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稳态误差分析09551
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扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施(第10讲)21
第10讲；3.6线性系统的稳态误差计算3.6.1稳态误差的；3.6.3扰动作用下的稳态误差；以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差；图3-23控制系统；N(s)；C(s)；MN(s)?；G2(s)C(s)；(3-71)G(s)?G1(s)G2(s)?；N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)；由扰动产生的输出为；Cn(s)?MN(s)N(s)?；G2(s)
第10讲3.6 线性系统的稳态误差计算 3.6.1 稳态误差的定义 3.6.2 系统类型3.6.3 扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统，图中R(s)为系统的参考输入，N(s)为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为
（控制对象控制器） 图3-23 控制系统N(s)C(s) MN(s)?G2(s)C(s)(3-71)G(s)?G1(s)G2(s) ?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)由扰动产生的输出为Cn(s)?MN(s)N(s)?G2(s)N(s)(3-72)1?G1(s)G2(s)H(s)系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为En(s)?0?Cn(s)??G2(s)N(s)(3-73)1?G1(s)G2(s)H(s)根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为essn?limsEn(s)??s?0sG2(s)N(s)
(3-74)1?G1(s)G2(s)H(s)K1W1(s)s?1若令图3-23中的G1(s)?,G2(s)?K2W2(s)s?2(3-75)为讨论方便起见假设H(s)?1则系统的开环传递函数为G(s)?G1(s)G2(s)?K1W1(s)K2W2(s)s?(3-76)???1??2,W1(0)?W2(0)?1。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得En(s)??s?1K2W2(s)s?K1K2W1(s)W2(s)?N(s)
(3-77)下面讨论??0,1和2时系统的扰动稳态误差。 1. 0型系统（??0）当扰动为一阶跃信号，即n(t)?N0,N(s)?N0。将式(3-75)代入式(3-74)，求得 sessn??K2N0(3-78)1?K1K2在一般情况下，由于K1K2??1，则式 (3-78) 可近似表示为essn?N0K1上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前的正向传递函数系数近似成反比。 2. I型系统（??1）系统有两种可能的组合：??1?1,?2?0；??1?0,?2?1。显然，这两种不同的组合，对于参考输入来说，它们都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。 ??1?1,?2?0。当扰动为一阶跃信号，即n(t)?N0,N(s)?N0，则由式 (3-74)得 sessn?limsEn(s)??s?0N0ssK2W2(s)?0s?K1K2W1(s)W2(s)sN0s2当扰动为一斜坡信号，即n(t)?N0t,N(s)?，相应的稳态误差为essn?limsEn(s)??s?0N0N0ssK2W2(s)??2s?K1K2W1(s)W2(s)sK1N0s??1?0,?2?1。当扰动为一阶跃信号，即n(t)?N0,N(s)?essn?limsEn(s)??s?0N0NsK2W2(s)??0s?K1K2W1(s)W2(s)sK1N0s2当扰动为一斜坡信号，即n(t)?N0t,N(s)?，相应的稳态误差为essnN0sK2W2(s)?limsEn(s)???? 2s?0s?K1K2W1(s)W2(s)s由上述可知，扰动稳态误差只与作用点前的G1(s)结构和参数有关。如G1(s)中的?1?1时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与G1(s)中的增益K1成反比。至于扰动作用点后的G2(s)，其增益K2的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。 3. II型系统（??2）系统有三种可能的组合：??1?2,?2?0；??1?1,?2?1；??1?0,?2?2。 根据上述的结论可知，按第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为N0。系统的第三种组合具有0型系统的功K1能，其阶跃扰动产生的稳态误差为N0，斜坡扰动引起的误差为?。 K13.6.4 减小或消除稳态误差的措施由前面的讨论可知，提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用，就能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的。 （1） 对扰动进行补偿图3-26为对扰动进行补偿的系统方块图。系统除了原有的反馈通道外，还增加了一个由扰动通过前馈（补偿）装置产生的控制作用，旨在补偿由扰动对系统产生的影响。图中Gn(s)为待求的前馈控制装置的传递函数；N(s)为扰动作用，且可进行测量。 令R(s)?0，由图3-27求得扰动引系统的输出为图3-26 按扰动补偿的复合控制系统 GnC(s)p1??G2(s)?1?1?2?1??1?G1(s)G2(s) p2?Gn(s)G1(s)G2(s)L1??G1(s)G2(s)C(s)p1?1?p2?2G2(s)[Gn(s)G1(s)?1]??N(s)?1?G1(s)G2(s)梅逊公式图3-27 与图3-26对应的信号流图Cn(s)?G2(s)[Gn(s)G1(s)?1]N(s)
(3-79)1?G1(s)G2(s)由式(3-79)可知，引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令式(3-79)等号右边的分子为零，即有 G2(s)[Gn(s)G1(s)?1]?0[分析]Gn(s)?1(3-80) G1(s)这是对扰动进行全补偿的条件。由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(3-80) 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。 （2）按输入进行补偿图3-28为对输入进行补偿的系统方块图。图中Gr(s)为待求前馈装置的传递函数。由于Gr(s)设置在系统闭环的外面，因而不会影响系统的稳定性。在设计时，一般先设计系统的闭环部分，使其有良好的动态性能；然后再设计前馈装置Gr(s)，以提高系统在参考输入作用下的稳态精度。 图3-28 按输入补偿的复合控制系统由图(3-28)得C(s)?[E(s)?Gr(s)R(s)]G(s) (3-81)由于系统的误差表达式E(s)?R(s)?C(s)
(3-82)C(s)?[1?Gr(s)]G(s)R(s)
(3-83)1?G?s)如果选择前馈装置的传递函数Gr(s)?1(3-84)
G(s)则式(3-83)变为C(s)?R(s)
(3-85)表明在式(3-84)成立的条件下，系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性。为了说明 前馈补偿装置能够完全消除误差的物理意义，将式(3-81)代入式(3-82)，可得E(s)?1?Gr(s)G(s)R(s)
(3-86)1?G?s)上式表明，在式(3-84)成立的条件下，恒有E(s)?0；前馈补偿装置Gr(s)的存在，相当于在系统中增加了一个输入信号Gr(s)R(s)，其产生的误差信号与原输入信号R(s)产生的误差信号相比，大小相等而方向相反。故式(3-84)称为输入信号的误差全补偿条件。 由于G(s)一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、行业资料、专业论文、高等教育、中学教育、扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施(第10讲)21等内容。　
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第四章 连续时间控制系统的稳定性与稳态误差
稳定性、是否存在稳态误差及其大小、能控性、能观性和参数灵敏性是反馈控制系统固 有的五个重要性质。 其中稳定性是控制系统分析与设计中最重要的问题， 也是对系统最起码 的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的 波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各 物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来 的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本 任务之一。 本章介绍线性定常控制系统的稳定性及稳态性能， 主要介绍线性系统稳定性的概 念、系统稳定的充分必要条件以及判别系统稳定性的方法。稳态性能是根据系统在阶跃、斜 坡或抛物线等典型信号输入下的稳态误差大小来衡量的， 因此本章还将介绍误差的概念、 稳 态误差的计算方法、控制系统的“型”别及稳态误差系数等。
一、稳定性
劳斯稳定判据
稳定性是自动控制系统的重要性能指标之一。任何控制系统在扰动的作用下都会偏离 平衡状态，产生偏差。所谓控制系统的稳定性，就是指当扰动消失后，系统由初始偏差状态 恢复到平衡状态的性能。 可以通过一个简单的物理系统来说明稳定性的概念。如图 4-1 所示，考虑一个小球在曲 面上的平衡问题，假设小球只能在 x，y 平面内运动。设曲面在 x，y 平面内的方程为
y = (1 - a ) x 2
其中 a 是一个控制参数。a 取不同的值，曲面的形状也不同。当 a 的取值分别为小于 1、大 于 1 和等于 1 时， 小球的初始平衡状态可以有图示的三种基本类型。 如果某一时刻突然施加 一个外力使小球离开原来的位置，观察这个力消失后的情况。当时间足够长后：图(a)中的 小球会在底部做来回滚动运动，最终回到原来的位置，称此平衡状态是稳定的；图(b)中的 小球很快向下滚落，不会回到原来的位置，这种平衡状态是不稳定的；而图(c)中的小球可 能会停留在曲面上的任何位置，称这种情况为临界稳定。
x x (a) 稳定（a1） 图 4-1 平衡状态的稳定性示意图 x (c) 临界稳定（a=1）
平衡状态的稳定性概念可以推广到控制系统。 假设系统具有一个平衡状态， 如果系统受 到有界扰动作用偏离了原平衡状态， 不论扰动引起的初始偏差多大， 系统都能以足够的准确 度恢复到初始平衡状态，称这种系统为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动作用后，
只有当扰动引起的初始偏差小
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