奇妙数学大世界A
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/ 奇妙数学大世界A　
　　　　　　　　　　　　11.跳不出的怪圈表演者在黑板上随意写下了一串数字：17、20、32、46、51、74、100、240、310?? 这些数毫无规律。　　接着，表演者说：“我随便在这些数中圈一个，你们谁都别想跳出去。” 稍停，他笑着说，“当然罗，我指的是计算！”大家都在静静地听着。 “现在表演开始！”表演者说，“你们每个人悄悄地写下任一个自然数，再减去一个比它小的任一个自然数，将得到的差乘以 9。” 大家按照他的要求，认真地计算着。只听一片纸笔的沙沙声。 “把乘得的积各数位上的数字加起来，再把得的结果各数位上的数字加起来，直到得出一位数为止。”表演者继续发布指令。 根据要求，俐俐的计算过程是：
78－23＝55 55×9＝495 4＋9＋5＝18 1＋8＝9 元元的计算过程是：
281－198＝83 83×9＝747 7＋4＋7＝181＋8＝9 表演者说：“现在我开始圈数！”说着随手给 100 画了个圈，“请你们将最后得到的数，乘以 8 再加上 28。”一会儿，大家分别报出了答案。 奇怪的是：尽管原先写出的、减去的自然数各不相同，可是最后的结果却不约而同的都是 100！果然没有一个跳出圈外的！大家一阵惊讶！　　表演者接着说：“请把第一阶段的结果乘以 3，减去 3，这回让谁也跳不 出 51！”随手又拿起粉笔将 51 圈了起来。结果又是无一例外！　　此后，表演者又圈了一些数，果真谁也没能跳出圈外！甚至黑板上的那 些数让别人胡乱写，但只要被他圈住，并且按照他的要求作一番运算，仍是 毫无差错。表演者究竟用的是什么绝招呢？解：这套游戏是根据 9 的整除特征设计的。 开始从一个数再任意减去一个数，只是故弄玄虚。将差乘以 9 的积，当然能被 9 整除了。能被 9 整除的数，它各位上的数字和也必定是 9 的倍数，再将和的数字连加，最后得出的一位数必然是 9！ 此后的加、减、乘、除是表演者根据圈定的数而随意安排的。如需要结果是 100，既可以 9×8＋28，也可 9×9＋19，还可以要大家用 90 被他们的 得数除，而后将商扩大 10 倍，这样便都可以得 100。　　　　　　　　　　　　　12.难凑的和搞了许多猜数游戏，该换换花样了。 表演者说：“咱们来做凑和游戏吧！先确定一个最高位是 2 的五位数，　　　　　　把它当作和，然后每两人一组，轮流说出五个四位数，使它加起来的和恰是 预先确定的那个五位数，能在半分钟内完成的，就算及格。” “半分钟太短了！”大家说，“你先做给我们瞧瞧！”表演者也不推辞，并且请俐俐与他做一组。两人商定：预定的和是 27636（最高位是 2，五位数）。 俐俐先说了个“4321”。 表演者说了个“5678”。 俐俐接着说：“6235！” 表演者接着说：“3764”。　　又轮到俐俐报数了，可是她直皱眉头，涨红了脸也说不出。谁都知道， 这最后一个四位数最为关键，它必须与前面已经报出的四个四位数相加的和是 27636，既不能多，也不能少。俐俐一时难住了。 表演者见状，再不帮俐俐，时间就要超出半分钟了，便随口报了个“7638”！能行吗？大家将信将疑，便将他俩报的数全部加起来进行检验：＋＋ 果然正确！可是轮到大家凑和时，才知道难度很大，开始时能随便报数，到最后一个便卡住了，再也快不起来！有的不得不动起纸笔，五分钟也完成不了。 然而，不论是谁，只要与表演者结成一组，几秒钟便完成了，而且准确无误。这使大家十分惊奇，纷纷问表演者：这么熟练的计算是怎么练成的？ 表演者笑着说：“这里面有个诀窍，你们都没有找到。” 究竟是什么诀窍呢？解：表演者前两次报的数，都与对方报的数合成 9999，这样 ＝19998，比 20000 少 2。表演者只要在最后一次凑零头数时多加 2，便可以 了。如题中：（）＋（）＋（7636＋2）＝＋7636＋2＝（＋2）＋7636＝2＝27636　　　　　　　　　　　　　　　13.必居其中表演者先讲了一个有趣的故事： 大禹治水时，传说，从洛河里爬出一只大乌龟，背上有一些奇妙的红色标记。人们仔细辨认后，才明白原来是一些极有规律的数字：它的纵、横、 斜每一列每一行三个数字的和都是 15！真是神奇！　　表演者接着说：“中国古书上称这个纵横图为‘洛书’，后来外国人称 它为‘幻方’。它果真是变幻莫测，趣味无穷。”
“举例说吧，在这个图中，你任意默记一个数字，只要告诉我，它在 A、 B、C 中哪一列，之后，我将数字卡片收起重排，排好后，你再告诉我它在哪 一列，最后我再重排一次。这样你默记的数字，必定是正中间的那个数！”大家觉得很新奇，都急着要试试。 俐俐说：“我默记的数字在 B 列。”俐俐默记了 9。只见表演者将 C 列的三个数，由下而上收起来，按同样的顺序，又收起了 B 列 A 列。最后将收起的卡片从左向右自上而下，重新排成三行。 俐俐说：“我记的数现在到了 A 列。” 表演者仍按原先的方法，从右向左，自下而上将卡片收起，仍按从左向右自上而下，将卡片重新排好。这一次，他将全部卡片都数字向下，背面向上。然后说：“现在我将正中的卡片翻给你们看，必定是你原先默记的数字！” 俐俐一看，果然是 9！不禁十分惊奇。 接着，又有几个人试验，令人不解的是，不论默记哪个数，经过表演者收了摆，摆了收，最后，默记的数字都“必居其中”！你能知道其中的奥秘吗？解：表演者遵循的规则是：　　①每次收卡片的次序是自下而上，从右向左，并必须把对方报的列数放 在中间，即第二次收取。②每次放牌的顺序要自上而下，从左向右。　　这样经过三次摆放，对方所报的数必然正居中心。因为经过这么摆放， 一列中排列的数经过了几次轮回，恰把对方所报的数摆到了中心。 14.每组 几枚　　表演者拿着一把硬币，高高地扬起说：“每次咱们都是写数、猜数，这 次咱们变个花样！”没等他话音落地，大家便急切地问道：“换什么花样？快说！” “这么着吧，”表演者说，“我给你们 10 枚硬币，任你们把它分成怎样的两组，我都能猜到每组是几个？” 大家倍觉新奇，忙接过硬币，背着表演者悄悄地将 10 枚硬币分成 6 和 4两组，便说：“分好啦，你猜吧！” “别忙！”表演者说，“我还要知道点信息呢！--请把其中一组用 7 乘，另一组用 5 乘，再将两个积相加，把加得的结果告诉我。”大家也很快悄悄地算好了：
6×7＝42 4×5＝20 42＋20＝62 便齐声说：“两个积相加得 62。” 只见表演者略一思索，便说：“一组 6 枚，一组 4 枚。” 果然猜中了！众人又重新分组，并按要求计算出和是 68。 表演者又很快猜出一组是 9，另一组是 1。 当他们又报出：“和是 56。” 表演者又很快猜出：“一组是 3，一组是 7。”总之，这 10 枚硬币，不论怎么分法，都被表演者准确地猜出了。 请想一想，这是为什么？解：假定对方分成的两组数，一组是 x 枚，另一组便是（10－x）枚了。 按照要求可列成：x×7＋（10－x）×5＝7x＋50－5x＝2x＋50　　这样，只要将对方告知的结果减去 50 后，再除以 2，便求出其中的一组。 另一组便迎刃而解了。如对方告知积的和是 62。表演者便算出了：（62－50）÷2＝6（枚）??????一组数10－6＝4（枚）????????另一组数15.谜底回家　　表演者说：“咱们现在玩个‘谜底回家’的游戏吧！”说罢，请五个人 上台。　　他先召呼甲，悄悄地对他说：“你任意写一个三位数，而后秘密地交给 乙。”　　乙将甲交来的纸条展开一看：749，表演者命他紧挨着照写一遍，再交给 丙。　　于是丙接到了一个六位数：749749。表演者令他将这个数用 7 除，丙照 办了。只是担心万一除不尽怎么办？计算以后，恰好整除：
＝107107 丙把商数交给了丁。表演者命他再将交来数用 11 除，结果得：＝9737丁又把 9737 交给戊。　　表演者又命戊用 13 除。戊问：“除不尽怎么办？”表演者说：“只希望 你别算错就行。”戊只得照办了：
9 恰好整除，他的担心又是多余的。 “现在请戊把运算的结果交给甲，请甲辨认一下交来的数是不是自己原来写的那个数。”　　谁知当甲接到戊交来的数后，竟目瞪口呆：经过了那么多关卡，转悠了 好长时间，交到自己手上的，仍是 749！果然回家了！紧接着，又重新写数，奇怪的是，尽管相互都是保密的，可是最终落到写数人手中的，仍是最先写的三位数！ 这是怎么回事呢？ 解：秘密是：7×11×13＝1001表演者要求第一个人写的是三位数，第二个人又紧挨着再写一遍，这样组成的数前三位数字与后三位是重复的。而任何一个三位数与 1001 相乘，它 的积都是六位数，而且积的前三位数字与后三位数字是重复的，恰好符合这 一特点。这样做的实质就是：第一个人写一个三位数，第二个人将它乘以 1001。此后几个分别用 7、11、13 去除，必然还原到最初的三位数。16.左边右边　　表演者拿出一把一分硬币，说：“给你 10 枚硬币，你将它摆成两行，右 边的一次只准摆 1 枚，左边的一次只准摆 2 枚，也可以全部摆在一边，但仍 必须一个一个或两个两个地摆，每摆一次只要说声‘好’，最后我便知道你 左边或右边各是几枚。”有人接过硬币摆成了： 左边：00\00\ 右边：0\0\0\0\0\0\刚摆完，表演者立即说：“左边你摆 4 枚，右边你摆 6 枚。” 有人又摆成了：左边：右边：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 奇怪的是，尽管表演者没有看到，仍一口说出：“10 枚全部摆在右边。” 解：这里的奥秘是：表演者虽然未见摆放情况，但根据对方说“好”的次数，便可推算出来。因为事前已经规定：每放一次，必须说“好”。 如：对方共说了八次“好”字，假定都放在右边，就有 2 枚×8＝16 枚，这比总数多 6 枚。为什么会多出来 6 枚呢？因为左边每次只准放 1 枚，也当作 2 枚计算了，每次多算 1 枚，在右边放了 6 次才出现这种情况。因而断定 右边放 6 枚，这样左边几枚就容易算出了。第二次共说了十个“好”字，所 以断定 10 枚全部放在右边。17.单数双数　　表演者说：“不论是谁，不管他手里拿着多少东西，我都猜到他哪只手 拿的是单数，哪只手拿的是双数。”尧尧两手都握着硬币问：“我哪手是单，哪手是双？” “请将你左手握的数扩大 3 倍”，表演者说，“右手握的数扩大 2 倍，最后将和告诉我！” 尧尧默默地算了一下，说：“和是 49！”“这就是说，你右手里是双数，左手里是单数！”表演者胸有成竹地说。 尧尧摊开双手--果然，右手 8 枚，左手 11 枚。 解：表演者的根据是： 奇数×2＝偶数奇数×3＝奇数 偶数×2＝偶数 偶数×3＝偶数 偶数＋偶数＝偶数 偶数＋奇数＝奇数规定“左手的数乘 3，右手的数乘以 2”，所以，若两手得数的和是奇数，便断定左手拿的是奇数；若是偶数，则左手拿的必定是双数。18.给零知整　　表演者说：“你任抓一把硬币，连你自己都不知道总数是多少个，我却 知道。”这更神奇了！ 媛媛悄悄地抓取一些硬币，问：“你能猜到是多少么？”　　表演者又说：“请你将它排成一个正方形的四条边，多余的舍去，不足 的补齐。”媛媛悄悄地将硬币摆成了：　　“再请你取起三条边，将硬币沿着剩下的一条边，一行一行地排下去， 排得与剩下的边个数相等，排满一行再另起一行。”表演者继续说着他的要 求。媛媛按照要求又将硬币排成了。（下图所示）这一切都是背着表演者悄悄进行的。 “有零头么？”表演者问，“若有，请将零头数告诉我。” “零头数是 4。”媛媛说。 表演者稍一思索：“你的硬币总数是 28 个！”就这样，不论你取多少硬币，最后只将零头数报出来，表演者都准确地知道硬币总数。真是奇妙。 解：表演者的计算公式是： 零头数×4＋12＝总数 如下图。　　从图可以看出：任何可以排成正方形的硬币数，再取起沿一边重排，都 可以排成三整行，第四行里必定缺少 4 个。　　零头数是 4，根据公式得：　　　　　　　　　　4×4＋12＝28（枚） 如果没有零头数，便只能是0×4＋12＝12（枚）19.后取难逃　　表演者说：“把一批硬币放在一起，你们三个人轮流取，尽管我没有看 到，但是最后一人取多少，却难逃脱我的预料。”“好吧！咱们现在就开始。”有人急不可耐。 “我还有话说：①第一个人取走的个数不能超过 11；②第二个取的必须是剩下来的数的十位数与个位数的和；③第三个人取的数不准超过 7。” 尽管有这么多的条件，能知道最后的取走多少，也是不容易的。于是大家便三人一组试取起来。表演者自觉地转身不看。 一会儿，一堆约有二、三十枚的硬币每人都取了一次。 “谁最后取的？”表演者问。 “我！”一人应声回答，并握紧了取币的手。 表演者转过脸，目光扫了一下取剩下的硬币堆，迅即说：“你取了 4 枚！” 那人伸开手掌，大家一看果然 4 枚。表演者根据什么道理猜中的？ 解：按照规定的取法，第二个人取后剩下的枚数必定是 9 的倍数。 因为总数是二、三十枚，第一人取后余数只有 20 左右。第二人再取余下数的十位数与个位数的和，任何一个两位数减去它的数字和，余数都是 9 的倍数。这样，当第三人取后，表演者只要瞄一眼堆中剩余的数比 9 的倍数少 几，便知道所少的数是被取走的了。20.抢、让 30　　表演者说：“把 30 枚硬币放在一起，咱们轮流取，每次最多可以取 3 枚，最少取 1 枚，也可一次取 2 枚，谁得到最后的一枚，就算取胜。”奇怪的是不论谁和表演者共同取，却总难取胜。后来，表演者又做让 30 的游戏，即谁得到最后的一枚，就算失败。 结果，每次表演者都将最后的硬币留给了对方。 其中蕴含着什么奥妙呢？　　解：因为 30 是 3 的倍数，要想最后取得硬币，必须保证自己所取的数 与对方所取的数和是 3 的倍数。如，对方先取 1，你则取 2，对方取 3，你也取 3??，若表演者先取，就要调整到迫使对方取走“27 数”。 让 30 则相反。21.弹子告密　　表演者拿出 10 个玻璃球说：“你们拿去把它任分两组，这球便会向我告 密：甲组几个，乙组几个。”　　大家看那些球并没有什么特殊，只是颜色有红、有绿。于是，同学们悄 悄地将它们分成 4 个和 6 个两组。便说：“让你的宝贝球告密吧！”表演者说：“别忙，请把甲组数乘以 8，乙组数乘以 2，将和告诉我。” 大家按照要求，很快地心算出来了：　　　　　　　　　　　4×8＋6×2＝44 便大声说：“和是 44。”　　只见表演者口中不停地喃喃着：“红弹子、绿弹子，快告密！”一会儿 又说：“知道了，知道了！甲组 4 个，乙组 6 个。”大家都非常惊诧。又重新作几次分组，表演者仍然猜得准确无误。 玻璃弹子是怎样告密的呢？解：可用方程求解。设甲组为 x 个，乙组便是（10－x）个。 根据题意可列如下方程：x·8＋（10－x ）·2＝448x＋20－2x＝446x＝44－206x＝24x＝4即，甲组 4 个 乙组的个数是：10－4＝622.无言有数　　表演者手里拿着一叠卡片，笑嘻嘻地说：“每次猜数，结果都是从我嘴 里说出来，这一回我让卡片自己说。”“卡片怎么能说话呢？”大家奇怪地问。 表演者将卡片一张一张亮了出来：“卡片虽然说不出话，它可以用自己身上的数字来表达呀！”　　众人聚精会神地看着表演者亮出的一张张卡片：一共 10 张，每张的正面 都写了数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。　　“我把这些卡片数字向下摆在桌上。”说着，表演者把卡片一张接着一 张，在桌上排成了一个横行，“你们把这些卡片，从左端一张一张移到右端。 当然罗，不能超过 10 张这个总数，尽管我没有看到你们是怎么移的，我的卡 片却能用数字，告诉我你移动的张数。”　　表演者讲得神乎其神，大家听得似信非信，难道卡片也长了眼睛？大家 迫不及待地跃跃欲试。于是表演者转过身子，说：“开始吧！” 大家悄悄地把卡片从左端依次向右端移动了 4 张，便说了声：“好啦！” 表演者转过身，口里叨念着：“卡片无言，数在其中。”说着，翻开了左端第二张。大家一看那卡片上的“4”字，一个个惊得目瞪口呆！ 有人怀疑卡片上有暗号，可是每一张大小、颜色，都完全一样，看不出一点差异。　　于是众人让他重新摆好，又试了许多次，每一次移动的张数，总是与表 演者翻开的卡片上数字相符，卡片用无声的语言说出了移动的张数。真是玄妙！解：原来表演者把 10 张卡片排列成：10、9、1、2、3、4、5、6、7、8 这样，不论对方从左端移几张到右端，表演者只要翻开移动后的卡片左端第二张，卡片上的数字必是被移动的张数。　　如移两张到右端后，卡片就排列为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10， 翻开左端第二张，数字便正是“2”字，以此类推。　　23.手称扑克　　表演者说：“别人称东西用秤，我只用手便可以了。”接着手里拿出一 副扑克牌说，“你随便拿出一叠，我只要用手掂一掂，就知道它有多少张。” 谁都知道，一张扑克牌的重量是很轻微的，能用手称出一叠扑克牌的张数，确很玄乎。 众人便急着取过扑克牌，从中随意拿出了一叠。大家悄悄地数了数，共41 张，便交给了表演者，催促道：“快称称看有多少张吧！” “别忙！”表演者说，“请把这叠扑克牌张数的十位数字与个位数字相加。从这叠扑克牌中再取出加得数的和的张数，我再称。” 大家又悄悄地按照他的要求算出了：41，两数字和 4＋1＝5，41－5＝36 而后，将剩余的牌交给了表演者。　　只见表演者把扑克牌放在手上轻轻地掂了掂，立即说：“这叠牌共 36 张。”接着又有几个人，连续按要求取了几次，每一次都被准确地称出了。 真神，大家惊奇极了。 解：因为任何一个自然数减去它的数字和，余下的数都是 9 的倍数。在一副扑克牌中 9 的倍数只有 9，18，27，36 或 45。表演者根据估计，便很容易地推测出手中牌的张数了。 一个自然数减去它的数字和，为什么余下数一定是 9 的倍数呢？ 可作如下证明：假设从一叠扑克牌中拿出了 ab 张。a 为十位数，b 为个位数，根据规定，可列成下述算式：10×a＋b－（a＋b）＝10×a＋b－a－b＝10×a－a＝9×a最后的余数是 9×a，表明余数一定是 9 的倍数。　　　　　　　　　24.天才记忆表演者随手在黑板上写了许多行长长的数字：①1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7②2 2 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4③3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1④4 4 8 2 0 2 2 4 6 0 6 6 2 8⑤5 5 0 5 5 0 5 5 0 5 5 0 5 5⑥6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2⑦7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9⑧8 8 6 4 0 4 4 8 2 0 2 2 4 6⑨9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 然后说：“这些数，我只是按题号信手写来，现在不论你说哪一题，我都可以立即背出来。” 众人似信非信。共有九道题，每道题的数位都有十四位之多，谁能记得那么多！ 于是纷纷提问，当场考验。有人问第 3 题，表演者确实流利地背出了。又问第 7 题，仍然背出了。 结果出了九道题，题题都被表演者熟练地背出。 众人惊奇得连声称赞：“真是记忆天才！” 解：原来表演者是按照一定的规律写数的： 每一行的数字，在后面的数总是与它相邻的前两个数的和。如果前两个数的和是两位数，便舍弃十位数，只记下个位数。这样，对方只要说出题号，如第 3 题，表演者便立即可以背出：91。25.速算魔块　　表演者拿出五枚小小的正方体，每个正方体的每个面都写上各不相同的 三位数。它们是：第一枚：147、345、543、642、741、840 第二枚：459、558、657、756、855、954 第三枚：168、267、366、564、663、960 第四枚：179、278、377、773、872、971 第五枚：186、285、384、483、681、780 表演者说：“将这五枚方块混在一起，不论你如何摇晃，任意抛下后，它的顶上面五个数字和，都可立即得出。” 真能如此，确可称为“魔块”了。因为五枚方块上一共有 30 个三位数，它们任意地排列组合，得到的加法算式便很多很多了。每一道都是五个三位 数相加，能迅速得出和来，够神奇了！　　于是有人抓起五枚方块，在手中摇晃了一会，又抛在桌上。只见那五枚 方块顶面的数分别是：543、657、366、377、384。“这五个数的和是 2327！”表演者很快答出。 又有人摇出的数是：147、459、168、179、186。 “这五个数的和是 1139！” 有人又摇出了：345、756、663、278、286。“和是 2228！”表演者仍很快地算出了！速度超过计算器。什么诀窍呢？ 表演者说，他是这么计算的：先求出各个数的个位数的和，用得数作总和的末两位（若得数是一位数，需在数前补 0），再用 50 减去这个得数，将得到的差作总和的前两位数。因 此，很快就算出了总和。可是，做这样运算的道理是什么呢？解：认真分析一下五个方块上的数，可发现它们具备以下特征：1.每个方块上的各个面上的数，中间的一个数都相同。它们分别是：4、5、6、7、8。2.同一个方块上的各个数，首尾两个数的和也相同，它们分别是：8、13、9、10、7。 根据这个特点，顶面上五个数的和便有规律了。设顶面五个数的个位数分别为 x1、x2、x3、x4、x5，这五个数可以表示为：第一枚：100×（8-x1）+40+x1=840-99x1第二枚：100×（13-x2）+50+x2=第三枚：100×（9-x3）+60+x3=960-99x3第四枚：100×（10-x4）+70+x4=第五枚：100×（7-x5）+80+x5=780-99x5这五个数的和便是：S=840+0+780-99×（x1+x2+x3+x4+x5）=5000-99×（x1+x2+x3+x4+x5）设 x1+x2+x3+x4+x5=N 则 S=×100-100N+N=100（50-N）+N　　其中，N 恰是五个数尾数的和，为总和的末两位数。10050-N），恰是总 和的前两位数（百位以上的数）。因此，表演者的算法是符合算理的。26.魔阵　　表演者拿出一张写满数字的表格（如图），接着神神秘秘地说：“这是 我设计好的数字魔阵。在这个魔阵中，你任意圈住几个数字，我闭上眼睛也 能说出它们的总和来。”
大家看到图上共有 16 个数字，每次圈四个数，可以有很多很多的组合方 法，即使睁着眼也需要计算一会儿才能得出和来呀！他却能闭着眼便知道 “和”，真够奇特的了！停了停，他又交待了圈数的方法： “每圈住一个数，必须把与这个数同行同列的其他数都划去，再在余下的数中圈数，再把圈定的数同行同列的数都划去??，这样，魔阵中最后必 然只剩圈住的四个数，这四个数的和，便是可以闭着眼睛告诉大家的。”于是，有人圈定了下面的几个数：最后，数阵中只剩下圈住的 26、24、39、11 四个数了。 “圈好了！”几个字刚出口，表演者便脱口而出：“余下这四个数的和是 100！”　　果然是闭着眼睛说的！别人在圈数时，他根本就没有看。其中隐藏着什 么奥秘呢？解：原来这个魔阵的数字是按照下表所示的方法制出的。+
24
16
3
7
10
10+24=34
10+16=26
10+3=13
10+7=17
15
15+24=39
15+16=31
15+3=18
15+7=22
21
21+24=45
21+16=37
21+3=24
21+7=28
4
4+24=28
4+16=20
4+3=7
4+7=11
　　表上面一行有 24、16、3、7 四个数。左面的一列有 10、15、21、4 四个 数，这八个数纵横两两相加，便相应地得到了表中的各个数字。按照表演者要求的方法所圈定的表中的四个数，都分别是表上纵横八个数两两相加的和，因此，数阵中四个数的和，也就是上表纵横八个数的和。而 24+16+3+7+10+15+21　　+4=100，所以表中任意四个数的和也必然是 100，表演者知道这个数阵 的特点，当然闭着眼也能说出和来。据此，我们可以制出多种多样的魔阵来。　　27.魔窗　　表演者拿出两张数字表（如图）和几张挖有窗孔的纸，每张有窗孔的纸 都只能看到表上的部分数字，几张窗纸都复在数字表上，最后便只能看到表 上的一个数字了。1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
数字表
表一
表二
表三
表四
1
1
1
1
2
2
2
2
3
5
3
5
4
6
4
7
5
9
9
9
6
10
10
11
7
13
11
13
8
14
12
15
表演者说：“你可以暗暗地记住（一）中的任何一个数字，告诉我（二）上哪几张表上有你暗记住的数，我便可以通过魔窗，窥见你所想的那个数。” 人们观察一下这张数字表，共有四行数字，每行都是八个数。每个数都 是一个窗口，任意在头脑里暗记一个，对方都能通过魔窗看到自己内心所想的那个数，真新奇！于是便争相报告： “我想的数，只有表一、表四里有。”表演者把几张魔窗放在图一上转动了一会儿，笑着说：“瞧，你想的数是 7。” “我想的数表一、二、三、四上都有。” “瞧，你想的是 1！”“我想的数，表一、二、三、四上都没有！” “瞧，你想的是 16！”果然不错，任想哪个数，表演者都通过魔窗，准确无误地看到了。 真是神奇奥妙！解：魔窗共有四张，它的制法是： 取四张与图一大小相同的厚纸，依照下图挖出窗孔：　　这样，每张魔窗都遮住数字底片中 16 个数字的一半，露出八个数字。叠 两张就露出四个数字，叠三张露出三个数字，四张全叠上就只露出一个数字 了。凡是表上有的，就把与表几对应的窗正放，表上没有的，就把与表几对 应的魔窗颠倒放。最后露出的就是对方所想的数。魔窗的原理是二进制计数。　　当代的数字电子计算机以及许许多多电气化设备和用品，都是以二进制 作基础的。它的理论知识，只有待今后学习高深知识时，才能理解。这种魔 窗玩具，实际已是一台小小的最简单的数字计算机了！　　28.猜年龄、姓氏表演者拿出七张卡片，每张卡片上都写满了数字和姓氏（如图）。表一：赵 1
孙 3
周 5
郑 7
冯 9
褚 11
蒋 13
韩 15
朱 17
尤 19
何 21
施 23
孔 25
严 27
金 29
陶 31
戚 33
邹 35
柏 37
窦 39
云 41
潘 43
奚 45
彭 47
鲁 49
昌 51
苗 53
花 55
俞 57
袁 59
邦 61
史 63
费 65
岑 67
雷 69
倪 71
滕 73
罗 75
郝 77
安 79
乐 81
时 83
皮 85
齐 87
伍 89
元 91
顾 93
平 95
和 97
肖 99
表二钱 2
孙 3
吴 6
郑 7
陈 10
褚 11
沈 14
韩 15
秦 18
尤 19
吕 22
施 23
曹 26
严 27
魏 30
陶 31
谢 34
邹 35
水 38
窦 39
苏 42
潘 43
范 46
彭 47
韦 50
昌 51
凤 54
花 55
任 58
袁 59
鲍 62
史 63
廉 66
岑 67
贺 70
倪 71
殷 74
罗 75
邬 78
安 79
于 82
时 83
卞 86
齐 87
余 90
元 91
孟 94
平 95
穆 98
肖 99
表三：李 4
周 5
吴 6
郑 7
卫 12
蒋 13
沈 14
韩 15
许 20
何 21
吕 22
施 23
华 28
金 29
魏 30
陶 31
喻 36
柏 37
水 38
窦 39
葛 44
奚 45
范 46
彭 47
马 5
苗 53
凤 54
花 55
柳 60
邦 61
鲍 62
史 63
薜 68
雷 69
贺 70
倪 71
毕 76
郝 77
邬 78
安 79
傅 84
皮 85
卞 86
齐 87
卜 92
顾 93
孟 94
平 95
尹 100
表四王 8
冯 9
陈 10
褚 11
卫 12
蒋 13
沈 14
韩 15
张 24
孔 25
曹 26
严 27
华 28
金 29
魏 30
陶 31
章 40
云 41
苏 42
潘 43
葛 44
奚 45
范 46
彭 47
方 56
俞 57
任 58
袁 59
柳 60
邦 61
鲍 62
史 63
汤 72
滕 73
殷 74
罗 75
毕 76
郝 77
邬 78
安 79
廉 88
伍 89
余 90
元 91
卜 92
顾 93
孟 94
平 95
表五杨 16
朱 17
秦 18
尤 19
许 20
何 21
吕 22
施 23
张 24
孔 25
曹 26
严 27
华 28
金 29
魏 30
陶 31
郎 48
鲁 49
韦 50
昌 51
马 52
苗 53
凤 54
花 55
方 56
俞 57
任 58
袁 59
柳 60
邦 61
鲍 62
史 63
常 80
乐 81
于 82
时 83
傅 84
皮 85
卞 86
齐 87
廉 88
伍 89
余 90
元 91
卜 92
顾 93
孟 94
平 95
表六：吴 32
成 33
谢 34
邹 35
喻 36
柏 37
水 38
窦 39
章 40
云 41
苏 42
潘 43
葛 44
奚 45
范 46
彭 47
郎 48
鲁 49
韦 50
昌 51
马 52
苗 53
凤 54
花 55
方 56
俞 57
任 58
袁 59
柳 60
邦 61
鲍 62
史 63
黄 96
和 97
穆 98
肖 99
尹 100
表七：唐 64
费 65
廉 66
岑 67
薜 68
雷 69
贺 70
倪 71
汤 72
滕 73
殷 74
罗 75
毕 76
郝 77
邬 78
安 79
常 80
乐 81
于 82
时 83
傅 84
皮 85
卞 86
齐 87
廉 88
伍 89
余 90
元 91
卜 92
顾 93
孟 94
平 95
黄 96
和 97
穆 98
肖 99
尹 100
表演者说：“任何人只要你的年龄和姓氏在这几张上，我都可以立即猜中。”他的话音刚落，有人说：“我的年龄在第一张表上。” “别的表上都没有么？”表演者问。 那人又详细地端详一下，补充说：“第三张、第五张表上也有。” “凡是表上有的，不能遗漏！”表演者说，“如果你的年龄只在第一、三、五三张表上，那么你的年龄应该是 21 岁。” 果然猜中了！ 又有人说；“我的姓在二、三、四、五、七表上有。” “这就是说，你是孟老夫子的后代了！”　　人们接二连三地问，表演者一个个回答，竟然没有一次失误，大家惊奇 得目瞪口呆。可是，谁都不了解这奇特的表格里隐藏着的秘密。　　解：这几张表也是根据二进制的原理编制成功的。把年龄（姓氏）先变 成二进制数字。写在卡片上，就如同把它“存贮”在计算机里。猜年龄时，　　“有”和“没有”，就等于给计算机一个信号，这个信号计算机将它翻译出 来，显示在左上角。只要将左上角的数字加起来，就得到了结果。例如：表一、三、五有某人的年龄，这三张表左上角的数字分别是 1、4、16，三个数的和为 21，便是被猜者的年龄。猜姓氏的方法也同样如此。29.阴阳八卦　　表演者向大家亮出八张如扑克牌大小的卡片，那上面画着八种不同的符 号：他说：“这是我国古代的八卦符号，它可以任意代表八种事物，比如： 代表方位：代表动物：或表示水果、数字等等，均可以。 不论你想往哪个方向去，或是喜欢哪种动物，我把卡片重排两次，你只要告知我你所想的事物是在上排，还是下排，我都能猜中。” 照这么说，这卡片真神啦！ “让我们试试看！”众人喧嚷着。 表演者将卡片排成如下两行：“你喜欢什么？”表演者问。 对方答：“我喜欢的动物，在上排。” 表演者将卡片收起，重新摆成了：对方说：“现在在下排。” 表演者又收起卡片，重新排成。表演者又问：“现在在哪排？” 对方答：“还在上排！” 表演者立即说：“你喜欢的动物是牛！” 对方连连点头称“是”。　　此后，有人暗记数字的，有人暗记方位的，表演者都能一一猜中，真是 妙极了！　　解：这个游戏的原理也是二进制。 它的诀窍是：　　1.凡在上排都算“0”，凡在下排都算“1”。这样，上下两排就可用 0 和 1 代替了。　　2.对方第一次讲的排数乘以 4，即，在上排是 0×4，在下排是 1×4。第 二次讲的乘以 2，在上排用 0×2，在下排用 1×2。第三次讲的乘以 1，最后 将三个积加起来，得数便是对方默记的数。如题中对方喜欢的动物，重排后分别在上、下、上，列为算式是： 第一次在上排：0×4=0第二次在下排：1×2=2 第三次在上排：0×1=0 三次相加的和是：0+2+0=2　　30.出生年月表演者说：“我不仅能知道各位的年龄，还能算出生月份。” 有人问：“你能猜出我是哪月出生的吗？”　　“请将你的年龄用 5 乘，再加 6，得数再乘以 20，再把出生月份加上去， 最后减去 365。”表演者交待了要求。那人算了一会说：“最后得数是 764！” 表演者略一思索，说：“你今年 10 岁，9 月份出生！” 那位小朋友连声说：“不错，不错，我今年刚刚过了十岁生日。” 众人非常惊奇。接着猜了许多人，一个个都被猜中了。 表演者是根据什么猜的呢？ 解：根据表演者提出的要求，列成算式是：（年龄×5+6）×20+月份-365 将此式化简后，得： 年龄×100+月份-245　　认真分析一下这个算式，可知，百位以上的数是年龄数。十位、个位数 便是出生月份，但必须加 245，才能还原。因为式中的“-365”只是个迷魂 阵而已！如上例：（10×5+6）×20+9-365=56×20+9-365=764764+245=1009表演者将对方告知的得数 764，再暗暗地加上 245，得 1009，百位前是10，便知对方为 10 岁，十位、个位是 9，便知对方为 9 月生。31.出生日期　　表演者说：“不论谁，只要按我的要求做，我可以具体猜到他的出生日 期。”有人急不可耐，忙问：“什么要求？快说。” “好！”表演者说，“①将出生的月份乘以 100，再把出生的日期加上去；②将得数乘以 2，再加 8；③再将得数乘以 5，加上 4；④再将得数乘以10，加上 4；⑤再加上你的岁数，最后减去 444。” 亮亮按照要求算了好一会儿，说：“最后得数是 121311，你知道我是哪月哪日生的？”表演者不假思索地说：“你 11 岁，12 月 13 日生。” 众人奇怪，他是怎么猜中的呢？为什么要经过那么多的运算呢？ 解：根据表演者的要求，列成算式是：｛［（月份×100+日期）×2+8］×5+4｝×10+4+岁数-444 化简后为：10000 月+100 日+岁数这个算式表明： 对方告知的计算结果，万位以前数是出生月份，百位以前万位以后的数是出生日期，十位和个位上的数是年龄数。因此，表演者可以迅速猜出。　　　　　　　　　　　　　32.对分得奖表演者拿出一张牛皮纸，上面写着：　　表演者说：“这个游戏，在车站、街旁、旅游点经常见到。现在我作摊 主，各位也来试试如何？”　　众人仔细地端详了得分表，20 枚卡片，每次摸 10 枚，共可拼得十个分 数，表上所缺的只是 70、75、80 三个分数，即 70%的分数都在表上，应该是 赢的机会大得多，而且只要赢得最差的奖品，也比付出的 5 角钱贵得多。于 是个个蠢蠢欲动。说也奇怪，连续十几个人参加摸奖，摸到的十张卡片分数和，大多是表上没有的三个分数。摆在边缘的高额奖品，没有一个人能得到。 究竟什么原因呢？谁也搞不清。解：摸 10 枚卡片总分可能性最多的是 70、75、80（这个道理是高中数学中“排列组合”）。可是这三个分数恰恰被去掉了。十枚卡片的总分和为 100 或 50 的奖品最高，然而可能性却微乎其微！ 以摸得总分和为 100 为例，需连摸十个都是 10 分的。假定摸第 1 枚是10 910分，可能为 ，再摸第二枚是10分的可能性只有 ，第三枚也是10分20 198可能性只有 ??以此类推，连摸十个都是10分的可能性只有：1810 9 8 76 5 43 2 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 1918 1716 15 1413 12 11184756　　瞧，可能性近于二十万分之一！也即连摸二十万次才有希望摸到一次总 分是 100 分的。以每次 0.5 元计，需花 10 万元才有可能得到一只袖珍收音机。同样，通过计算，得到其他各分数的可能性是：100（95分与55分） =184756约二千分之一（90分与60分） =
202518475614400（85分与65分） =18475644100（80分与70分 =184756（75分） =
63504184756约九十分之一约十三分之一约四分之一约三分之一由此，其中的奥妙便不言而喻了！33.摸球兑奖
“摸球兑奖也是在街道、车站经常看到的一种游戏。”说着表演者拿出 一只装有 16 枚红、绿各半玻璃球的布袋和一张画着兑奖图的纸：这个游戏不收参加费，但是摸的玻璃球若与正中间的图相同，则需买一支 3 元钱的圆珠笔。摸其他各图，则可得与图对应的奖品。 令人奇怪的是：参加的人大多是花钱买笔，而那支圆珠笔的实际价值连2 元都不足。 你能解释是什么原因吗？解：这个游戏的原理与“对分得奖”类似。　　因为从 16 枚红、绿各半的玻璃球中，任意摸出 8 枚，可能性最大的仍是 红、绿各半，而这恰恰是对应着“花 3 元钱买 1 支圆珠笔”一栏。其他各栏，由中心向两旁，摸到如图所示的红、绿球个数，则可能性愈来愈小。尽管两旁的奖品十分丰厚，参与者也只能望而兴叹了。所以，结果 总是多数人花高价买一支圆珠笔。34.抽牌数数　　表演者又拿出了另一张纸，说：“这是我在集市上常看到的一种游戏。” 接着他介绍了游戏的玩法。摊主面前摆着一张纸，上面写满数字和奖金：　　参加的人不必交钱，告知正数（顺时针方向）或是反数（逆时针方向） 后，便可从摊主的整副扑克牌中任抽两张。若抽得的两张是司令，先奖 6 元， 再重抽。将抽得两张牌的点数和对应表上的数字为起点，按顺数或逆数，数 到和数的格子，最后依终止格标数，决定奖罚。如抽得 7 和 K（K 作 13）， 点数和为 20，若之前确定正数，就以 20 作起点顺数，终止在“15”格内， 便可根据表内预定的数字，获奖 1 元。若之前确定反数的，则终止于“罚” 格，将被罚 3 元。也有的规定：抽单数正数、抽双数反数。表面上看，表上共有 26 个格子，有 25 个格子是有奖的，只有一个“罚”格，获奖的机会大着呢！而且又不用交参加费。万一受罚，仅仅 3 元，可是 奖额至少是 1 元，多的达 6 元。有这样的便宜，何乐不为？可是一旦参加了，才知道高额奖的机会实在太少，而“罚”字虽然只有一个，却常常把你盯住！ 许多人坠入其中，却苦思不解，一而再，再而三地掏钱给摊主。不悔悟自己的无知，却埋怨自己运气不佳。你们说，真是运气不济，还是数学开的玩笑呢？解：其实，这是运用数学原理精心设计的表格。表面上看，25 个数字中，能得奖的，正反数共有 26 次机会，受罚的只有 24 次，得奖的次数高于受罚次数。但是若抽得两张牌点数和是 14，则不 论正数、反数，均逃不脱受罚（若按单数正数，偶数反数，则几乎均落入“罚” 格）。挨罚一次是 3 元，得奖的只能得 1 元。三次得奖才抵上一次受罚。至 于那些高额奖金根本就得不到。至于抽牌得奖，其机会是极小极小的。因为全副扑克牌是 54 张，抽一张司令的机会是 154，再抽第二张司令，机会只有 1
。53所以抽两张都是司令的机会是：1 1? ?54 5312862这就是说，连续抽近 3000 次，才有可能抽到一次是两张司令。 所以参加这种游戏的人，不可能占到便宜，而摆摊设点的人，却总是有利可图。35.打弹子　　“打弹子也是街头常见的游戏。”表演者说着还画出了图，“它是一个 前面为玻璃，后面为钉子板的木箱子。箱顶有个开口，可容玻璃弹子通过， 钉子板上的钉子间隙也可容玻璃弹子通过。箱底是一个个用木板隔开的小格 子，格内摆放着各种奖品。奖品从中间向两旁逐渐丰厚。参加的人，用 2 角 钱就可以得一次投弹机会。弹子从箱口投入，落入箱底的格子里，便可得到 格内的奖品。但是，奇怪的是两边丰厚的奖品却很少有人得到。”你能解释其中的原因么？　　解：这个游戏的理论根据是高中数学中的杨辉三角。但是理解并不困 难。弹子的行进路线由于受钉子的制约，可作下图为示。 从图中可清楚的看出： 弹子到达箱底的路线，从中间向两边，愈来愈少，也即弹子落入中间的机会多，而落入两边的机会少。再加上弹子的入口处在箱顶中间，也即三角 形的顶部，下落时，由于重力的作用，落入两边的可能性就更小，而比较丰 厚的奖品都分布在箱子的两边，所以中彩的机会必然很少。　　　　　　　　　　　　　　　　　　图形变幻图形的变化也如万花筒。 看似平常的图形，常常变出奇妙；看似无序的东西，却隐含一定的规律。 从证明公式到巧妙计算，你将品味到敏捷、灵巧的思维妙趣。 从黄金分割到数线段、数角、数长方形、正方形??你将看到无序中的有序。桌面与硬币、线的不同组合，图形的静态与动态，又显示了视觉的迷幻！ 图形的分解、组合、计算，真是趣味无穷！ 但，这需要一双善于发现的眼睛和一个灵活运转的头脑。　　　　　　　　　1.狮身人面图古埃及有狮身人面兽，它的外部轮廓如下图：　　这是一个谜一般的趣图，可以将它作多种有趣的分解，是一道世界著名 的智力名题。　　现在要求将它分成四等份，每一等份的本身也是一个形状相同、大小相 等的“狮身人面图”。应该怎么分解？解：下面的分解可供参考：2.半枚柳叶　　尧尧拾到半枚弯弯的柳叶，放在一个长方形的纸片上，恰好可分成三等 份（如图，单位：厘米），他竟想出计算柳叶面积的方法了。你知道他是怎么算的么？　　解：认真看图，拼移后，可知空白部分的面积之和正好是边长为 4 的正 方形面积。求出长方形的面积减去空白部分的正方形面积，余下的阴影部分 就是这半枚柳叶的面积。解法 1：（2×3）×4-4×4=6×4-4×4=24-16=8（平方厘米）解法 2：还可移动阴影拼成长方形。如箭头所指。　　　　　　　　　　4×2=8（平方厘米） 即：这半枚柳叶的面积为 8 平方厘米。　　　　　　　　　　3.飞镖面积
在一个面积是 16 平方厘米的正方形中，画着一个飞镖的图形。飞镖是个 不规则图形，但是它的面积也是可求的。你会解答吗？ 解：只要认真观察一下，其实很简单： 飞镖的面积=正方形面积-（A＋B＋C）　　　　　=16 平方厘米-（A＋B＋C） 其中：A=4 平方厘米B＝C=4 平方厘米∴飞镖面积=16-4×3=16-12=4（平方厘米）4.分割黄金　　有两条大小相等、形状相同的黄金，按下面的要求，将每一条都截割成 两部分：一条割下它的 0.618 倍，另一条割下它的（0.618）2 倍。　　你知道将两条割下的部分放在一起，将剩余的部分也放在一起，将是一 种什么样的美妙状况？解：设每条黄金的长度都为 x，则：x=0.618x+（0.618）2x=0.618x＋（0.618×0.618）x=0.618·（1＋0.618）x=0.999924x由此可见，将每条割下的部分放在一起，也相当于一整条黄金。（如图）这种分割黄金的方法，在几何学中有个专用名称，叫做“黄金分割”。 “黄金分割”可以表达为： 将一条线段分成两段，使较长的线段成为较短线段与整条线段的比例中项。这时较短线段与较长线段的比，称为“黄金比”，而 0.618 便被称作“黄金分割点”。 上图中，BC∶AC=AC∶AB0.618 被称为“美的数”，因为“黄金比”能给人和谐协调的美感。5.变出奇妙
有两个面积不等的正方形，它们的边长分别为 a、b，若把它剪成三块， 拼成一个正方形，却可得到一个公式。应该如何剪拼？解：用下述方法，便可剪成一个新的正方形：在 AE 边上截 AN=a，连接 BN、DN，再作通过 B 点垂直于 BN 的直线，通过D 点垂直于 DN 的垂线，两线相交于 M，则正方形 BNDM 与原来两个正方形面积 相等，又恰将原两个组合正方形剪成了三块。因为原来的两个正方形边长分别为 a、b，则它们的面积便是 a2＋b2。 设新拼的正方形边长为 c，则它的面积便是 c2。这就是说：c2=a2＋b2这个等式，恰是三角形的“勾股定理”！　　中国古代，把直角三角形的斜边称为“弦”，两个直角边长者叫“股”， 短者叫“勾”。　　“勾股定理”可以叙述为：在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两 直角边（勾、股）平方的和。上述拼图恰证明了这个原理的正确性。6.平方差公式　　两个数的平方差等于这两个数的和与它们的差的积，这便是平方差公 式。
下图是边长为 a 的正方形，从中剪下了一个边长为 b 的正方形。怎样把 剩余部分剪开再拼成一个长方形，来证明平方差公式的正确性。解：剩余部分的面积，是大正方形减去小正方形面积，列为算式恰是：a2-b2 剩余部分若从斜对角剪开，可以拼成一个长方形。长是 a+b，宽是 a－b， 这个长方形的面积便是：（a＋b）（a－b）这就表明： 剩余部分面积=a2-b2=（a+b）（a－b）也即：a2-b2=（a＋b）（a－b） 可以任举两个数代入公式，再验证一下： 如：762-242=（76+24）（76－24）=100×52　　　　　　=5200 用普通算法就显得太麻烦：762-242=76×76－24×24=　　　=5200 这个公式在中学数学中还要详细讲述，它的用途很广泛。　　　
7.两数和的平方两数和的平方公式可表达为：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2
它的知识是在中学数学中才学到的。但是与平方差公式一样，其实并不 难。　　下图是边长为（a+b）的正方形，如果把它剪成四块，同样可以证明这个 公式的正确性。
解：将正方形按下面的方法剪成四块，算出每块的面积来，再比较一下， 它们的面积和与原来正方形面积间的关系，便可证明公式是正确的。原正方形的面积=（a+b）2剪开后变成两个长方形、两个正方形，它们的面积和为：a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2这就是说：（a＋b）2=a2+2ab+b2用这个公式可以简化某些运算。如：2032=（200+3）2=0×3＋32=4＋9=41209
8.两数差的平方两数差的平方公式是：
（a-b）2=a2-2ab＋b2 这个公式用图形来证明，也一目了然。 右图是两个正方形。把它剪成三块，算它的面积和，便可证明。但是，这三块应该如何剪呢？　　解：将原图按下图的虚线剪开成三块，便可以证明两数差的平方公式是 正确的。图中：A 部分面积=abB 部分面积=abC 部分面积=（a-b）（a-b）=（a-b）2 三部分面积的和=（a-b）2＋2ab 三部分面积和恰是原图面积。 原图面积是：a2＋b2所以，a2＋b2=（a-b）2＋2aba2+b2-2ab=（a-b）2（a-b）2=a2-2ab＋b2例如：2992=（300-1）2=0×1＋12=＋1=894019.扩建鱼塘　　岗埠农场原有一个正方形鱼塘，鱼塘的四角都有重要建筑物，不能损坏。 可是为了扩大生产发展经营，必须把鱼塘的面积扩大一倍。经过周密设计， 不仅保存了四角的建筑，还使鱼塘仍保持正方形。他们是怎样设计的呢？　　解：他们把正方形的摆放方向调换了一下，使扩建后的正方形四个角在 原正方形的对边上（如图）。　　这样，原正方形的四个角，分别成为改建后正方形四条边的中点，面积 正好扩大了一倍。　　
10.数线段两点之间的直线叫做线段。在下图的 AF 中，还有 B、C、D、E 各点，它们每两点中的连线都是线段。 数一数，图中共有多少条线段？　　解：这类题目，如果没有掌握一定的规律，在数数的过程中，很容易重 复或遗漏。因此，必须按序进行。上图中：以 A 为出发点有：AB、AC、AD、AE、AF 共 5 条。 以 B 为出发点有：BC、BD、BE、BF 共 4 条。以 C 为出发点有：CD、CE、CF 共 3 条。 以 D 为出发点有：DE、DF 共 2 条。以 E 为出发点有：EF 只 1 条。 线段的总数是：5+4＋3＋2+1=15（条）　　上述线段上共有 A、B、C、D、E、F 六个点，若点数越多，所含线段总数 也越多：它们都是从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的一个加数， 是线段上总点数减 1。找到了最大的一个加数，算式便容易列出了。由此可见，如果一条长线段上有 n 个点，则它含有的线段总条数为：（n-1）＋（n-2）+（n-3）＋??＋3＋2+1　　　　　　　　　　11.数角从一点引出的两条射线组成的图形叫做角。 请你数一数，下图中一共构成了多少个角？　　解：数角与数线段一样，要做到不重复不遗漏，也必须按照一定的程序。 我们从数线段的规律中，得到启示：线段总数与线段上的点数有关；角 的总数与角的边数有关。而且，每两点可联成一条线段，每两条边也可构成 一个角。由此可知：角的总数也是从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的一个加数比总边数少 1。　　本题共有 5 条边，因此，连续的几个自然数中最大的一个是 5-1=4。这 样，图中含角的总数便是：4＋3＋2＋1=10（个）。12.数长方形
长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多个长方形，你能数出它是多 少个吗？　　解：因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数也有关，所 以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素。上图中长有 6 条线段，即：3＋2＋1=6 宽边上有 3 条线段，即：2+1=3 因此，长方形的总个数便有：6×3=18（个）　　如果图中长边上有 m 条线段，宽边上有 n 条线段，那么，这个图中长方 形的总数便是 m·n 个。　　　　　　　　　　　　　　13.数正方形数一数，下图中一共有多少个正方形？解：图中边长为 4 的正方形 1 个 边长为 3 的正方形 4 个边长为 2 的正方形 9 个 边长为 1 的正方形有 16 个 总共有正方形是：解题的规律是：1＋4＋9＋16=30（个）12＋22＋32＋42=1+4＋9＋16=30（个）。14.数三角形　　数三角形比数长方形、正方形显得复杂。随着构图形式的变化，难度也 更大。（1）下图中共有多少个三角形？解：我们把图中最短的线段称为“一个单位长度”，这样按序数下去：①以一个单位长度为边的三角形有：正 6 个，倒 3 个，共 9 个。②以两个单位长度为边的三角形有 3 个。③以三个单位长度为边的三角形有 1 个。 全图总共有 9+3+1=13 个三角形。（2）数数下图共有多少个三角形？解：①AN 边线段的总数有：6＋5＋4＋3＋2＋1=6×（6＋1）÷2=21（条）②以 21 条线段各为一边可构成三角形：21×2=42（个）③以 AC 为一边可构成三角形有 6 个。④图中的三角形总数有：42＋6-48（个）（3）下面的正方形中，共有多少个三角形？解：①以正方形一边为三角形的共有 4 个。②以正方形对角线为一边的三角形共有 4 个。　　③以正方形边长古为一边的三角形共有 8 个。 图形中三角形的总数是：4＋4＋8=16（个）15、巧算方中圆把一个边长 8 厘米的正方形，剪成一个最大的圆。 你知道剪去部分与正方形面积间存在什么样的特定关系？ 解：我们可以先算出它们的面积：正方形的面积是：　　　　　　　　　　8×8=64（平方厘米） 圆的直径与正方形边长相等，所以圆面积是：（8÷2）2×3.14=50.24（平方厘米）剪去部分面积是：　　　　　　　　64-50.24=13.76（平方厘米） 剪去部分与正方形面积比较：13.76÷64=0.215=21.5％　　21.5％是个固定的数。不论正方形大小，只要在其中剪一个最大的圆， 剪去部分的面积都是正方形面积的 21.5％！这种特定的关系，可以证明如下：设正方形边长为 a，则剪去部分的面积是：a
? ?· ??a 22
? a a? 2? 4 4剪去部分的面积占正方形面积的百分比是：a2 ?a 2?a2
? a 2 ·2 ? ? ?a
? 44 a 2 a 2?? 1?≈1 ? 0.785 ? 21.5%4　　利用这个数据可以简化运算。如，求上图中阴影部分面积，可以直接运 算：4×4×21.5％=3.44（平方厘米）16.巧算圆中方在一个直径 8 厘米的圆内剪一个最大的正方形。你知道剪去的部分与正方形面积间存在怎样的特定关系？解：先求出正方形和圆的面积。 圆的面积是：
（8÷2）2×3.14=50.24（平方厘米） 正方形的面积是两个以直径为底、半径为高的三角形面积的和：88× ÷2 ×2 = 32（平方厘米）2剪去部分面积是：　　　　　　　　50.24-32=18.24（平方厘米） 剪去部分与正方形面积比较：18.24÷32=0.57=57％　　57％是一个固定的数，不论圆的大小，只要在其中剪一个最大的正方形， 剪掉部分面积都是正方形面积的 57％。这种特定的关系，也可以证明如下：设圆的半径为 r，则剪去部分面积是：πr2-2r·r÷2×2=πr2-2r2剪去部分占正方形面积的百分比是：?r 2
? 2r 22r 2(? ? 2)r 2? 2r 2? ? 2?21.14?2? 57%利用这个特定关系，可直接求上图阴影部分面积：（4×4/2÷2×2）×57％=8×57％=4.56（平方厘米）17.圆环的面积一个垫圈，外圆半径是 4 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少？解：求圆环的面积，只要用外圆的面积减去内圆的面积，便可求得。 我们还可推导出更简便的算法：设大圆半径为 R，小圆半径为 r，圆环的面积是：
πR2-πr2=π（R2-r2）=π（R+r）（R-r） 按照这个公式，上述圆环的面积是：3.14×（4+3）×（4-3）=3.14×7　　　　　　　=21.98（平方厘米） 如果把圆环剪开、伸直，则近似于梯形，上底是内圆周长，下底是外圆周长，梯形的高恰似两半径的差，因此，还可以把圆环当作梯形来计算：（2πr+2πR）×（R-r）÷2=2π×（R+r）×（R-r）÷2　　　　　　=π×（R+r）×（R-r） 按照这个公式，上题也可以解为：3.14×（4+3）×（4-3）=3.14×7=21.98（平方厘米）18.方内柱
一个棱长为 4 分米的正方体木料，将它削成一个最大的圆柱体，削去的 部分与正方体的体积间存在怎样的特定关系？解：设正方体棱长为 a，则正方体的体积为：a·a·a=a3圆柱的体积为：π（ a ）2 ·a =2?a 3πa34? ?削去的部分的体积是：a3
? a 3·4 4削去部分体积与正方体体积比较：? a 3·?1? ?? 4 ?a3 ·?
? ? ?? 4 ?a3?? 1 ? ? 1 ? 0.785 ? 21.5%421.5％是个固定的数，不论正方体大小，只要把它削成最大的圆柱体，那么削去部分的体积总是占正方体体积的 21.5％，由此也可知圆柱的体积是 正方体的 78.5％。据此，上题可解为：　　　　　43×21.5％=64×0.215=13.76（立方厘米） 即削去了 13.76 立方厘米。削成的圆柱体积便是：43×（1-21.5％）=64×0.785=50.24（立方厘米）19.柱内方　　一个高与底面直径相等的圆柱，将它削成一个最大的长方体，削去的部 分与长方体的体积存在怎样的特定关系？解：设圆柱体的底面半径为 r，则高为 2r。 圆柱体的体积为：　　　　　　　　　　　　　　V 柱=πr2·2r=2πr3削成的长方体底面为两个相等的直 角三角形，所以它的体积为：V 正方体=（2r·r÷2×2）×2r=2r2·2r=4r3削去的部分体积是：2πr3-4r3　　　　　　　　　=r3（2π-4） 削去部分的体积占长方体体积的百分比是：r 3 （2π - 4）4r 32π - 4=42.28=4= 0.57= 57％这种比值关系也是一个固定的数。20.比较
下面的三个图（单位：厘米）你仅用肉眼观察能否断定它们的体积哪个 最大？哪个最小？而后再计算一下，验证你的观察是否正确？　　解：凭肉眼看很可能认为圆锥最大，矮圆柱最小。但这不科学。通过计 算再比较看是什么结果？圆锥的体积是：13高圆柱的体积是：矮圆柱的体积是：π×2
2 ×6 = 8π（立方厘米）π×12×8=8π（立方厘米）π×32×1=9π（立方厘米）瞧，实际矮圆柱的体积最大，高圆柱的体积与圆锥体积相等。21.哪条线长
下面的两条线段一竖一横，请你认真地观察一下，能猜出哪条线更长？ 再用直尺量，验证一下你的观察是否正确？　　解：大多数同学认为竖线较长。可是当你实际量后便发觉，眼睛并不十 分可靠。因为在某种情况下常常会使人产生错觉。　　22.转出奇妙　　在一张厚纸上，从同一点出发画两条线段，构成了一个角。然后在纸的 中心穿进一根大头针，扭动几下别针，使针孔变得大些。而后，一手捏住别 针，一手敲动厚纸，使它快速旋转，这时，一种奇妙的现象便出现了：你画 的角不见了，却出现了另一个你不曾画的图形。
你知道角变成了什么吗？如果从同一点画出两根、三根线段，你又看到 了什么？　　解：在纸片快速旋转时，视觉产生了错误，结果看到的是一个圆。若画 出两根、三根线段，将出现两个、三个同心圆。　　23. 阴影移位　　在一个面积为 1/4 圆的扇形中，以它的两条半径为直径，在扇形内部作 两个半圆，求阴影部分的面积（单位：厘米）。　　解：这题难在扇内两个半圆重叠部分的阴影面积难求。但当认真观察 后，作一些辅助线段，把阴影部分移动一下位置，求解便十分容易了。　　1 1×π×4 2
-4 2×4×4= 4π - 8= 12.56 - 8= 4.56（平方厘米）24.花瓣面积
以正方形的四条边为直径，在正方形内部作四个半圆，阴影部分恰如花 瓣，求它的面积（单位：厘米）。　　解：若将花瓣图等分成四块，则每一块含有一个花瓣，一个花瓣的面积 是：（ 1 ×π×22
- 1 ×2 2 ）×24 2= （π - 2）×2= 2π - 4= 2.28（平方厘米）4 个花瓣的总面积是：2.28×4=9.12（平方厘米）25.阴影大圆的直径为 8 厘米，求图中阴影部分的面积。　　解：阴影构成的图案很美丽。每一块都是 1/4 个大圆减去半个小圆。如 果把它们移在大圆直径的一侧，则阴影部分恰是半个大圆减去一个小圆。即1 ×π×（8÷2）2
- π×（8÷2÷2）22= 8π - 4π= 4π= 12.56（平方厘米）26.六角星面积　　下面左图是一个六角星。已知相邻两角顶间距离是 8 厘米，不相邻的两 角顶间距离是 15.6 厘米，你能算出这个六角星的面积吗？　　解：初看起来，求这个六角星的面积似乎很难。但是认真观察后，却十 分简单：　　如果将其中相对的两个角割下，补入另两个凹陷的地方，整个图形，便 恰是一个长方形。这个长方形的长是 15.6 厘米，宽是 8 厘米，它的面积是：15.6×8=124.8（平方厘米）27.巧算阴影1下图大圆的半径为8厘米，求阴影部分面积，一般用大圆的 减去小4圆的 1 ，可是认真分析一下却有更巧妙的解法。2你能看得出来吗？解：从图中可见，小圆的半径正好是大圆半径的 1 。所以小圆的面2积与大圆面积的比是：-83.14×（ ）2 ∶3.14×822= 3.14×42 ∶3.14×82= 1∶41也即，小圆面积是大圆面积的 。半个小圆面积，也就是大圆面积的41 × 1
= 14 2 8图中阴影部分面积，即为：1 大圆面积 - 14 8因此，可以直接列式为：1大圆面积 =1 大圆面积83.14 ×8 2 ×8= 25.12 （平方厘米）28.巧解半环求下图半环面积，一般解法是，用外圆面积的 1 减去内圆面积的 1 。2 2也可以不必先求出两个圆面积，只利用直径来计算，你会吗？解：因为一般解法内外直径都需除以 2 后再平方，即（7÷2）2×π÷2-（5÷2）2×π÷2，故可以都不除以 2 用直径直接计算，但直径平方比半径平方扩大了 4 倍需将结果再乘以 1 。41 13.14 ×（7 2 - 5 2 ）× ×2 4= 9.42（平方厘米）29.一片树叶
已知正方形的面积为 400 平方厘米，以边长为半径，以相对的两个顶点 为圆心，在正方形内画弧（见图），阴影部分恰像一片树叶，求它的面积。　　解：根据正方形面积是 400 平方厘米，可知正方形边长为 20 厘米，若 把上图重新移接，可变成右图，这样求阴影部分的面积就变成求扇形 ABC 面 积减去等腰三角形 ABC 面积之差的 2 倍了。　　也可以这么想：图中圆心角是 90°的扇形有两个，而这两个扇形又互相 重叠，所以这两个扇形面积之和与正方形相比，恰好多一个阴影部分的面积。 这样，求阴影面积便可简单多了。解 1：? 9020 ? 20?? 3.14 ? 202
? ?? ? 2? 360 2 ?= （314 - 200）×2= 114×2= 228（平方厘米）解 2：903.14×202 × ×2 - 20×20360= 3.14×2 - 400= 228（平方厘米）30.玲玲的积木　　玲玲在搭积木时摆出了下面的图形，已知图中积木的直径为 8 厘米，问 阴影部分面积是多少？
解：积木中的阴影部分面积是半圆的面积减去一个三角形的面积，再加 上长方形面积与半圆面积的差。半径已经知道，那么长方形的长、宽，三角 形的底、高就都知道了，所以阴影部分面积可求。　　将图中沿图的直径对折，使上半圆与下半圆重合，阴影部分的面积就是 两个完全相等的三角形面积之和了，而三角形的底、高都是这圆的半径，这 样求阴影部分面积就更简单了。解法 1：8 13.14×（ ）2 ×2 28- 8× ÷2 + 8×28 8 1- 3.14×（ ）2 ×2 2 2= 25.12 - 16 + 32 - 25.12= 16（平方厘米）解法 2：8 8× ÷2×22 2= 16÷2×2= 16（平方厘米）答：玲玲的积木中的阴影面积为 16 平方厘米。31.拼成的三角形　　谷小倩把两个三角尺摆成了如下的图形，已知上面的△ABC 面积为 12 平 方厘米，一条边是 5 厘米，另一个三角形的底边是 8 厘米，求新拼成的大三 角形 ABD 面积（AC 与 BD 平行）。你会算吗？
解：因为 AC 和 BD 平行，那么三角形 ABC 和三角形 ABD 高相等，所以三 角形 ABD 面积就是 BD 与三角形 ABC 的高的积的一半（根据三角形面积公式）。　　还可以这么思考，因为 AC 与 BD 平行，三角形 ABC 与三角形 ABD 高相等， 那么它们底的比也就是面积的比。即 5∶8，也即三角形 ABC 的面积是三角形ABD的面积的 5 。8解法 1：先求出三角形 ABC 的高，也就是三角形 ABD 的高：12×2÷5=4.8（厘米） 再求出三角形 ABD 的面积：8×4.8÷2=19.2（平方厘米）解法 2：512 ÷8= 19.2 （平方厘米）答：新围成的大三角形面积为 19.2 平方厘米32.阴影的妙算已知图中每个小正方形的边长都是 2 厘米，求阴影部分的面积。
解：要求出图中阴影部分的面积，可先算出整个长方形的面积，再减去 三个三角形和一个小正方形的面积之和便可。　　如果将下半部阴影部分割下来，如箭头所表示的那样，拼到上半部分， 那么它正好可以拼成四个小正方形。这样，只需要求出四个小正方形面积便 是原来阴影部分的面积了。解法 1：1（2 + 2）×（2×4） - （2 + 2）×2× ×3 - 2×22= 4×8 - 4×2× 1 ×3 - 42= 32 - 12 - 4= 16（平方厘米）解法 2：22×4=16（平方厘米） 答：图中的阴影部分面积为 16 平方厘米。33.三个弧长　　一个等边三角形 ABC 的边长为 6 厘米，其中 D、E、F 分别为各边的中点。 如果分别以 A、B、C 为圆心，以 AD、BE、CF 为半径画弧，那么三个弧围成 的图形的周长是多少厘米？解：根据题意可画出下图，图中阴影部分的周长恰是三个扇形的孤长。　　因为每个扇形的圆心角都是 60°，而且它们的半径又相等，所以，如果 把三个扇形拼起来，就能组成一个直径为 6 厘米的半圆形，这个半圆形的弧 长实际就是阴影部分的周长。经过这样一组合，问题便简化多了。解法 1：62 ? 3.14 ?
? 60 ? 3 = 9.42（厘米）360解法 2：6×3.14÷2=9.42（厘米）答：这个阴影部分的周长是 9.42 厘米。　　　　34.三用塞子下面的三个图，是三个孔眼的形状，它们之间的关系是：圆的直径=正方形边长=等腰三角形的高。 根据需要，现在要制一个“三用塞子”，用它来塞任何一个孔眼都能塞进去。 这个三用塞子能制出吗？解：这个塞子必须具备圆、正方形、等腰三角形三种特点才能符合要求。 根据这个特点，先做一个高等于圆的直径的圆柱体。这个圆柱便具备了圆和正方形两个特征，即，顶视图是一个圆，侧视图是一个正方形。再将这个圆柱削成侧视为等腰三角形，便成功了。 制法如下：选取 C 和 C′，使它是弧 A′B′的中点，这样，A′CB′弧便等于 A′C′B′弧。将 ABC 和 ABC′两块削去，剩余部分的侧视图，便是个等腰三角形 了。
35.苏格拉底的花园苏格拉底是古希腊的哲学家。 他知道自己将不久于人世，便想将自己心爱的花园分给四个得意门生。 花园是块梯形，里面生长着四株美丽的月桂树。 怎样把它分成大小相等、形状相同的四块而且每块地里都长有一株月桂树呢？这个花园恰是个直角梯形，长腰等于下底，短腰是上底的 2 倍。如图： 后来，苏格拉底根据花园地形的特点，在他去世前成功地分好了。 他是怎么分割的呢？解：苏格拉底的分法如下图：
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