x（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识...”主要考察你对“反比例函数综合题”
等考点的理解。
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反比例函数综合题
（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
与“我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=k/x+2（k≠0）的图象是由反比例函数y=k/x（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识...”相似的题目：
如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=3x（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求出S1的最大值及相应的x的值；（2）填空：①当S1=S2时，x=&&&&；②当S1＞S2时，x的取值范围是&&&&；③当S1＜S2时的取值范围是&&&&．
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=2√3x的图象分别交于第一、第三象限的点B，D，已知点A（-a，0），C（a，0）．（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是&&&&；（2）①当点B坐标为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p、k和a的值；&&&& ②直接写出不等式kx＞2√3x的解集；（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．
已知函数y=2x和y=kx+1（k≠0）．（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值；（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点．
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该知识点好题
1如图，在函数y=4x（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，点B，P在双曲线上，下列说法不正确的是（　　）
2如图，已知在直角梯形OABC中，CB∥x轴，点C落在y轴上，点A（3，0）、点B（2，2），将AB绕点B逆时针旋转90°，点A落在双曲线y=kx的图象上点A1，则k的值为（　　）
3（2010o崇川区模拟）如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与双曲线y=4x(x＞0)的图象相交于A、B，设点A的坐标为（m，n），那么以m为长，n为宽的矩形的面积和周长分别为（　　）
该知识点易错题
1如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k＞0)的图象经过另外两个顶点C、D，且点D（4，n）（0＜n＜4），则k的值为（　　）
2一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（　　）
3如图，A（-1，m）与B（2，m+3√3）是反比例函数y=kx图象上的两个点，点C（-1，0），在此函数图象上找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为梯形．满足条件的点D共有（　　）
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第一题：已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R) 求证：ln(n+1)>1/3+1/5+……+1/（2n+1）第二题：已知双曲线C：-Y?/3=1,若存在一个以K（K≠0）为斜率的直线L与双曲线相交于2个不同的点M、N.若线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的
第二题：已知双曲线C：-Y?/3=1,若存在一个以K（K≠0）为斜率的直线L与双曲线相交于2个不同的点M、N.若线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求K的范围.第三题：已知双曲线C：5Y?/16-5X?/4=1,P是双曲线上一点,A、B是双曲线渐近线上的点分别位于第一、第二象限,若 向量AP=n向量PB,n∈（1/3,2）（1/3与2可以取到）,求△AOB的面积的取值范围（O为原点）
抱歉.我只会第一个.数学归纳法证明的、我解析几何学得不好.f(x)=lnx+2 x+1 ,定义域为（0,+∞）．∵f′(x)=1/x -2/(x+1)^2 =x^2+1/x*(x+1)^2 ＞0,∴h（x）在（0,+∞）上是增函数．当x≥1时,f（x）≥f（1）=1当n=1时,ln/n+1）=ln2 ∵3ln2=ln8＞1,∴ln2＞1/3 ,即n=1时命题成立．设当n=k时,命题成立,即 ln(k+1)＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） ．∴n=k+1时,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln（k+2）/（k+1） ＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） +ln（k+2）/（k+1） ．当x＞1时,lnx+2/（x+1） ＞1,即lnx＞（x-1）/（x+1） ．令x=（k+2）/（k+1） ,则有ln（k+2）/（k+1） ＞1/（2k+3） ,则有ln(k+2)＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） +1/（2k+3） ,即n=k+1时命题也成立．因此,不等式成立、已知抛物线C y^2=4x顶点在原点,焦点F(1,0),过点P（-1,0）作斜率为k的直线l交抛物线C于两点A、B线段AB的中点为M（1）将线段AB的长度d表示为k的函数d=f（k）,并注明函数的定义域（2）若直线l的中垂线交x轴于点N.试比较|F_百度作业帮
已知抛物线C y^2=4x顶点在原点,焦点F(1,0),过点P（-1,0）作斜率为k的直线l交抛物线C于两点A、B线段AB的中点为M（1）将线段AB的长度d表示为k的函数d=f（k）,并注明函数的定义域（2）若直线l的中垂线交x轴于点N.试比较|F
线段AB的中点为M（1）将线段AB的长度d表示为k的函数d=f（k）,并注明函数的定义域（2）若直线l的中垂线交x轴于点N.试比较|FP|,|FM|,|FN|的大小
计算量大,打字费时又累,2系统工程的基础理论与方法论 2.1 系统最优化理论作为系统科学中技术基础理论之一的运筹学，是从系统总体角度寻找最优解的 数学工具，其主要分支有：数学规划（线性规划、整数规划、非线性规划、目标 规划、动态规划等）、对策论、决策论、排队论、库存论、博奕论、图与网络技 术等。最优化是系统方法处理问题的基本方法之一，是从整体出
发，实现系统最优 运行状态的根本保证，是系统工程处理问题的关键环节。 系统最优化是指系统在一定约束条件下， 使目标函数实现最大 （或最小） 化， 它分为静态最优化和动态最优化两类。它是在系统目标分析、环境分析和系统预 测的基础上通过建立数学模型、数学模型的求解而实现系统的定量化，并为系统 运行在最优状态提供科学决策依据的过程和方法的总称。 系统静态最优化是研究 系统在相对静止、 平衡状态下的最优化问题， 系统动态最优化是研究系统在运动、 变化状态下的最优化问题。系统总是处在一定的环境条件之中，研究系统的目的，无非是使处在一定环 境条件限制下的系统在按某些目标评价时达到最优状态， 因此最优化过程是指得 到系统在一定限制条件下达到评价目标极大值（极小值）方案的过程。该过程一 般包括： （1）从系统思想出发对系统评价目标的定性和定量分析； （2）对系统约束条件的定性和定量分析； （3）建立系统模型； （4）系统模型求解； （5）对求解结果进行分析和系统因素变化时对求解结果影响的分析。在系统最优化的过程中，以定性分析为指导，把系统目标、约束条件用数学 形式进行描述，建立数学模型并求解的方法叫最优化方法，应用最优化方法所建 立的模型叫最优化模型。其中，最优化方法是最优化过程的关键和核心，其中应 用最广泛的最优化方法就是数学规划。 数学规划是研究系统在一定约束条件下达到某一评价目标最大（或最小）的 一种决策方法。其关键是从系统思想出发，在定性分析的指导下建立数学规划模 型。数学规划就是在一定的约束条件下，寻找目标函数极值问题。建立系统最优化模型的过程实质上是通过定性分析， 把环境对系统的限制和 系统的评价目标用促使系统状态变化的因素（即变量）来描述的过程。根据对系 统目标函数和约束条件的描述形式的差别， 静态数学规划模型可分为线性规划模 型和非线性规划模型等。本章主要介绍线性规划，目标规划，整数规划，非线性规划（包括无约束型 和约束型）和动态规划。2.1.1 线性规划?线性规划 30 年代出现，40 年代丹兹格提出单纯形法。?线性规划就是求线性函数在线性等式或不等式约束下达到最小或最大值 的问题。即约束条件为线性等式或不等式，且目标函数也为线性函数。?线性规划主要研究的问题有两类： 1．在给定数量的的人力、物力等资源下，如何科学地运用这些资源，以获得最大效益（去完成最大的任务） ，或在一定的条件下，寻求最优化的设计； 2．在给定任务的情况下，如何统筹安排，使用最小量的资源去完成这 项任务。一、例子例2-1 （P13） 生产计划问题 某工厂有三种原料 B1、B2 和 B3，储量分别为 170 千克、100 千克和 150 千克。现用此三种原料生产两种产品 A1 和 A2。已知每生产 1 千克 A1 需要原料 5 千克 B1、2 千克 B2 和 1 千克 B3。每生产 1 千克 A2 需要原料 2 千克 B1、3 千 克 B2 和 5 千克 B3。又知每千克 A1 产品利润为 10 元，每千克 A2 产品利润为 18 元。 问在工厂现有资源条件下，应如何安排生产，才使工厂获得最大利润。B1BB2BB3B利润（元） 10 18A1 A2 总量5 2 1702 3 1001 5 150解：设安排生产 A1、A2 产品的产量分别为 x1 和 x2 ，则根据题意，数学模型为max f ( x ) = 10 x1 + 18 x2?5 x1 + 2 x2 ≤ 170 ?2 x + 3 x ≤ 100 ? 1 2 ? ? x1 + 5 x2 ≤ 150 ? x1 , x2 ≥ 0 ?求解方法： 1. 图解法 2. 单纯形法 例 2-2 运输问题（产销平衡）从两个仓库（发点）运送库存原棉到三个纺织厂（收点） ，两仓库的库存 量、三个纺织厂的需求量、每吨原棉从个仓库运到工厂的所需运费如下表：工厂 1 仓库 1 仓库 2 需求量 （吨） 2 2 40工厂 2 1 2 15工厂 3 3 4 25库存量 （吨） 50 30 80问：在保证各个纺织厂的需求都得到满足的条件下，应采用哪一种运送原棉的方 案使得运费最少？用 xij 表示 i 仓库运送到 j 厂的原棉数量，总运费记为 f ( x ) ，于是数学模型为min f ( x ) = 2 x11 + x12 + 3x13 + 2 x21 + 2 x22 + 4 x23? x11 + x12 + x13 ≤ 50 ? x + x + x ≤ 30 ? 21 22 23 ? x11 + x21 = 40 ? ? ? x12 + x22 = 15 ? x13 + x23 = 25 ? ? xij ≥ 0, (i = 1, 2, j = 1, 2,3) ?求解方法： 1. 表上作业法 2. 单纯型法二、基本概念 线性规划模型三个基本要素： 决策变量：问题中要确定的未知量，决策者通过调整决策变量来选取不同方案；如例子中的 x1 和 x2 ， xij 。 目标函数：决策变量的函数，表达了问题的目标或准则；约束条件：表达了决策变量取值时受到的各种资源和条件限制。 线性规划问题的标准形：min f ( x ) = c1 x1 + c2 x2 ++ cn xns.t.?a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ?a x + a x + + a x = b 2n n 2 ? 21 1 22 2 ? ? ?a x + a x + + a x = b m mn n ? m1 1 m 2 2 ? x1 , x2 , , xn ≥ 0 ?, j = 1, 2, , n.式中， xi 为决策变量， ci , aij , b j 为实的常数，且 b j ≥ 0, i = 1, 2, 利用向量和矩阵符号可以将上述标准形式简写为min C T Xs, t. AX = b X ≥0其中，A 为矩阵，b,C,X 均为向量，即? a11 ?a A = ? 21 ? ? ? a m1 ?b = [b1 b2 C = [ c1 c2a12 a 22 am 2bm ]Ta1n ? a2 n ? ? ? ? a mn ? ?cn ] x2TX = [ x1xn ]T线性规划问题的标准形描述： 决策变量非负 目标函数求最小 约束条件等式 右端常数为正（非负）线性规划问题的标准形的转化方法：1）若约束条件不是等式，则加松弛变量（≤）或减剩余变量（≥） ； 2）若目标函数求最大，则对应目标函数反号后求最小； 3）若有的条件的右端常数为负，则将该条件的两边同乘以-1； 4）若某变量没有非负约束，则可引入两非负变量，将该变量表示成两非负变量之差。' 5）若某变量 xk ≤ 0 ，则引入新变量 xk = ? xk ≥ 0 .例2-2 （P16）将下列线性规划模型化为标准形min f ( x ) = ? x1 + 2 x2 ? 3 x3?? x1 + x2 + x3 ≤ 7 ? ? x1 ? x2 + x3 ≥ 2 s.t. ? ?3 x1 ? x2 ? 2 x3 = ?5 ? x1 , x2 ≥ 0 ?解对约束条件的前面两个方程分别引入松弛变量 x6≥ 0, x7 ≥ 0 ，且规定c6 = c7 = 0 ； 对 约 束 条 件 的 第 三 个 方 程 两 端 同 乘 以 － 1 ； 再 令≥ 0 。这样，上述线性规划模型化为标准形x3 = x4 ? x5 并增加条件 x4 , x5式：min f ( x ) = ? x1 + 2 x2 ? 3 x4 + 3 x5s.t . x1 + x2 + x4 ? x5 + x6 = 7 x1 ? x2 + x4 ? x5 ? x7 = 2 ? 3 x1 + x2 + 2 x4 ? 2 x5 = 5 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0若干定义： ? 可行解：满足约束条件的任意解；?可行域：满足约束条件的所有解的集合；?最优解：使目标达到极值的可行解，即线性规划问题的解。?最优值：最优解对应的目标函数值。三、线性规划的求解：图解求法：适用于低维线性规划（如两个决策变量）问题； 单纯形法：线性规划的一般解法（决策变量两个，三个或三个以上均可） 例2-3 用图解法解下列线性规划min? x1 ? 4 x2 ? x1 + x2 ≤ 2s.t. x1 + x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0解（1）以 1x , x2 为坐标轴画出直角坐标系；?x + x = 2（2） 分别画出 x1 + x2 = 4 ， ， x1 = 0 ， x2 = 0 四 1 2 条直线，则该问题的可行域为这四条直线包围的内部区域 s,如图 2-1 阴影部分所 示。 （3） 目标函数的等值线方程为 ? x1? 4 x2 = z 。因为要找的最优解在可? 4 x2 = z 沿 z 减小的方行域内使目标函数具有最小值，所以让等值线 ? x1 向在可行域内尽量平行移动，直到图中 1x = 1, x2 = 3 的位置，如果再移动就移出了可行域 s。于是，点（1，3）即为问题的最优解，目标函数的最优值为 －13。x2? x1 + x2 = 2(1,3)? x1 ? 4 x2 = z , z = ?13(0,2)S ? x1 ? 4 x2 = z , z = 0z减少方向图 2-1 图解法求解线性规划(4,0)ox1x1 + x2 = 4备注：用图解法求解线性规划问题时不必将线性规划模型化为标准形 式，其求解过程一般经历以下几步：以两个决策变量为轴在平面上建立直角坐标 系；图示由线性等式和不等式构成的约束条件，标出可行域；图示并移动目标函 数，寻找最优解。 例2-4 用单纯形法求如下线性规划minz = ?2 x1 ? 3x2（A1）? x1 + 2 x2 + x3 = 8 ? 4 x + x = 16 ? 1 4 ? 4 x2 + x5 = 12 ? ? x j ≥ 0, j = 1, 2, ,5 ? 系数矩阵为：（A2）A = (P 1P2P3P4?1 2 1 0 0 ? P5 ) = ? 4 0 0 1 0 ? ? ? ?0 4 0 0 1? ? ?x3 , x4 , x5 的系数列向量 P3 , P4 , P5 构成一个基（ m × m 阶满秩矩阵，对本例为 3 × 3 阶满秩矩阵） 。B = ( P3P4?1 0 0 ? P5 ) = ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?对应于 B 的变量 x3 , x4 , x5 为基变量（其个数=m）,从(A2)得? x3 = 8 ? x1 ? 2 x2 ? ? x4 = 16 ? 4 x1 ? x = 12 ? 4 x 2 ? 5代入目标函数得到(A3)z = 0 ? 2 x1 ? 3x2(A4)当非基变量 x1 = x2 = 0 （非基变量个数为 n-m） 时得 z = 0 ,此时得到一个基可行解：X (0) = (0 0 8 16 12)T由(A4)知，当 x1 或 x2 增加时，目标函数值要减小，需要将非基变量化为基变量， 取负系数（按绝对值）大的非基变量为换入变量，将它换到基变量中，同时要定 出一个基变量换出成为非基变量。由(A3)可将 x2 定为换入变量，须从 x3 , x4 , x5 中确定一个作为换出变量，并保 证其余变量都非负，即 x3 , x4 , x5 ≥ 0 当 x1 = 0 时，由(A3)得? x3 = 8 ? 2 x2 ≥ 0 ? ? x4 = 16 ≥ 0 ? x = 12 ? 4 x ≥ 0 2 ? 5（A5）只有选择x2 = min(8 / 2, ?,12 / 4) = 3才能使(A5)成立，此时，x2 = 3, x5 = 0决定用 x2 去替换 x5 。 于是 x3 , x4 , x2 为基变量，需将 x2 , x5 位置互换，用高斯消去法得到1 ? ? x3 = 2 ? x1 ? 2 x5 ? ? x4 = 16 ? 4 x1 ? 1 ? x2 = 3 ? x5 4 ?将(A6)代入目标函数得（A6）z = ?9 ? 2 x1 +3 x5 4（A7）令非基变量 x1 = x5 = 0 ,得 z = ?9 ，得另一基可行解：X (1) = (0 3 2 16 0)T由(A7)知， 非基变量 x1 的系数为负， 说明目标函数值还可减小， 于是用上述方法， 定换入、换出变量，继续迭代，得到另一个基可行解：X (2) = (2 3 0 8 0)T再次迭代，得到一个基可行解：X (3) = (4 2 0 0 4)T相应的z = ?14 + 1.5 x3 + 0.125 x4(A8)从上式可知， x3 , x4 的系数均为正，函数值没有减小可能，故 X (3) 为最优解。2.1.2 整数规划许多实际问题的求解中，都要求部分甚至全部决策变量取整数值，如一台设 备、五个人等，这类数学规划问题称为整数规划，其中，要求全部决策变量都必 须取整数值的称为纯整数规划；部分决策变量取整数值的称为混合整数规划。有 时，要求决策变量为只能取 0 或 1 的逻辑变量，则称为 0－1 规划。 例如：设备台数，职工人数，装货车数等，这时，分数或小数的解就不符 合要求。整数规划的数学模型：max c1 x1 + c2 x2 ++ cn xn? n ? ∑ aij x j ≤ bi , i = 1, , m ? j =1 ? x ≥ 0, 且为整数,j=1, ,n ? j0-1 规划的数学模型为： max c1 x1 + c2 x2 ++ cn xn? n ?∑ aij x j ≤ bi , i = 1, , m ? j =1 ? x = 0或1, j=1, ,n j ?背包问题：典型的 0-1 规划问题：max s.t.∑w xj =1 j n j =1 jnj∑v xj≤V ,nx j = 0,1, j = 1,整数规划问题的求解：（1） 穷举比较方法： 穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最 优解。例如上述背包问题，最多有 2n ?1 种装包方案。然而，这样的穷举比 较方法，在 n 较小时是可行的，在 n 较大时实际上是不可行的，例如当n=60 时，以现有的计算机运行速度，穷举比较约需几百年！这种现象称为“组合爆炸” 。更何况对于混合整数规划问题，若干变量的取值选择本 来就是无穷多个。 （2）圆整的方法 先放弃变量的整数性要求，解相应线性规划问题（如例 2.1.5 中，若无 约束条件的中的整数要求，就是一个线性规划问题） ，然后对线性规划问 题的最优解进行“四舍五入”取整数作为整数规划的解。这种做法在一般 情况下是不成功的， 线性规划解的整数近似点有时根本不是相应整数规划 问题的可行解！ 既便是整数规划问题的可行解， 也未必恰好是最优解。 （可 参看书中的例子） 。主要原因在于，一般的线性规划问题的可行域为凸集， 整数规划的可行域为离散的点集。 因此，整数规划问题的求解有特殊性，必须另寻办法。（3） 常用方法 分枝定界法和割平面法。 基本思路：仅检查满足条件的整数组合的一部分就可定出最优解。分枝定界法介绍：设有最大化的整数规划问题 A，与它相应的线性规划问题（即在整数规划中 去掉了决策变量的整数取值要求）为 B。从解问题 B 开始，若 B 的最优解符合 A 中的整数条件，则 A 的最优解即为 B 的最优解；若 B 的最优解不符合 A 的整数 条件，则 B 的最优解对应的最优值必是 A 的最优值 Z * 的上界，记为 Z ，而 A 的 某一任一可行解的目标函数值将是 Z * 的一个下界 Z 。分枝定界法就是不断将 B 的可行域分成子区域 （称为分枝）并在每个子区域中确定 A 的上界 Z 和下界 Z 的 ，方法。逐步减小 Z 和增大 Z ，最终得到 Z * 。下面用例子说明这一过程。例 2-7 求解整数规划问题max f ( x ) = 40 x1 + 90 x2?9 x1 + 7 x2 ≤ 56 ? ?7 x1 + 20 x2 ≤ 70 ? x , x ≥ 0, 且取整数 ? 1 2（1）例2-7 求解问题 解：先考虑没有整数约束问题max f ( x ) = 40 x1 + 90 x2 ?9 x1 + 7 x2 ≤ 56 ? ?7 x1 + 20 x2 ≤ 70 ?x , x ≥ 0 ? 1 2（2）1）问题（2）的最优解：x1=4.81，x2=1.82，f(x)=356。x1、x2 非整数，增加约束条件后再求解；2）在（2）中增加条件：x1≤4 后（将相应的问题记为（3），求得最优解为： ） x1 =4，x2=2.1，f(x)=349。x2 非整数，增加约束条件后再求解； 3）在（2）中增加条件：x1≥5 后（将相应的问题记为（4），求得最优解为： ） x1 =5，x2=1.57，f(x)=341。 x2 非整数，增加约束条件后再求解； 4）在（2）中增加条件：x1≤4，x2 ≤2 后（将相应的问题记为（5），求得 ）最优解为：x1 =4，x2=2，f(x)=340。是整数解，停止计算；5）在（2）中增加条件：x1≤4，x2 ≥3 后（将相应的问题记为（6），求得 ）最优解为：x1 =10/7，x2=3，f(x)=327。停止计算；6）在（2）中增加条件：x1≥5，x2≤1 后（将相应的问题记为（7），求得 ）最优解为：x1 =5.44，x2=1，f(x)=308。停止计算；7）在（2）中增加条件：x1≥5，x2 ≥ 2 后（将相应的问题记为（8），无 ）解。停止计算。 故原问题的最优解为： x1=4， x2=2，最优值： f(x)=340x1 = 4.81, x2 = 1.82, f = 356x1 = 4, x2 = 2.1, f = 349x1 = 5, x2 = 1.57, f = 341x2 ≤ 1x2 ≥ 2x1 = 4, x2 = 2, f = 340x1 = 10/ 7, x2 = 3, f = 327 x1 = 5.44, x2 = 1, f = 308分枝定界法原理： 整数规划的最优值以原规划问题的最优值为上界。 是一种计算与分析判断 相结合的求解整数规划的重要方法。分枝定界法求解整数规划的步骤： （1）松弛： 先不考虑整数约束的因素，利用线性规划求解方法（比如图解法、单纯 形法）求出不带整数约束的解； （2）分枝： （3）剪枝： 对边界值小于可行解的分枝不再考虑，即将这些分枝剪去。2.1.3 非线性规划在数学规划中，如果目标函数或约束条件中含有非线性函数，则称为非线性 规划。例 2-8 （P21） 设平面上有 m 个点，找覆盖这 m 个点的最小圆盘。 例 2-9 （P22） 设有 n 个商店，其位置和对货物的需求都是已知的，货物由 m 个仓库提供，仓库容量已知。决定这 m 个仓库建于何处，使仓库提供各商店货 物时的运量与里程之积的总和最小。非线性规划一般形式：1、无约束非线性规划：不存在约束条件时，即决策变量 x 可以任意取值：min f ( x )2、有约束非线性规划：对决策变量 x 的取值施加了限制：min f ( x )s.t.? gi ( x ) ≥ 0, i = 1, 2, , m ? ? ?h j ( x ) = 0, j = 1, 2, , l ?可行域形式：满足约束条件的点组成的集合记为：S = {x | g i ( x) ≥ 0, i = 1, 2,, h j ( x) = 0, j = 1, 2, , l}S 成为可行域，S 中的点称为可行点。则有约束规划的描述为：min f ( x ) s.t. x ∈ S（2-36）无约束规划的描述为minf ( x)s.t. x ∈ R n R n 为 n 维欧氏空间。（2-37）与线性规划的区别： ? 线性规划问题：最优解如果存在，则一定在可行解域的某一顶点达到；解 法有单纯形法（一般方法） 、图解法、等等； ? 非线性规划问题：最优解不一定在约束区域的边界上达到，可能在约束区 域上的某一点上达到。解法较多，无一般方法。非线性规划的求解：一般有解析法和数值法 2 种： 解析法（间接优化法） ：先建立数学模型（比较困难） ，再用数学解析的 方法求出数学方程的最优解。 如考虑一维无约束规划问题：minf ( x)x ∈ (?∞, ∞)若 x* 为极值，则满足f ' ( x* ) = 0（**）分析： f ' 若为一元一次函数，则（**）可解。f ' 若为一元二次函数，则（**）可解。 f ' 若为一元三次函数，则（**）可解。 f ' 若为一元四次函数，则（**）可解。 f ' 若为一元五次函数，则（**）没有通用的求解公式。对于一般的函数方程，要给出精确解，很困难，例如：x = ai tgx,x≠0解析法求解非线性规划问题，不论是无约束还是有约束，一般均只能求解低 维空间中较为简单的问题，对于较复杂的非线性规划问题，更有效的是数值迭代 算法。数值法（直接搜索法） ：在变量的取值上直接搜索；其基本的基本思想是： 首先给一个初始解 x(0)，然后按某种规则（算法）找出比 x(0) 更好的解 x(1) ， 再按此种规则找出比 x(1) 更好的解 x(2) ，可得到一个解序列 {x(k)} 。若这个 序列有极限 x* ，则极限值就是最优解。 数值迭代法的基本步骤：1）选定初始迭代点 ； 2）确定搜索方向； 3）确定步长 ，产生下一个迭代点 4）检查得到的新点是否满足条件。是，停止迭代；不是，回到 2） 。基本概念： 全局最优解： 设f ( x) 为目标函数， S? 为可行域， x ∈ S 。若对每一个x ∈ S 都有f ( x ) ≥ f ( x * ) ,则称 x * 为极小化问题（2-36）的全局最优解（最小） 。局部最优解： 设f ( x ) 为目标函数， 为可行域，x ? ∈ S Sx ∈ Sε都有。 若存在 x 的一个*ε邻域 S ε ，使得对每一个f ( x ) ≥ f ( x * ) ,则称 x * 为极小化问题（2-36）的局部最优解（最小） 。例：minf ( x) =1 3 x ? x, 3?3 ≤ x ≤ 3可以直接解出： f ' ( x) = 0,x = ?1 x = 1x = ?3, x = 1 均为局部最小解。x = ?3 又为全局最小解。 x = 1 不是全局最小解。642x /3?x30?2?4?6 ?3?2?10 x123又例： minf ( x) = x sin x 0 ≤ x ≤ 6πf ' ( x) = x cos x ? sin x无发直接给出精确解，可定性观察分析。151050xsinx?5?10?15?200246810 x1214161820凸规划是非线性规划中一种重要的特殊情况，具有许多良好的解析性质，可 以用解析解法求解。凸组合： 设 S 为 R n 中的一个集合， 若对 S 中任意两点， 连接它们的线段仍属于 S， 即对 S 中任意两点 x1 , x2 及每个实数 λ ∈ [0,1] ，都有 λ x1 + (1 ? λ ) x2 ∈ S ，则称 S 为 凸集， λ x1 + (1 ? λ ) x2 称为 x1 和 x2 的凸组合凸函数： 设S为?n中的非空凸集，f是定义在S上的实函数。如果对任意的x1 , x 2∈ S及每个数λ∈（0，1） ，都有 ，f ( λ x1 + (1 ? λ ) x 2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 ? λ ) f ( x 2 )则称f为S上凸函数。如果对任意相异的x1 , x 2∈ S及每个数λ ∈，（0，1） ，都有f ( λ x1 + (1 ? λ ) x 2 ) & λ f ( x1 ) + (1 ? λ ) f ( x 2 )则称f为 S 上的严格凸函数。如果 ?f 为 S 上的凸函数，则称 f 为 S 上的凹函数。分析：线性函数；二次函数，三次函数；指数函数，对数函数等的凸性。 凸规划： 若式 （2-33） 的f ( x ) 是凸函数， （2-34） g i ( x ) 式 的是凹函数，h j(x)是线性函数，则求凸函数在凸集上的极小点问题称为凸规划。 例如：min2 f ( x ) = x12 + x2g ( x ) = x1 ? x2 + 2 ≥ 0即为凸规划。凸规划的解析解具有以下性质。 引理 2-1 的内部连续。 引理 2-2 值，则 设 设 S 是?n中的凸集，f是定义在 S 上的凸函数，则 f 在 Sf是一个凸函数，x ∈?n,在x处f ( x)取有限f在x处沿任何方向都存在右侧导数和左侧导数（包括±∞） 。定理 2-1设S是?n中的非空凸集，f是定义在 S 上的凸函数，则f在 S 上的局部极小点就是全局极小点，且极小点的集合为凸集。在非线性规划问题中，一个最主要的困难是如何判断所得到的极值点正是所 需要的全局极值点而非局部极值点， 因此定理 2-1 表明， 对于凸规划可以不必进 行这样的判别而在得到极值点后直接停止求解。进一步解析求解非线性规划问题（包括凸规划）需要应用目标函数的梯度和Hesse 矩阵的概念，如下定义所述。梯度： 设函数 f ( x),?f ( x ) = [x ∈ R n 存在一阶偏导数，则称向量?f ?x1 ?f ?x2 ?f T ] ?xn为 f ( x ) 在点 x = [ x1x2xn ]T 处的梯度。梯度的范数（模）:?f ( x ) = (例子：f ( x) = x1 + x2 , f ( x, y ) = x + y ,2 f ( x ) = x12 + x2 +?f 2 ?f ) + ( )2 + ?x1 ?x2+(?f 2 ) ?xn?f ( x) = [1 1] ；T?f ( x, y ) = [ 2ax + by bx + 2cy ] ；T 2 + xn ,?f ( x) = [ 2 x12 x22 xn ] 。T练习：求梯度及其范数：e x + y sin( x + y )2 2 x12 + 2 x1 x2 + 3 x2 + x3Hesse 矩阵 设函数 f ( x ) 存在二阶偏导数，则称矩阵? ?2 f ? 2 ? ?x1 ? ?2 f ? H ( x) = ? ?x2 ?x1 ? ? ? ?2 f ? ? ?xn ?x1 ?为 f ( x ) 在点 x = [ x1 例子：x2?2 f ?x1?x2 ?2 f 2 ?x2 ?2 f ?xn ?x2?2 f ? ? ?x1?xn ? ?2 f ? ? ?x2 ?xn ? = ? 2 f ( x) ? ? 2 ? f ? 2 ? ?xn ? ?xn ]T 处的 Hesse 矩阵。f ( x) = ax1 + bx2 ?0 0? H ( x) = ? ? ?0 0?2 f ( x ) = x12 + x1 x2 + x2?2 1? H ( x) = ? ? ?1 2?由梯度和 Hesse 矩阵的上述定义，无约束非线性规划问题（2.37）的局部极 小点的解析解可由以下定理求出。引理 2-3 设函数局部极小点的一阶必要条件f (x)在点x*处可微，若x*是局部极小点，则梯度?f (x? ) = 0 。这是罗尔定理的一个直接推论， 从几何上看， 由于在 x* 附近， f ( x) ≥ f ( x* ) ， 故在 x* 处的切线应该是平的。 这一条件不是充分条件，例如， f ( x) = x3 , x = 0利用 Taylor 展式，我们有： 引理 2-4 设函数 局部极小点的二阶必要条件f ( x)在点x*处二次可微，若x*是局部极小点，则梯度?f ( x ? ) = 0 ，并且 Hesse 矩阵 H ( x * ) 是半正定的。这一条件不是充分条件，例如， f ( x) = x3 , f ' (0) = 0, f '' (0) = 0 上述条件均非充分条件，当x 满足这些条件时无法判定 x 是否确为极小x*点，要实现这一目的需要 Hesse 矩阵的正定性条件。定 理 2-2设函数f ( x)在点处二次可微，若梯度? f ( x ? ) = 0 且 Hesse 矩阵 H ( x * ) 正定，则 x * 是局部极小点。例 2-10 解 由求解 m inf ( x1 , x 2 ) =1 3 1 3 2 x1 + x 2 ? x 2 ? x1 。 3 3f (x)的定义?f ?f 2 = x12 ? 1, = x2 ? 2 x2 ?x1 ?x22 ?f = ? x12 ? 1, x2 ? 2 x2 ? ? ? T令 ?f 而= 0 ,得 f ( x )的Hesse矩阵为的四个驻点为[1，0]T，[1，2]T，[－1，0]T和[－1，2]T。f (x)? 2 x1 H ( x) = ? ? 00 ? ? 2 x2 ? 2 ?? 2 0 ? ? 2 0 ? ? ?2 0 ? 由此可知， 在四个驻点处的 Hesse 矩阵分别为 ? 0 ?2 ? ，? 0 2 ? ，? 0 ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ?2 0 ? ? 和? 0 2 ? 。由于第一个和第四个 Hesse 矩阵不定，根据定理 2-2，第一、第 ?四个驻点不是极小点。而第三个驻点处的 Hesse 矩阵是负定的，因此第三个驻点 也不是极小点（实际上为极大点） 。唯有第二个驻点的 Hesse 矩阵正定，因此是 局部极小点。对于有约束的非线性规划问题（2-33～2-34） ，解析求解其全局极值点要复杂 的多，一般性的结论由 K-T 条件描述。限于篇幅，下面仅给出凸规划问题最优 解的充分条件。 定 理 2-3 设 在 (2-33 ～ 2-34) 中 ，f (x)是 凸 函 数 ，g i ( x ), i = 1, 2,得m是凹函数，hj( x ), j = 1, 2 ,n是线性函数，? 可行域为 S，若存在 x ∈ S 和wi ≥ 0, i ∈ Il及 v j , j = 1, 2 ,n ,使?f ( x ) ? ∑ wi ?gi ( x ) ? ∑ν j ?h j ( x* ) = 0* * i∈I j =1* 则 x 是全局最优解，其中， I = {i | g i ( x ) = 0 } 是*(2-38)x * 处使 g i ( x ) 为 0的指标集。应该指出，解析法求解非线性规划问题，不论是无约束还是有约束，一般均 只能求解低维空间中较为简单的问题，对于较复杂的非线性规划问题，更有效的 是数值迭代算法。 数值迭代法的基本思想是：为了求函数 始估计 问题，f (x)的最优解，首先给定一个初(1)x ( 0 ) ,然后按某种规则（即算法）找出比 x ( 0 ) 再好的解 x(1)(对极小值f ( x (1) ) & f ( x ( 0 ) ) ;对极大值问题， f ( x (1 ) ) & f ( x ( 0 ) ) ,再按此种好的解 x(2)(k ) , ……。如此循环即可得到一个解序列 x 。若规则找出比 x{}这个解序列有极限x * ,即k →∞lim x ( k ) ? x* = 0(2-39)则称它收敛于x* 。现假定已迭代到第 k 个点 到一个更好的点，则x (k ),若从x (k )出发沿任何方向移动都无法找 出发至少x ( k ) 为局部极值点，迭代过程停止；若从 x ( k )存在一个方向可找到更好的点，则可选定该方向 得到下一个迭代点 下式构造p ( k ) ,沿此方向前进适当一步，。x( k +1)( k +1) ) 优于 f ( x ( k ) ) x ( k + 1 ) ，且 f ( x可以按x ( k +1) = x ( k ) + λk p ( k )其中（2-40）p ( k ) 称为搜索方向， λ k为步长。由于计算机的字长有限，这种迭代一般很难得到绝对的精确解，当迭代过程 满足所要求的精度时即可停止迭代，常用的迭代停止条件有： （1）根据相继两次迭代的绝对误差x ( k +1) ? x ( k ) & ε1 , f ( x ( k +1) ) ? f ( x ( k ) ) & ε 2（2）根据相继两次迭代的相对误差x ( k +1) ? x ( k ) x(k )& ε3 ,f ( x ( k +1) ) ? f ( x ( k ) ) f (x )(k )& ε4这时要求分母不接近于零。 （3）根据目标函数梯度的模?f ( x ( k ) ) & ε 5其中，ε1、ε2、ε3、ε4、ε5都是事先规定的迭代允许误差，一般可取：ε1 = ε 2 = ε 3 = ε 4 = 10?5 , ε 5 = 10?4这样，数值迭代算法可经历以下步骤： （1）选定初始迭代点 （2）确定搜索方向 （3）从x ( o ) ，并令 k=0；p (k )λkp (k ) ；求步长 ，以产生下一个迭代点x (k )出发，沿x( k +1) ；（4）检查得到的新点x ( k + 1) 是否为极值点，或满足一定的停止条件。若是则停止迭代；否则令 k=k+1 转（2）继续迭代。据上述分析，数值迭代类求解非线性规划问题的关键在于如何确定可行的搜 索方向p ( k ) 和如何确定沿 p ( k ) 方向的搜索步长 λ k,尤其是p (k ) 的确定决定了不同寻优算法的性质和结构。 下面先讨论无约束非线性规划问题的几 种迭代算法，然后讨论有约束非线性规划问题的迭代算法。（1）最速度下降法最速下降法是一类最简单的、仅利用目标函数一阶微分条件（梯度）的迭代 算法，其原理是在每次迭代中沿最速下降方向（即负梯度方向）进行搜索，迭代 公式为：x ( k +1) = x ( k ) + λk p ( k ) p ( k ) = ??f ( x ( k ) )λk : f ( x ( k ) + λk p ( k ) ) = min f ( x ( k ) + λ p ( k ) )λ ≥0近似最优步长：?f ( x ( k ) )T ? ?f ( x ( k ) ) λk = ?f ( x ( k ) )T H ( x ( k ) )?f ( x ( k ) )算法 2-1(1)给定初点x (1 ) ∈ ?(k )n和允许误差(k )ε) ；，置 k=1；(2)计算搜索方向 p（3）若 ? f ( x 搜索= ?? f (x(k ))& ε ，则停止搜索，否则，从 x ( k ) 出发沿 p ( k )λk，使得f ( x ( k ) + λ k p ( k ) ) = min f ( x ( k ) + λ p ( k ) )λ ≥0（4）令x ( k +1) = x ( k ) + λ k p ( k )，置 k=k+1,转（2） 。最速下降法是一种极易实现的算法。从局部看，最速下降方向确是目标函数 值下降最快的方向，选择这样的方向进行搜索是有利的，但以全局看，当迭代点 接近极值点时，每次迭代移动的步长很小，既使向极值点移近很小的距离，也要 经历不少锯齿状的“弯路” ，因此收敛速度总体上很慢。（2）牛顿法如果目标函数是二次可微的，则利用其二次可微条件（Hesse 矩阵） ，就可以 得到广义牛顿迭代算法：x ( k +1) = x ( k ) + λk p ( k ) p ( k ) = ? H ?1 ( x ( k ) )?f ( x ( k ) ) λk : f ( x ( k ) + λk p ( k ) ) = min f ( x ( k ) + λ p ( k ) )λ ≥0(2-42)其基本原理是用一个二次函数局部地逼近 式（2-42）中， H?1f (x)， 然后求此近似函数的极小点。( x ( k ) ) 是 Hesse 矩阵的逆矩阵。牛顿法近似步长： 算法 2-2λk = 1( o )(1)给定初始点 (2)计算 ? f ( xx(k )和允许误差?1ε，置 k=1；), H ( x ( k ) ), H( x (k ) ) ；(k ) （3）若 ? f ( x ) & ε ，则停止迭代；否则，令p (k ) = ? H（4）从?1( x ( k ) )? f ( x ( k ) )x (k )出发，沿λ ≥0p ( k ) 作一维搜索：f ( x ( k ) + λk p ( k ) ) = min f ( x ( k ) + λ p ( k ) ) 并令x ( k +1) = x ( k ) + λk p ( k )（5）置 k=k+1 转（2） 广义牛顿法的突出优点是收敛很快，但也有两大缺点，一是 Hesse 矩阵的逆H?1( x (k ) )未必每点都存在；二是即使H?1?1( x (k ) )存在也未必正定，因而牛顿方向不一定是下降方向。为克服这两个缺点，人们提出了拟牛顿法，它设 法构造另一个矩阵H ( x ( k ) ) 直接逼近 H( x ( k ) ) 而不是用 H ( x ( k ) )求取H?1( x ( k ) ) 。由于构造 H ( x ( k ) ) 的方法不同，因而有不同的拟牛顿法，例如常用的变尺度法。 共轭梯度法是以共轭方向作为搜索方向的一类算法，基本思想是把共轭性与 最速下降原理相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿此组方向进 行搜索，求出目标函数的极小点。共轭梯度法的迭代公式为：x ( k +1) = x ( k ) + λk p ( k ) p ( k +1) = ??f ( x ( k +1) ) + β k p ( k ) ( k +1) 2 ?f ( x ) βk = (k ) 2 ?f ( x ) λk : f ( x ( k ) + λk p ( k ) ) = min f ( x ( k ) + λ p ( k ) )λ ≥0（2-43） 算法 2-3(1) 给定点x(1)和迭代允许误差 ε &0,置y (1) = x (1)p (1) = ??f ( y (1) ), k = j = 1（2）若?f ( y ( j ) ) & ε，则停止计算；否则，作一维搜索求 λ j ，满足f ( y ( j ) + λ j p ( j ) ) = min f ( y ( j ) + λ p ( j ) )λ ≥0令y ( j +1) = y ( j ) + λ j p ( j )（3）如果 j&n,则作（4） ；否则，进行（5） ；（4）计算? f ( y ( j +1) )，置p ( j +1) = ? ? f ( y ( j +1) ) + β j p ( j )β= ? f ( x ( j +1) ) ? f ( x ( j) )= y2 2其中j, 置 j=j+1 转（2）（5）令x转（2） 。( k +1)( n + 1), p(1 )= ? ? f ( y(1 ))置 k=k+1例子：2 min f ( x ) = x12 + 2 x2解析法求解：作为练习。最速下降法求解： 取x (0) = [1 1]T , ε = 0.1? f ( x ) = [ 2 x1 ? f ( x (0) ) = [24 x 2 ]T 4 ]T ? 4 ]Tp (0) = ? ? f ( x (0) ) = [? 2X 0 ( λ ) = x ( 0 ) + λ p ( 0 ) = [1 ? 2 λf ( X 0 ( λ ) ) = (1 ? 2 λ ) T + (1 ? 4 λ ) T令1 ? 4λ]Td f ( X 0 (λ )) = 0 dλ得：λ0 =X(1 )5 18(0)= x(0)+ λ0 p8 9 ??4 = ? ?91? ? ? 9?T? f ( x (1 ) ) = [4 T ] 9p (1 ) = ? ? f ( x (1 ) )X 1 ( λ ) = x (1 ) + λ p (1 ) = 1 [4 ? 8 λ 9 ?1 + 4λ]Tf ( X 1 (λ )) =令1 [( 4 ? 8 λ ) 2 + 2 ( ? 1 + 4 λ ) 2 ] 81d f ( X 1 (λ )) = 0 dλ得：λ1 =X(2)5 12(1 )= x(1 )+ λ1 p? 2 = ? ? 278 T ] 272 ? 27 ? ?T? f ( x (2) ) = [4 27牛顿法求解：? f ( x ) = [ 2 x1?2 H (x) = ? ?04 x 2 ]T0? 4? ??1 ?2 H ?1 ( x ) = ? ?0 ? ?取? 0? ? 1? 4? ?x (0) = [1 1]T , ε = 0.1? f ( x (0) ) = [2 p (0) = ? H?14 ]T ? 1] T( x (0 ) )? f ( x (0 ) ) = [ ? 1f ( X 0 ( λ ) ) = 3 (1 ? λ ) 2令d f ( X 0 (λ )) = 0 dλX(1 )= x ( 0 ) + λ 0 p ( 0 ) = [00 ]T0]T? f ( x (1 ) ) = [ 0练习：1。取x (0) = [2 1]T ,[0 1]T ,[?1 1]T 计算f ( x) = ( x1 ? 2) 2 + ( x2 ? 3) 2 计算2．又3．用共轭方向法计算约束非线性规划问题的迭代算法通常用以下三个方法处理其约束条件进而实现数值迭代求解： 第一种方法：将迭代序列严格控制在可行域内，从而执行的迭代过程实际 上为无约束优化过程； 第二种方法称为序列无约束优化方法，简称 SUMT 方法； 罚函数法（外点法） （一般约束） 障碍函数（内点法） ） （不等式约束） 第三种是在迭代点附近的序列线性化或序列二次函数逼近方法， 通过运用 迭代点附近的台劳展开， 将有约束的非线性规划近似为极易求解的线性规 划或二次规化以实现迭代求解。 后两类方法近年来得到了越来越广泛的应 用。 线性规划 二次规划（目标函数二次，约束条件一次，解法简单，拉格朗日乘子 法 P29）有约束的非线性规划问题，其解法有：罚函数法、线性逼近法等。 无约束的非线性规划问题，其解法有：区间消去法、Fibonacci 法、最速下降法等；序列无约束优化方法介绍：序列无约束优化方法中常用的制约函数基本上有两类，一类为罚函数，又称 为外点法，一类为障碍函数，又称为内点法。 考虑有约束非线性规划问题：min s.t.其中f ( x) gi ( x) ≥ 0, i = 1, 2, m h j ( x) = 0, j = 1, 2, l(2-44)nf ( x), gi ( x), hj ( x), i = 1, 2,m, j = 1, 2, l 是 ?上的的连续函数。 罚函数的基本思想是，对目标函数添加惩罚项，转化为无约束问题。利用目 标函数和约束函数组成广义目标函数F ( x,σ ) = f ( x) + σ P ( x)(2-45)而 F ( x , σ ) 具有这样的性质：当点 x 位于可行域以外时， F ( x, σ ) 取值很大， 而且离可行域越远其值越大；当点在可行域内时，函数F ( x,σ ) = f ( x) 。这样，可将原来问题转化成关于广义目标函数 F ( x , σ ) 的无约束优化问题minF ( x, σ ) = f ( x ) + σ P ( x )P (x)(2-46)再利用无约束优化问题数值迭代算法（如共轭梯度法）即可实现求解。在极小化 过程中，若 x 不是可行点，则 σ 靠近可行域，通常将 σ 函数。 取很大正值，其作用是迫使迭代点尽量P ( x)称为罚项，σ 称为罚因子， F( x,σ )又称为罚可以看出，这类方法的关键是构造P ( x ) ，其一般方式为Ψ ( h j ( x ))(2-47)P (x) =∑mi =1Φ ( g i ( x )) +∑lj =1Φ和Ψ是满足下列条件的连续函数? 0 y ≥ 0 Φ ( y) = ? ?& 0 y & 0(2-48)? 0 y = 0 Ψ ( y) = ? ?& 0 y ≠ 0通常，取下述函数：(2-49)Φ ( x ) = [m a x {0 , ? g i ( x )} ]α Ψ ( x ) = | h j ( x ) |β其中α≥1，β≥1 均为给定常数，通常α=β=2.另外，实际计算中，罚因子σ的选择很重要；σ太小，则罚函数的极小点与 原约束优化问题的极小点差距较大；σ太大，给计算增加困难。一般是取一个趋 向无穷大的严格递增函数列 {σ k}。对于只有不等式约束的非线性规划问题m in s .t .设f (x) g i ( x ) ≥ 0 , i = 1, 2 ,mm(2-50)还可以采用障碍函数法，迭代过程总是从可行域的内点出发并保持在可行域内。f ( x ), g i ( x ), i = 1, 2 ,是 连 续 函 数 ， 可 行 域 为S = { x | g i ( x ) ≥ 0 , i = 1, 2 ,内部，定义障碍函数m } 。为保持迭代点含于可行域F ( x, r ) = f ( x ) + rB ( x )B (x)（2-51）其中是连续函数，当点 ，x趋于可行域边界时，B (x) → ∞F ( x, r ) → ∞r是很小的正数。这样，当x 趋向边界时，函数的取值近似于；否则，由于r很小，则函数F ( x, r )f (x)，因此， （2-50）近似等价于m in s .t .式中，int S 意为 S 内部。F (x, r ) x ∈ in t Sm}in t S = { x | g i ( x ) & 0 , i = 1, 2 ,两种典型的B (x) 为B (x) =∑mi =11 gi ( x)mB ( x ) = ? ∑ lo g ( g i ( x ))i =1由于 B( x) 的作用，在可行域边界形成围墙，自动阻止迭代点趋向边界，因 此（2-52）相当于无约束优化问题。同样， 影响，r的取值对（2-52）的求解有很大 太小将带来r 越小（2-52）的最优解越逼近于(2.50)的最优解；但 r r ：障碍因子；较大的计算问题，合理的作法是取一个严格单调减且趋于零的障碍因子数列{rk } 。rB ( x )：障碍项。对于内点法，初始内点必须在可行域之内，在一定意义上，初始内点的选取 也是一个迭代过程。逐次函数逼近类算法：如果通过某种方法（如非线性函数的台劳展开）将非线性规划问题的目标 函数和约束函数在每个迭代点附近逼近为较简单的函数形式， 如线性函数或二次 多项式函数， 则原非线性规划问题就简化为线性规划问题或较易求解的二次规划 问题，大大降低了问题求解的难度。这一处理思想导致了逐次函数逼近类算法的 产生。 逐次函数逼近思想最简单的是逐次线性规划算法。考虑如下非线性规划问题：min s.t.式中f ( x) gi ( x) ≥ 0, i = 1, 2, m h j ( x) = 0, j = 1, 2, l是一阶可微的函数。设(2-53)f ( x ), g i ( x ), h j ( x )x (k )是第 k步迭代点，则在 x ( k ) 附近对f ( x ), g i ( x ), h j ( x )作台劳展开f ( x) = f ( x ( k ) ) + ?f T ( x ( k ) )( x ? x ( k ) ) + o( x ? x ( k ) ) ≈ f ( x ( k ) ) + ?f T ( x ( k ) )( x ? x ( k ) )(2-54)gi ( x) = gi ( x ( k ) ) + ?giT ( x ( k ) )( x ? x ( k ) ) + o( x ? x ( k ) ) ≈ gi ( x ( k ) ) + ?giT ( x ( k ) )( x ? x ( k ) ) i = 1, 2, m(2-55)h j ( x ) = h j ( x ( k ) ) + ?h j T ( x ( k ) )( x ? x ( k ) ) + o( x ? x ( k ) ) ≈ h j ( x ( k ) ) + ?h j T ( x ( k ) )( x ? x ( k ) ) j = 1, 2, l(2-56) 将式（2-54）(2-55)(2-56)代入到（2-53）中：min f (x(k) ) +?f T (x(k) )(x ? x(k) ) st. gi (x(k) ) +?giT (x(k) )(x ? x(k) ) ≥ 0,i =1,2, m . hj (x(k) ) +?hjT (x(k) )(x ? x(k) ) = 0, j =1,2, l(2-57) 则（2-57）是线性规划。式（2-54）(2-55)(2-56)成立的前提条件是 x 距 x ( k ) 足够近，因此为保证线 性近似的误差足够小，需满足x ? x(k ) ≤ δ也即下一个迭代点的步长满足(2-58)x ( k +1) ? x ( k ) ≤ δ求解（2-57） ，得到一个 x(k+1)(2-59)，若x(k+1) ∈S={x| gi(x)≥0,hj (x) =0,i =1 m j =1 l} ,2, , ,2,则可将 x(k+1)作为新的迭代点，否则缩小 δ 值，重新求解（2-57） 。如果目标函数 和对f (x)j二次可微，则可通过对f (x)的二次台劳逼近gi( x ), h( x ) 的一次线性逼近，将复杂的非线性规划问题化为简单易解的二次规划问题，这种方法称为逐次二次规划算法。下面，在讨论逐次 二次规划之前，先介绍二次规划的求解方法。二次规划是非线性规划的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束 函数是线性的，其形式简单，便于求解。考虑如下二次规划问题：1 T x Hx + CT x 2 （2-60） s .t . Ax = b 其中，H 是 n 阶对称方阵，A 是 m × n 矩阵，A 的秩为 m, b 是 m 维向量。 m in为求解（2-60） ，构造拉格朗日函数：L (x,λ ) =1 T x Hx + C 2Tx ? λT(Ax ? b)(2-61)式中λ是拉格朗日乘子。设 是（2-60）的最优解，相应的拉格朗日乘子为 值的必要条件引理 2-3，x*λ*，则运用求极x* = ?QC + RT b（2-62）λ * = RC ? Sb式中，（2-63）Q = H ?1 ? H ?1 AT ( AH ?1 AT ) ?1 AH ?1 R = ( AH ?1 AT ) ?1 AH ?1 S = ?( AH ?1 AT ) ?1因此，只要各系数矩阵满足一定条件，二次规划可以很方便地加以解析求解。正 因为此，将一般非线性规划化为一系列的二次规划求解有很重要的意义。 继续考虑非线性规划问题（2-53） ，这里 变。设f (x)是二次可微函数，其余不x (k )是第 k 步的迭代点，则在x (k )附近作台劳展开：f (x) = f (x(k) ) +?f T (x(k) )(x ? x(k) ) 1 + (x ? x(k) )T H(x(k) )(x ? x(k) ) + o((x ? x(k) )T (x ? x(k) )) 2 1 ≈ f (x(k) ) +?f T (x(k) )(x ? x(k) ) + (x ? x(k) )T H(x(k) )(x ? x(k) ) 2(2-64)H (x(k ))和是x( k )点的 Hesse 矩阵。gi(x)h j(x) 在x (k )点的展开式与逐次线性规划的展开式（2-55）(2-56)相同，即只到线性项，因此，由(2-64)（2-55）(2-56),得到在x (k )点的二次规划为1 min f (x(k) ) +?f T (x(k) )(x ? x(k) ) + (x ? x(k) )T H(x(k) )(x ? x(k) ) 2 st. gi (x(k) ) +?giT (x(k) )(x ? x(k) ) ≥ 0,i =1,2, m . hj (x(k) ) +?hjT (x(k) )(x ? x(k) ) = 0, j =1,2, l(2-65) 可以进行解析求解。当然，为保证线性逼近和二次逼近的精度，亦要求x距x (k )2.1.4足够近，如逐次线性规划中所讨论。动态规划上世纪五十年代初，美国数学家贝尔曼等根据一类多阶段决策问题的特 点，提出了解决这类问题的最优化原理，从而创立了最优化理论的一个新的分 支――动态规划。在其后的五十多年中，动态规划在工程技术、经济和军事等众 多领域得到了广泛应用并取得了迅速发展，成为解决多阶段决策问题的主要方 法。 动态规划是解决多阶段决策问题的主要方法，本文主要讲离散决策过程。 一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包含以下要素（基本 概念）:阶段: 对整个过程的自然划分，通常根据时间顺序或空间特征来划分阶段， 以便按阶段的次序解优化问题。阶段变量一般用 k=1，2，…，n 表示。状态：表示每个阶段开始时过程所处的自然状况或客观条件，它应能描述 过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关，通常还要求状态是直接或间接可以观测 的。描述状态的变量称状态变量，变量允许取值的范围称允许状态集合，用xk示表示第 k 阶段的状态变量，它可以是一个数或一个向量。用Xk表示第 k 阶段的允许状态集合。n 个阶段的决策过程有 n+1 个状态变量，x n +1 表xn演变的结果。 根据过程演变的具体情况， 状态变量可以是离散的或连续的。状态变量有时也简称为状态。决策：当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的 某个状态，这种选择手段称为决策或控制。描述决策的变量称决策变量, 变量允 许取值的范围称允许决策集合，用 uk( xk )k表示第 k 阶段处于状态xk时的决策变量，它是xk的函数，用 U(xk)表示xk的允许决策集合。决策变量有时也简称决策。策略：决策组成的序列称为策略 , 由初始状态 x1 开始的全过程的策略记作p 1 n ( x1 )，即p1n ( x1 ) = {u1 ( x1 ), u2 ( x2 ),由第 k 阶段的状态un ( xn )} 。xk开始到终止状态的后部子过程的策略记作p k n ( x k ) ,即pkn ( xk ) = {uk ( xk ), uk +1 ( xk +1 ), un ( xn )} , k = 2,3, n ?1 。类似地，由第 k 到 j 阶段的子过程的策略记作pkj ( xk ) = {uk ( xk ), uk +1 ( xk +1 ),u j ( x j )} 。可 供 选 择 的 策 略 有 一 定 的 范 围 ， 称 为 允 许 策 略 集 合 , 用P n ( x1 ), Pkn ( xk ), pkj ( xk ) 表示。 1状态转移方程：在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段 的状态便完全确定，用状态转移方程表示这种演变规律，写作x k +1 = T k ( x k , u k ), k = 1, 2 ,(2-66) 指标函数和最优值函数n指标函数是衡量过程优劣的数量指标，它是定义在全过程和所有后部子过程 上的数量函数，用 V k n( x k , u k , x k +1 ,x n + 1 ) , k = 1, 2 ,n表示。指标函数应具有可分离性，即 V k n 可表为 为x k , u k , V k +1,n的函数，记Vkn(xk ,uk , xk+1, xn+1) =?k (xk ,uk ,Vk+1n (xk+1, xn+1))(2-67) 并且函数 ? k 对于变量 Vk +1, n 是严格单调的。过程在第 j 阶段的阶段指标取决于状态 表示，指标函数由 v j ,x j 和决策 uj，用v j (x j ,u j )j = 1, 2,nn 组成，常取阶段指标之和的形式，即Vkn ( x k , u k ,(2-68), x n +1 ) = ∑ v j ( x j , u j )j =k根据状态转移方程指标函数V kn还可以表示为状态 。在xk和策略pkn ( xk ) 的 函 数 ， 即 V k n ( x k , p k n )V kn ( x k , p kn )即 对xk给定时指标函数 ,p kn ( x k ) 的最优值称为最优值函数,记作 f k ( x k )f k (xk ) =其中 opt 可取 max 或 min。 最优策略和最优轨线 使指标函数 V k n 程的最优策略，记作optp kn ∈ Pkn ( x k )V kn ( x k , p kn )(2-69)( x k , p kn )达到最优值的策略是从 k 开始的后部子过* un}* * p kn = { u k ,。p 1* 是全过程的最优p* 1 n策略，简称最优策略。从初始状态 程演变所经历的状态序列 { x 1*x1出发，过程按照和状态转移方* , x2,* x n + 1 } 称最优轨线。定理 2-4对于初始状态x1 ∈ X 1 ,策略* p 1*n = { u 1* , u 2 ,* u n } ∈ P1 n ( x 1 )是最优策略的充要条件是对于任意的* V1n (x1 , p1n ) =k ,1 & k ≤ n，有p1k ?1∈P k ?1 ( x1 ) 1opt [V1k?1 (x1 , p1,k ?1 ) + opt Vkn (xk , pkn )]pkn∈Pkn ( xk )(2-70) 其中xk是由x 1 , p 1 , k ? 1 和状态转移方程x j +1 = T j ( x j , u j ), j = 1,2,所确定的第 k 阶段的状态。k ?1一般来说，建立一个多阶段决策过程的动态规划模型包括以下几个步骤： 1）将过程划分为恰当的阶段； 2）正确选择状态变量xk，使它既能描述过程的状态，又满足无后效性，同时确定允许状态集合Xk;k3）选择决策变量 u k ，确定允许决策集合 U 4）写出状态转移方程； 5）确定阶段指标 v k(xk ) ；( x k , u k ) 及指标函数 V kn 的形式；6）写出基本方程即最优函数值满足的递推方程，以及端点条件。例: 最短路线问题 如图是一个线路网，连线上的数字表示两点间的距离，试寻找一条由 A 到 D 的最短路线。该问题称为最短路线问题。1 B1 5 A 3 B2 7 3 6C18C25D3 C3这是一个三阶段的过程：A——B——C——D；在第二阶段，有两个状态： B1,B2；允许状态集合：{ B1,B2}若 从 状 态 B1 出 发 ， 可 作 出 三 种 不 同 的 决 策 ， 其 允 许 决 策 集 合U2(B1)={C1,C2,C3};若从状态B2 出发， 可作出两种不同的决策， 其允许决策集合U2(B2)={C2,C3};求解：利用动态规划基本方程，从最后一段开始计算，逐步推至 A 点。这是一个三阶段的多阶段问题。此问题中，阶段按过程的演变划分，状态由各阶段的位置确定，决策为从各个状态出发的走向，即有 指标为相邻两段状态间的距离 d k 和，最优函数x k + 1 = u k ( x k ) ，阶段， 指标函数为阶段指标之( xk , u k ( xk ))fk ( xk )是由xk出发到终点的最短距离，f4 (D ) = 0当 k = 3 时，由 C1 到 D 只有一条路，故f 3 ( C 1) = 8类似地：f3 (C 2 ) = 5 f3 (C 3) = 3当 k = 2 时，出发点有两个：B1,B2；若从 B1 出发，有 C1,C2,C3 三个选择， 则? d 2 ( B 1, C 1) + f 3 ( C 1) ? ? ? f 2 ( B 1) = m in ? d 2 ( B 1, C 2 ) + f 3 ( C 2 ) ? ? d ( B 1, C 3 ) + f ( C 3 ) ? 3 ? 2 ?= m in {1 + 8因此其相应的决策为3+56 + 3} = 8u 2 ( B 1) = C 2 。B1——C2——D，最短距离为 8。即由 B1 到 D 的最短路线为: 同理? d ( B 2 , C 2 ) + f3 (C 2 ) ? f 2 ( B 2 ) = m in ? 2 ? ? d 2 ( B 2 , C 3) + f3 (C 3) ? = m in {8 + 5 7 + 3} = 1 0相应的决策为 当 k = 1 时，u2 (B 2) = C 3 。? d ( A , B 1) + f 2 ( B 1) ? f 1 ( A ) = m in ? 1 ? ? d1 ( A, B 2) + f2 ( B 2)? = m in {5 + 8最优决策： 最短距离：13 根据决策序列知道最短路线为： A → B1 → C 2 → D 或 A → B2 → C3 → D 多目标规划3 + 1 0} = 1 3u1 ( A ) = B1 或 u1 ( A ) = B 2 。2.1.5线性规划、非线性规划、整数规划等处理的都是单目标函数的最优化问 题。然而，许多实际问题都有多个优化目标，而且有些目标函数之间是相互矛盾 的，因此常需要处理多目标规划，如下例所示。例 2-13某厂生产两种产品 A 和 B，其中 A 产品是畅销产品，供不应求，每月至少生产 1 万件，每件利润为 1 元。但因原料限制，A 产品月产量不能超过 3 万件。生产一件 B 产品所需工时与生产一种 A 产品所需工时相同，但每件 B 产 品利润 3 元。 在工人不加班的正常情况下， 每月两种产品产量总和不低于 5 万件， 也不高于 7 万件，且产量超过 5 万件的部分叫做超产量。工厂希望： 1）A 的产 （ 量要多； 2）为使工人不加班，超产量要少； 3）利润要多。试建立该问题的模 （ （ 型。解设A的月产量x1万件，B的月产量为x2万件。此问题有三个目标：max min maxx1 x1 + x2 ? 5 x1 + 3x2约束条件有： 总产量大于等于 5 万件， 1x + x2 ≥ 5总产量不能超过 7 万件，x1 + x2 ≤ 7A 产品产量介于 1 万件与 3 万件之间产量 1x , x2 具有非负属性5 ? x1 ? x 2 ,则此为表达清楚起见，第二个目标用极大值表示： m a x 问题的数学模型为max [ f1 ( x1 , x2 ), f 2 ( x1 , x2 ), f3 ( x1 , x2 )] s.t. x1 + x2 ≥ 5 x1 + x2 ≤ 7 1 ≤ x1 ≤ 3 x2 ≥ 0其中，f1 ( x1 , x 2 ) = x1 , f 2 ( x1 , x 2 ) = 5 ? x1 ? x 2 , f 3 ( x1 , x 2 ) = x1 + 3 x 2显然，这是多目标规划问题。 。多目标规划的标准形式为m ax s .t .[ f1 ( x ) , f 2 ( x ) , g i ( x ) ≤ 0 , i = 1, 2 ,f p ( x )] m(2-75)在 多 目 标 规 划 中 ， 由 于 目 标 函 数 之 间 相 互 矛 盾 特 点 （ 如 例 2-13 中 的f 1 ( x 1 , x 2 ) 和 f 2 ( x 1 , x 2 ) ,一般多个目标函数不能同时达到极值点，总体最优实际上是多个目标之间折衷、平衡的结果，为表达这一概念，需用到非 劣解的定义。非劣解： 设 S= { x | gi( x ) ≤ 0 , i = 1, 2 ,'m } 为多目标规划问题 (2-75) 的可行域。若 x∈ S ，且不存在另一可行点x∈S，使f i ( x ) ≥ f i ( x ' ) , i = 1, 2 ,成立，则称p成立，且其中至少有一个严格不等式x' ∈ S是（2-75）的一个非劣解，所有非劣解构成的集合为非劣集。在非劣集中，使决策者满意的非劣解称为最终解。一个多目标规划如果存在非劣解，往往存在无穷多个，形成非劣解集。在非 劣解集中求解最终解常用两种方法：加权法和约束法。加权法将求解多目标规划的非劣解问题化为单目标规划问题。设多目标规划 如 （ 2-75 ） ， 可 行 域 为S ， 加 权 法 先 给 定 权 系 数w j ≥ 0, j = 1, 2,p ，构造相应的单目标规划max s.t.∑wj =1pjf j ( x)x∈S(2-76)在一定条件下，(2-76)的最优解为(2-75)的非劣解，有目的地改变权系数wj,j=1,2……p,求解一系列的（2-76） ，则得到(2-75)的大量非劣解，构成非劣解集，然后按某种偏好选取最终解。 其实， 按问题求解的性质与特点， 往往只需考察三、 五组权系数就能从中确定最终解。约束法也是一种将多目标规划问题化为单目标规划求解的方法，与加权法不 同的是，它在多个目标中选取一个最重要的作为主目标，将其余目标变为约束条 件，构造下述单目标规划问题：max s.t.(2-77)这里 ε 1 , ε2f k ( x) f j ( x) ≥ ε j , j = 1, 2, x∈S,p, j ≠ kε k ?1 , ε k +1 ,εp是根据目标函数性质给定的常数，即对 k 以外的其余目标来说，由“越大越好”变为“只要大于某值即可” ，因此最 终将多目标规划问题化为了单目标规划问题。 有时，有多目标规划问题中，虽经反复统筹比较，也无法将问题简化为单 主目标函数的情况。这时，首先尽可能减少主目标函数的数目，将次目标函数变为约束条件；然后对保留的多个主目标函数用加权法求解。这种将约束法和加权 法联合使用的方法叫混合法。EX1: 求解书中例子。 EX2： 求解：m a x [ f1 ( x ) , f 2 ( x ) ] 0 ≤ x ≤ 3; f 1 ( x ) = 1 ? x , f 2 ( x ) = (1 ? x ) 2
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