已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)/x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+1/2n）an+1/n2（n∈N+），求证：an＜e又11/4（e为自然对数的底数）．-乐乐题库
& 函数在某点取得极值的条件知识点 & “已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”习题详情
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I&）求g（x）=f(x+1)x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II&）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+12n）an+1n2（n∈N+），求证：an＜e114（e为自然对数的底数）．　&
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-绵阳二模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+12n）an+1n2说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+12n）an+1n2放大得到lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12n
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．则有g(x)=f(x+1)x+1-x=(x+1)ln(x+1)x+1-x=ln（x+1）-x，此函数的定义域为（-1，+∞）．g′(x)=1x+1′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），故g（x）的极大值是g（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，所以lnx0+1=f(x2)-f(x1)x2-x10-lnx2=f(x2)-f(x1)x2-x12-1=x2lnx2-x1lnx1x2-x1-lnx2-1=x1lnx2-x1lnx1x2-x1-1=lnx2x1x2x1-1-1，令x2x1=t（t＞1），则h(t)=lntt-1=ln-t+1t-1，因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)=1t0＜lnx2，故x0＜x2．同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．（Ⅲ）证明：因为a1=1，an+1=(1+12nn+1n2n，所以{an}单调递增，an≥1．于是an+1=(1+12nn+1n2n+1n2n=(1+12n+1n2)an，所以lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12nk-lnak-1＜12k-1n-lna1＜(121+[112+122+…+1(n-1)2]＜12(1-12n-1)1-12+[1+14+12×3+13×4+…+1(n-2)(n-1)]=(1-12n-1)+[1+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n-2-1n-1)]=(1-12n-1)+(1+14+12-1n-1)=114-12n-1-1n-1＜114．即lnan＜lna1+114n＜e114．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”主要考察你对“函数在某点取得极值的条件”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件．
与“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”相似的题目：
已知函数f（x）=13ax3+bx2-ax+20（a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值2，求a，b的值；（Ⅱ）当2b=1-a2时，讨论函数f（x）的单调性．&&&&
已知f′（x）g（x）-f（x）g′（x）=x2（1-x），则函数f(x)g(x)&&&&有极大值点1，极小值点0有极大值点0，极小值点1有极大值点1，无极小值点有极小值点0，无极大值点
已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=12bx2-2x+2，a，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．&&&&
“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）&&&&
2设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是&&&&
3若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是&&&&
该知识点易错题
1已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（I）求m与n的关系表达式；（II）求f（x）的单调区间．
2已知函数f（x）=（1-ax）ex，若同时满足条件：①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是&&&&
3函数f（x）=13x3-x2+ax-1有极值点，则a的取值范围是&&&&
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解析质量好解析质量中解析质量差设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：；．专题：．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f′（x）=（xlnx）′+[（1-x）ln（1-x）]′=lnx-ln（1-x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日&推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差求f(x)=1/xlnx增区间_百度作业帮
求f(x)=1/xlnx增区间
定义域 x>0f'(x)=-(xlnx)'/(xlnx)²>0(xlnx)'
1.函数f(x)=3+xlnx的单调增区间为？ 2.已知曲线C：y=x^3+2和点P(1,求导数，判断其大于零的区域； 2.求导数，设交点为(x,x^3+2)，利用
f‘(x)=-1/(x²lnx)-1/(x²ln²x)=-(lnx+1)/(x²ln²x),(x>0)令f'(x)=0得：x=1/e∴当x∈(0,1/e)f'(x)>0f(x)增已知函数f（x）=x
2-2，g（x）=xlnx，，
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）试判断方程$ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k=0$有几个实根．
试题及解析
学段：高中
学科：数学
已知函数f（x）=x
2-2，g（x）=xlnx，，
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）试判断方程$ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k=0$有几个实根．
点击隐藏答案解析:
考查学生利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力，以及函数与方程的综合运用能力．
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