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2014高三数学总复习9-7用向量方法证明平行与垂直(理)_74张(人教A版)_2
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【高考调研】2014届高考数学总复习 8-7 空间向量的应用一平行与垂直配套课件 理 新人教A版
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【高考调研】2014届高考数学总复习 8-7 空间向量的应
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& 2015届高三数学（文）一轮课时作业：8.5 空间中的垂直关系与空间直角坐标系
2015届高三数学（文）一轮课时作业：8.5 空间中的垂直关系与空间直角坐标系
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资料类型：专题资料
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资料概述与简介
第5讲　空间中的垂直关系与空间直角坐标系
1.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是(　　)
A.若lα,α⊥β,则l?β
B.若lα,α∥β,则lβ
C.若lα,α∥β,则l?β
D.若lα,α⊥β,则lβ
解析:对于选项A,C,可能lβ,因此A,C均不正确.对于选项D,可能lβ或l?β,因此D不正确.故选B.
2.一直线和平面α所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是(　　)
解析:由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角,它为.
3.已知A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是(　　)
A.(4,8,2) B.(4,2,8)
C. (4,2,1) D.(2,4,1)
解析:线段 AB的中点M的坐标是,即M(-2,-4,-1),
M关于原点对称的点为(2,4,1).
4.(2013·山东东营一模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
解析:由BC1AC,BA⊥AC,得AC平面ABC1,所以平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.
5.三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A-PB-C的大小为(　　)
A.90° B. 30°
C.45° D. 60°
解析:设PB的中点为M,连接AM,CM,则AMPB,CM⊥PB,∠AMC是二面角A-PB-C的平面角.
因为由已知易知AM=CM=a,
所以△AMC是正三角形,
即AMC=60°.故选D.
6.设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“XZ且YZ=>X∥Y”为真命题的是(　　)
①X,Y,Z是直线　②X,Y是直线,Z是平面　③Z是直线,X,Y是平面　④X,Y,Z是平面
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
解析:因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形②③可使“XZ且YZ=>X∥Y”为真命题.
7.如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,△ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BCPC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　　)
A.①② B.①②③
C.① D.②③
解析:对于①,PA⊥平面ABC,PA⊥BC.
∵AB为O的直径,BC⊥AC.
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC,
对于②,点M为线段PB的中点,
∵PA?平面PAC,OM?平面PAC,
OM∥平面PAC;
对于③,由①知BC平面PAC,
线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.
因此①②③都正确.
8.空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为　　　　　(填是否共面).
答案:不共面
解析:在空间直角坐标系中作图分析,知A,B,C,D四点不共面.
9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
答案:DMPC(答案不唯一)
解析:由题意可知BDPC,
∴当DMPC时,即有PC平面MBD.
又PC?平面PCD,
平面MBD平面PCD.
10.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变;
②A1P平面ACD1;
④平面PDB1平面ACD1.
其中正确的命题序号是　　　　.
答案:①②④
解析:连接BD交AC于点O,
连接DC1交D1C于点O1,
连接OO1,则OO1BC1.
而BC1平面AD1C,即动点P到平面AD1C的距离不变,
故三棱锥P-AD1C的体积不变.
又,∴①正确.
平面A1C1B平面AD1C,A1P?平面A1C1B,
A1P∥平面ACD1,②正确.
由于DB不垂直于BC1,显然③不正确.
DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,
∴DB1⊥平面AD1C.
又DB1?平面PDB1,
平面PDB1平面ACD1,④正确.
11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.
(1)求证:A1E平面ADE;
(2)求三棱锥A1-ADE的体积.
解:(1)证明:由勾股定理知:
则A1A2=A1E2+AE2,
∵AD⊥平面AA1B1B,A1E?平面AA1B1B,
又ADAE=A,∴A1E⊥平面ADE.
(2)=1,∴··AD=×1×1=.
12.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.
(1)求证:C1O平面AB1D1;
(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.
:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中,C1O1AO,C1O1=AO,
∴四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1OAO1.
∵C1O?平面AB1D1,AO1?平面AB1D1,
C1O∥平面AB1D1.
(2)在直平行六面体AC1中,A1A平面A1B1C1D1,
A1A⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1为菱形,B1D1⊥A1C1.
∵A1C1∩AA1=A1,A1C1?平面ACC1A1,AA1?平面ACC1A1,∴B1D1⊥平面ACC1A1.
∵B1D1?平面AB1D1,
∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
13.(2013·江西,文19)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:BE平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.
在Rt△BFE中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,
由BB1平面ABCD得BEBB1,
所以BE平面BB1C1C.
(2)解:三棱锥EA1B1C1的体积V=AA1·.
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3.
同理,EC1==3,
设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1A1C1E的体积V=·d·d,
从而d=,d=.
14.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,
CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(2)证明CD平面ABF;
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
解:(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FAED,∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,CE==3,于是cosCED=.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明:过点B作BGCD,交AD于点G,则BGA=∠CDA=45°.
由BAD=45°,可得BGAB.从而CDAB.又CDFA,FA∩AB=A,所以CD平面ABF.
(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GNEF.
因为BCAD,所以BCEF.过点N作NMEF,交BC于M,则GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.
从而BCGM.由已知,可得GM=.
由NGFA,FA⊥GM,得NGGM.
因此,在Rt△NGM中,tanGNM=.
故二面角B-EF-A的正切值为.
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利用勾股定理的逆定理证明
勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于 ，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、
利用“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。( 网：www.sanwen.net )
3、
利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
4、
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、
利用菱形的对角线互相垂直证明
菱形的对角线互相垂直。
6、
利用全等三角形证明
主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.
赞同
35
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1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法 两条直线的方向向量数量积为0
2斜率 两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
Ⅰ.平行关系：
线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系：
线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法 两条直线的方向向量数量积为0
2斜率 两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
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高三几何大题 建立空间直角坐标系需要证明么例如 设底面为A 两个侧面为B.C 需要证明这三个平面互相垂直么 还是所有题都上来直接建系 不用证明
啥意思?你直接说以哪里为原点,以什么方向、什么方向、什么方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系就好了,不过之前最好先说明你选定的上述三个方向的确是两两垂直的关系..不然么,}