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微积分（大学数学基础教程答案）大学数学基础教程（二）多元函数微积分王宝富 钮海第二章习题解答（下）
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3秒自动关闭窗口第八章 多元函数微分学课件_《高等数学》ppt完整课件_ppt_大学课件预览_高等教育资讯网
《高等数学》ppt完整课件：第八章 多元函数微分学课件
分类： 格式： 日期：日
高数课件重庆大学数理学院教师 吴新生第八章多元函数微分法及其应用开 始退出第一节 多元函数的基本概念返 回第二节 偏导数第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式第六节 微分法在几何上的应用第八节 多元函数的极值及其求法第七节 方向导数与梯度第三节 全微分总习题返 回一,区域四,多元函数的连续性三,多元函数的极限二,多元函数概念第一节 多元函数的基本概念习题第一节 多元函数的基本概念一、区域1.邻域设 是 xOy平面上的一个点,δ 是某一正数,与点 距离小于 δ 的点 的全体称为 的 邻域,记为,即也就是返 回0 0 0(,)P x y0 0 0(,)P x y (,)P x y0P 0(,)UP?00(,) { }U P P P P????220 0 0(,) { (,) ( ) ( ) }U P x y x x y y??? ? ? ? ?下一页2.区域设 E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果存在点 P的某一邻域 使,则称 P为 E的 内点 (图 8-1).如果点集 E的点都是内点，则称 E为 开集,如果点 P的任一邻域内既有属P 于 E的点，也有不属于 E的点，E 则称 P为 E的 边界点 （图 8-2）,设 D是开集,如果对于 D内的图 8-1 任何两点，都可用折线连结起下一页上一页()UP ()U P E?返 回来,而且该折线上的点都属于 D,P 则称开集 D是 连通的,连通的开集称为 区域 或 开区域,E 开区域连同它的边界一起,称为 闭区域,图 8-23.n维空间设 n为取定的一个自然数,我们称有序 n元数组的全体为 n维空间,而每个有序 n元数组 称为 n维空间中的一个点,数 称12(,,,)nx x x12(,,,)nx x x ix返 回下一页上一页为该点的第 i个坐标,n维空间记为,n维空间中两点 及 间的距离规定为n12(,,,)nP x x x 12(,,,)nQ y y y2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( )nnP Q y x y x y x? ? ? ? ? ? ?返 回下一页上一页二、多元函数概念定义 1 设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P=(x,y)∈D,变量 z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称 z是变量 x,y的 二元函数(或点 P的函数 ),记为点集 D称为该函数的 定义域,x,y称为 自变量,z(,) ( )z f x y z f P?? 或例题返 回下一页上一页也称为 因变量,数集称为该函数的 值域,把定义 1中的平面点集 D换成 n维空间内的点集D.则可类似的定义 n元函数,当n=1时,n元函数就是一元函数,当 n≥2 时 n元函数统称为 多元函数,{ (,),(,) }z z f x y x y D??12(,,,)nu f x x x?返 回下一页上一页三、多元函数的极限二元函数 当,,即时的极限,这里 表示点 以任何方式趋于,也就是点 与点 间的距离趋于零，即定义 2 设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义,是 D的内点或边界点如果对于任意给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得对于适合不等式(,)z f x y? 0xx? 0yy?0 0 0(,) (,)P x y P x y?0PP? 0P0P220 0 0( ) ( ) 0P P x x y y? ? ? ?0 0 0(,)P x y?PP返 回下一页上一页的一切点 P(x,y)∈D,都有成立，则称常 A为函数 f(x,y)当,时的极限，记作或这里,220 0 00 ( ) ( )P P x x y y ?? ? ? ? ?(,)f x y A ???0xx? 0yy?0lim (,)xx f x y A? ?(,)f x y A? ( 0)? ?0PP? ?例题返 回下一页上一页四、多元函数的连续性定义 3 设函数 f(x,y)在开区域 (或闭区域 )D内有定义,是 D的内点或边界点且,如果则称函数 f(x,y)在点 连续,若函数 f(x,y)在点 不连续，则称 为函数 f(x,y)的 间短点,函数0PD?0000l i m (,) (,)xxyyf x y f x y???0P222222,0(,)0,xyxyxyf x yxy?????? ?? ?? =00 0 0(,)P x y0 0 0(,)P x y0 0 0(,)P x y返 回下一页上一页当 x→0,y→0 时的极限不存在，所以点 (0,0)是该函数的一个 间断点,函数在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线,性质 1(最大值和最小值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上一定有最大值和最小值,在 D上至少有一点 及一点,使得 为最大值而 为最小值，即对于一切 P∈D,有221sin1z xy? ??22 1xy??1P 2P 1()fP2()fP返 回下一页上一页性质 2(介值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。如果 μ 是函数在 D上的最小值 m和最大值 M之间的一个数，则在 D上至少有一点 Q，使得 f(Q)=μ.*性质 3(一致连续性定理 ) 在有界闭区域上的多元连续函数必定在 D上一致连续,若 f(P)在有界闭区域 D上连续，那么对于任意给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得对于 D上的21( ) ( ) ( )f P f P f P??返 回下一页上一页任意二点,只要当 时，都有成立,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即12( ) ( )f P f P ???0P00li m ( ) ( )PP f P f P? ?例题12,PP 12PP ??返 回上一页一,偏导数的定义及其计算方法二,高阶偏导数第二节 偏导数习题 返 回一、偏导数的定义及其计算方法定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当 y固定在 而 x固定在 处有增量 Δx 时，相应地函数有增量如果（ 1）存在，则称此极限为函数 在点处对 x的偏导数,记作(,)z f x y? 00(,)xy0y 0x0 0 0 0(,) (,)f x x y f x y? ? ?0 0 0 00(,) (,)l i mxf x x y f x yx??? ? ??(,)z f x y?00(,)xy返 回下一页例如，极限 (1)可以表示为(2)类似地,函数 在点 对 y的偏导数定义为0000000,0,,( )x x x xx x x xyyy y y yzfz f x yxx??????????或0 0 0 000 0(,) (,)(,) l i mx xf x x y f x yf x yx??? ? ???(,)z f x y? 00(,)xy返 回下一页上一页(3)记作如果函数 在区域 D内每一点 (x,y)处对 x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x,y函数,它就称为函数 对自变量 x的偏导函数,记作0 0 0 00(,) (,)l i mxf x x y f x yy??? ? ??0000000,0,,( )x x x xx x x xyyy y y yzfz f x yxx??????????或(,)z f x y?(,)z f x y?返 回下一页上一页类似的，可以定义函数 z=f(x,y)对自变量 y的偏导函数，记作求 时只要把 y暂时看作常量对 x求导数；求时只要把暂 x时看作常量对 y求导数,,,(,)xxzf z f x yxx???? 或,,(,)yyzf z f x yyy????或fx??fy??例题返 回下一页上一页图 8-6xyz0x0yO0MxTyT0(,)z f x y?0(,)z f x y?返 回下一页上一页二、高阶偏导数设函数 z=f(x,y)在区域 D内具有偏导数那么在 D内 都是 x,y的函数,如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同下列四个二阶偏导数：222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????(,),(,)xyzzf x y f x yxy????(,) (,)xyf x y f x y、222 (,),(,)x x x yz z z zf x y f x yx x x y x x y? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?????返 回下一页上一页二元函数 z=f(x,y)在点 的偏导数有下述几何意义,设 为曲面 z=f(x,y)上的一点,过 作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为,则导数，即偏导数,就是这曲线在点 处的切线 对 x轴的斜率 (见图 8-6).同样偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线对 y轴的斜率,00(,)xy0 0 0 0 0(,,(,) )M x y f x y0M 0yy?0yy? 0(,)z f x y?00(,)d f x yxxdx ?00(,)xf x y0M 0 xMT00(,)yf x y0xx? 0M0 xMT返 回下一页上一页其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数,同样可得三阶、四阶,···以及 n阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数,定理 如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 及 在 D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????222(,),(,)y x y yz z z zf x y f x yx y y x y y y????? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?????2zyx???2zxy??? 例题例题返 回上一页第三节 全微分及其应用习题下一页 返 回第三节 全微分及其应用二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率,上面两式的左端分别叫做二元函数对 x和对 y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x和对 y的偏微分,设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一(,) (,) (,)xf x x y f x y f x y x? ? ? ? ?(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y? ? ? ? ?(,)P x x y y? ? ? ? ?下一页上一页 返 回点，则称这两点的函数值之差为函数在点 P对应于自变量增量 Δx, Δy 的 全增量,记作 Δz,即定义 如果函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全增量(1)可表示为(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?()z A x B y o ?? ? ? ? ? ?下一页上一页 返 回其中 A,B不依赖于 Δx, Δy 而仅与 x,y有关，，则称函数 z=f(x,y)在点 (x,y)可微分，而 称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)全微分，记作 dz,即(2)如果函数在区域 D内各点处都可微分，那么称这函数 在 D内可微分,下面讨论函数 z=f(x,y)在点 (x,y)可微分的条件,定理 1(必要条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在点22( ) ( )xy? ? ? ? ?A x B y? ? ?d z A x B y? ? ? ?下一页上一页 返 回(x,y)可微分，则该函数在点 (x,y)的偏导数必定存在，且函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全微分为(3)证 设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)可微分,于是对于点 P的某个邻域内的任意点,(2)式总成立,特别当 时 (2)式也应成立，这时,所以 (2)式成为zx??zy??zzd z x yxy??? ? ? ???(,)P x x y y? ? ? ? ?x? ??0y??下一页上一页 返 回上式两边各除以,再令 而极限，就得从而，偏导数 存在，而且等于 A.同样可证=B.所以三式成立,证毕,(,) (,) ( )f x x y f x y A x x?? ? ? ? ? ? ?x? 0x??0(,) (,)l i mxf x x y f x y Ax??? ? ? ??zx??zy??下一页上一页 返 回定理 2(充分条件 ) 如果 z=f(x,y)的偏导数在 (x,y)连续，则函数在该点可微分,证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数 (对于偏导数也如此 )，所以假定偏导数在点 P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思,设点 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量zzxy????、(,)x x y y? ? ? ?(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?下一页上一页 返 回在第一个方括号内的表达式，由于 y+Δy 不变，因而可以看作是 x的一元函数 的增量,于是应用拉格郎日中值定理，得到又依假设,在点 连续，所以上式可写为? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ?(,) (,)f x y y f x y? ? ? ?(,)f x y y??(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?11(,) 0 1xf x x y y x??? ? ? ? ? ? ? ?　( )(,)xf x y (,)xy下一页上一页 返 回(4)其中 为 Δx, Δy 的函数，且当时,.同理可证第二个方括号内的表达式可写为(5)其中 为 Δy 的函数，且当 时,.由 (4),(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量 Δz 可以表示为(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?1(,)xf x y x x?? ? ? ?1? 0,0xy? ? ? ?1 0? ?2(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y y?? ? ? ? ? ? ?2? 0y?? 2 0? ?下一页上一页 返 回容易看出它就是随着 即 而趋于零的,这就证明了 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微分的,12(,) (,)xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ?1212xy?? ???? ? ? ??0,0xy? ? ? ? 0? ?例题上一页 返 回第四节 多元复合函数的求导法则返 回下一页习题第四节 多元复合函数的求导法则定理 如果函数 及 都在点 t可导，函数 z=f(u,v)在对应点 (u,v)具有连续偏导数，则符合函数 在 t可导，切其导数可用下列公式计算：(1)证 设 t获得增量 Δt,这时,的对应增量为 Δu, Δv,由此，函数 z=f(u,v)()ut?? ()vt??? ?( ),( )z f t t???d z z d u z d ud t u d t v d t??????()ut?? ()vt??下一页上一页 返 回相应的获得增量 Δz,根据规定，函数 z=f(u,v)在点 (u,v)具有连续偏导数，于是由第三节公式(6)有这里，当 时,.将上式两边各除以 Δt,得因为当,时,,12zzz u v u vuv ????? ? ? ? ? ? ? ? ???0,0uv? ? ? ? 120,0??? ? ? ?12z z u z v u vt u t v t t t??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0t?? 0,0uv? ? ? ? u dut dt? ??下一页上一页 返 回，所以这就证明符合函数 在点 t可导，且其导数可用公式 (1)计算,证毕,全微分形式不变设函数 z=f(u.v)具有连续偏导数，则有全微分v dvt dt? ??0l i mxz z d u z d vt u d t v d t? ?? ? ???? ? ?? ?( ),( )z f t t???下一页上一页 返 回如果 u,v又是 x,y的函数,且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为zzd z d u d vuv??????(,)u x y?? (,)v x y??? ?(,),(,)z f x y x y???zzdz dx dyxy??????下一页上一页 返 回其中 及 发分别由公式 (4)及 (5)给出,把公式 (4)及 (5)中的 及 带如上式，得zx??zy??zx??zy??z u z v z u z vd z d x d yu x v x u y v y??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?????z u u z v vd x d y d x d yu x y v x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?zzd u d vuv??????下一页上一页 返 回由此可见，无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性,上一页 返 回一,一个方程的情形二,方程组的情形第五节 隐函数的求导公式返 回习题一、一个方程的情况隐函数存在定理 1 设函数 在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，,则方程 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具有连续导数的函数,它满足条件，并有（ 1）(,)F x y00(,)P x y00(,) 0F x y ?00(,) 0yF x y ? 00(,) 0F x y ? 00(,)xy()y f x?00()y f x?xyFdyd x F??返 回下一页公式推导：将方程 所确定的函数代入，得恒等式其左端可以看作是 x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于,且,所以存在 的00(,) 0F x y ? ()y f x?(,( ) ) 0F x f x ?0F F d yx y d x??????yF 00(,) 0yF x y ? 00(,)xy返 回下一页上一页一个邻域，在这个邻域内,于是得如果 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式 (1)的两端看作 x的复合偏导数而再求一次导，即得0yF ?xyFdyd x F??(,)F x y22xxyyFFd y d yd x x F y F d x? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?返 回下一页上一页隐函数存在定理可以判定由方程所确定的二元函数 的存在，以及这个函数的性质。隐函数存在定理 2 设函数 在点的某一邻域内具有连续的偏导数，22x x y y x x x y y y y x xy y yF F F F F F F F FF F F????? ? ? ?????2232x x y x y x y y y xyF F F F F F FF????(,,) 0F x y z ?(,)z f x y?(,,) 0F x y z ?0 0 0(,,)P x y z返 回下一页上一页且,则方程在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件,并有(2)将公式 (2)做如下的推导，由于将上式两端分别对 x和 y求导，应用复合函数求导0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0xF x y z F x y z??(,,) 0F x y z ? 0 0 0(,,)x y z(,)z f x y? 0 0 0(,)z f x y?,,yxzzFFzzx F y F??? ? ? ???(,,(,) ) 0F x y f x y ?返 回下一页上一页法则得因为 连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内,于是得0,0x z y zzzF F F Fxy??? ? ? ?zF 0 0 0(,,) 0zF x y z ?0 0 0(,,)x y z 0zF ?,,yxzzFFzzx F y F??? ? ? ???返 回下一页上一页二、方程组的情况考虑方程组(5)在四个变量中，一般只能有两个变量独立化，因此方程组 (5)就有可能确定两个二元函数,这种情形下我们可以由函数 F,G的性质来断定方程组 (5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质,(,,,) 0(,,,) 0F x y u vG x y u v??? ??返 回下一页上一页隐函数存在定理 3 设 以及在点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又、,且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比(Jacobi)行列式 )：(,,,)F x y u v(,,,)G x y u v 0 0 0 0(,,,)P x y u v0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?(,)(,)FFFG uvJGGuvuv??? ?????????返 回下一页上一页在点 不等于零，则方程组,在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，,它们满足条件,，并有0 0 0 0(,,,)P x y u v0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?0 0 0 0(,,,)x y u v(,)u u x y?(,)v v x y? 0 0 0(,)u u x y?0 0 0(,)v v x y?1 (,)(,)xvxvuvuvFFGGu F GFFx J x uGG??? ? ? ???　　　　返 回下一页上一页(6)1 (,)(,)uxuxuvuvFFGGu F GFFx J u xGG??? ? ? ???　　　　1 (,)(,)yvyvuvuvFFGGu F GFFy J y vGG??? ? ? ???　　　　返 回下一页上一页下面仅就公式 (6)做如下推导,由于1 (,)(,)uyuyuvuvFFGGu F GFFy J u yGG??? ? ? ???　　　　? ?,,(,),(,) 0F x y u x y v x y ?? ?,,(,),(,) 0G x y u x y v x y ?返 回下一页上一页将恒等式两边分别对 x求导，应用复合函数求导法则得这是关于 的线性方程组，由假设可知在点 的一个邻域，系数行列式00x u vx u vuvF F FxxuvG G Gxx???? ? ??? ??????? ? ?? ???,uvxx????0 0 0 0(,,,)P x y u v0uvuvFFJGG??　　返 回下一页上一页从而可解出,得同理，可得,uvxx????1 (,) 1 (,),(,) (,)u F G v F Gx J x v x J u x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 (,) 1 (,),(,) (,)u F G v F Gy J y v y J u y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?返 回上一页一,空间曲线的切线与法平面二,曲面的切平面与法线第六节 微分法在几何上的应用返 回习题一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线 Γ 的参数方程(1)这里假定 (1)式的三个函数都可导,在曲线 Γ 上取对应与 的一点及对应于 的邻近一点.根据解析几何，曲线的割线 的方程是( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ? 　0tt? 0 0 0(,,)M x y z0t t t? ? ?0 0 0(,,)M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?MM?0 0 0x x y y z zxyz? ? ??????返 回下一页当 沿着 Γ 趋于,时割线 的极限位置 就是曲线 Γ 在点 处的 切线 (图 8-7).用 Δt 除上式的各分母，得令 (这 Δt→0),通过对上式取极限，即得图 8-7 曲线在点 处的切线方程M MM?MT MzMM ??MM?0 0 0x x y y z zxyzt t t? ? ??????? ? ?zxyMTM??O返 回下一页上一页这里当要假定 都不能为零,切线的方向向量称为 曲线的切向量,向量就是曲线通过 Γ 在点 处的一个切向量,点通过 而与切线垂直的平面称为曲线 Γ 在0 0 00 0 0( ) ( ) ( )x x y y z zt t t? ? ?? ? ???? ? ?z0 0 0( ) ( ) ( )t t t? ? ?? ? ?、、? ?000( ),( ),( )T t t t? ? ?????MM返 回下一页上一页点 处的法平面，它是通过点 而以 T为法向量的平面，因此这 法平面的方程 为zM 0 0 0(,,)M x y z0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x x t y y t z z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?返 回下一页上一页二、曲面的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程的情形，然后把显式给出的曲面方程 z=f(x,y)作为它的特殊情形,设曲面 Σ 由方程 (9)给出,是曲面 Σ 上的一点，并设函数 的偏导数在该点连续且不同时为零,在曲线 Σ 上，通过点M引一条曲线 Γ( 图 8-8)，假定曲线 Γ 的参数方程为z(,,) 0F x y z ?0 0 0(,,)M x y z(,,)F x y z返 回下一页上一页程为(10)对应于点且,,不全为零，则由 (2)式可得这曲线的切线方程为图 8-8( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ?zzxyOMT??n0tt?0 0 0(,,)M x y z 0()t??0()t?? 0()t??0 0 00 0 0( ) ( ) ( )x x y y z zt t t? ? ?? ? ???? ? ?返 回下一页上一页引入向量则表示 (10)在点 M处的切向量z? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z t F x y z t?????0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z t? ???? ?0( ),( ),( )T t t t? ? ?? ? ??返 回下一页上一页与向量 n垂直,因为曲线 (10)是曲面上通过点 M的任意一条曲线，它们在点 M的切线都与同一个向量 n垂直，所以曲面上通过点 M的一切曲线在点 M的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面 Σ在点 M的 切平面,这 切平面的方程 是(12)通过点 而垂直于切平面 (12)的直线称为曲面在该点的 法线,法线方程 是z0 0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z x x F x y z y y? ? ?0 0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z z z? ? ?0 0 0(,,)M x y z返 回下一页上一页垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,向量就是曲面 Σ 在点 M处的一个法向量,z0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )(,,) (,,) (,,)x y zx x y y z zF x y z F x y z F x y z? ? ???? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z返 回上一页一,方向导数二,梯度第七节 方向导数与梯度返 回习题第七节 方向导数与梯度一、方向导数设函数 z=f(x,y)在 P(x,y)的某一邻域 U(P)内有定义,自点 P引射线,设 x轴正向到射线 的转角为,并设 为 上的另一点 (图 8-9)且,我们考虑函数的增量 与 两点间的距离 的比值,当 沿着趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极l l? (,)P x x y y? ? ? ? ? l()P U P??(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?PP?、22( ) ( )xy? ? ? ? ? P? lP返 回下一页限为函数 f(x,y)在点 P沿方向 的方向导数，记作,即图 8-9ly?O?xy?Px?P?lfl??0(,) (,)l imf f x x y y f x yl ? ??? ? ? ? ? ???返 回下一页上一页定理 如果函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的导数都存在且有其中 为 x轴到方向 的转角,证 根据函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微分的假定，函数的增量可以表达为c o s si nf f fl x y??? ? ???? ? ?? l(,) (,) ( )fff x x y y f x y x y oxy ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???返 回下一页上一页两边各除以,得到所以?(,) (,)f x x y y f x y?? ? ? ? ?()f x f y oxy?? ? ?? ? ? ?? ? ???()c os sinf f oxy??????? ? ???返 回下一页上一页这就证明了方向导数存在且其值为0(,) (,)l im f x x y y f x y? ??? ? ? ? ?c o s sinffxy????????c o s si nf f fl x y??? ? ???? ? ?返 回下一页上一页对于三元函数 u=f(x,y,z)来说，它在空间一点 P(x,y,z)沿着 (设方向 的方向为)的方向导数，同样可以定义为其中,同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那么函数在该点沿着方向 的方向导数l l ? ? ?、、0(,,) (,,)l imf f x x y y z z f x y zl ? ??? ? ? ? ? ? ? ???2 2 2( ) ( ) ( )x y z? ? ? ? ? ? ?c o s,x ????c o s,c o s,yz? ? ? ?? ? ? ?l返 回下一页上一页为c o s c o s c o sf f f fl x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?返 回下一页上一页二、梯度在二元函数的情形，设函数 z=f(x,y)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量这向量称为函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的 梯度,记作,即ffijxy?????g ra d (,)f x yg r a d (,) fff x y i jxy??????返 回下一页上一页函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,由梯度的定义可知，梯度的模为一般来说二元函数 z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面 z=c(c是常数 )所截得的曲线 L的方程为22gra d (,)fff x yxy???????? ???????? ??返 回下一页上一页这条曲线 在 xOy面的投影是一条平面曲线 (图 8-10)，它在 xOy平面直角坐标系中的方程为图 8-10(,)z f x yzc??? ??yO xg ra d (,)f x y1(,)f x y c?(,)f x y c?2(,)f x y c?*LL*L(,)f x y c?返 回下一页上一页对于曲线 上的一切点，已给函数的函数值都是 c，所以我们称平面曲线 为函数 z=f(x,y)的等高线,由于等高线 f(x,y)=c上任一点 P(x,y)处的法线斜率为所以梯度*L11xyxyfdy ffdx f? ? ? ??????????*Lffijxy?????返 回下一页上一页为等高线上点 P处的法向量,因此我们可得梯度与等高线的下述关系：函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的梯度方向与过点 P的等高线 f(x,y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向,对于三元函数来说，函数 u=f(x,y,z)在空间区域 G内具有一阶连续偏导数，则对每一点，都可定出一个向量(,,)P x y z G?返 回下一页上一页这向量称为函数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的 梯度,将它记作,即如果我们引进曲面f f fi j kx y z? ? ???? ? ?g r a d (,,)f x y zgr a d (,) f f ff x y i j kx y z? ? ?? ? ?? ? ?(,,)f x y z c?返 回下一页上一页为函数 u=f(x,y,z)的 等量面 的概念，则可得函数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度的方向与过点 P的等量面 f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,返 回上一页一,多元函数的极值及最大值、最小值二,条件极值第八节 多元函数的极值及其求法返 回习题第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点,如果都适合不等式则称函数在点 有 极大值 ；如果都适合不等式(,)z f x y? 00(,)xy00(,)xy(,)xy00(,) (,)f x y f x y?00(,)xy 00(,)f x y返 回下一页则称函数在点 有 极小值,极大值、极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,以上关于二元函数的极值概念，可推广到 n元函数,设 n元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任何点 都不适合不等式00(,) (,)f x y f x y?00(,)xy 00(,)f x y()u f P? 0P0PP返 回下一页上一页则称函数 在点 有 极大值 (极小值 ),定理 1(必要条件 ) 设函数 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设 在点 处有极大值,依极大值的定义，在 的某邻00( ) ( ) ( ( ) ( ) )f P f P f P f P??()fP0P 0()fP(,)z f x y?00(,)xy 00(,)xy0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??　(,)z f x y?00(,)xy00(,)xy返 回下一页上一页域内异于 的点 都适合不等式特殊地，该邻域内取 而 的点，也应合适不等式这表明一元函数 在 处取得极大值，因而必有(,)xy00(,)xy00(,) (,)f x y f x y?0yy? 0xx?0 0 0(,) (,)f x y f x y?0(,)f x y 0xx?00(,) 0xf x y ?返 回下一页上一页类似地可证如果三元函数 在点具有偏导数，则它在点 具有极值的必要条件为定理 2(充分条件 ) 设函数 在00(,) 0yf x y ?(,,)u f x y z? 0 0 0(,,)x y z0 0 0(,,)x y z0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0,(,,) 0x y zf x y z f x y z f x y z? ? ?(,)z f x y?返 回下一页上一页点 的某邻域内连续且具有 一阶及二阶连续偏导数，又,，令则 在 处是否取得极值的条件如下：(1) 时具有极值，且当时有极大值，当 时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值，也可能没00(,)xy00(,) 0xf x y ? 00(,) 0yf x y ?0 0 0 0 0 0(,),(,),(,)x x x y y yf x y A f x y B f x y C? ? ?(,)f x y00(,)xy2 0A C B?? 0A?0A?2 0A C B??2 0A C B??返 回下一页上一页有极值，还需另作讨论,二阶连续偏导数的函数 的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组求得一切实数解，即可求得一切驻点,第二步 对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值 和,第三步 定出 的符号，按定理 2的(,)z f x y?(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??　00(,)xyAB,C2AC B?返 回下一页上一页结论判定 是否是极值、是极大值还是极小值,0(,)f x y返 回下一页上一页二、条件极值 拉格朗日乘数法上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他条件，所以有时候称为 无条件极值,但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题,例如，求表面积为 而体积为最大的长方体的体积问题,设长方体的三棱的长为还必须满足附加条件,象这种对自变量有附加条件的极值称为 条件极值,2a,,x y z22 ( )x y y z x z a? ? ?返 回下一页上一页对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值，然后利用第一目中的方法加以解决,例如上述问题，可由条件，将 z表示成 x,y的函数再把它代入 中，于是问题就化为求2 22 ( )a xyzxy???V xyz?22 ( )x y y z x z a? ? ?2 22 2 ( )x y a x yVxy???? ?????返 回下一页上一页的无条件极值,但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题,拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件 下的可能极值点，可以先构成辅助函数其中 为某一常数,求其对 x与 y的一阶偏导数，(,)z f x y?(,) 0xy? ?(,) (,) (,)F x y f x y x y?????返 回下一页上一页并使之为零，然后与方程 联立起来：由这方程组解出 及,则其中 就是函数 在附加条件 下的可能极值点的坐标,(,) 0xy? ?(,) (,) 0(,) (,) 0(,) 0xxyyf x y x yf x y x yxy?????? ?????????(,)f x y (,) 0xy? ?,xy,xy?返 回下一页上一页第八章结束上一页 返 回总习题 八1.在, 充分,,, 必要, 和, 充分, 三者中选择一个正确的填入下列空格内：（ 1） 在点 可微分是在该点连续的 充分 条件, 在点连续是 在该点可微分的 必要 条件,（ 2） 在点 的偏导数及 存在是 在该点可微分的 必要(,)f x y下一页 返 回(,)xy (,)f x y(,)f x y (,)xy(,)f x y(,)z f x y? (,)xy zx??zy??(,)f x y条件, 在点 可微分是函数在该点的偏导数 及 存在的 充分 条件,（ 3） 的偏导数 及 在点存在且连续是 在该点可微分的充分 条件,（ 4）函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D内连续是这两个二阶下一页 返 回(,)z f x y? (,)xyzx??zy??上一页(,)z f x y? zx??zy??(,)xy (,)f x y(,)z f x y?2zxy???2zyx???混合偏导数在 D内相等的 充分 条件,2.求函数 的定义域，并求,3.证明极限 不存在,下一页 返 回上一页120lim (,)xyf x y??2224(,)l n (1 )xyf x yxy????22400limxyxyxy???题解题解4.设求 及,5.求下列函数的一阶和二阶偏导数：下一页 返 回上一页2222222,0(,)0,0xyxyxyf x yxy?????? ?????　(,)xf x y (,)yf x y2(1 ) ln ( )z x y?? ( 2) yzx?题解题解 题解6.求函数 当时的全增量和全微分,7.设证明,在点 (0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分,下一页 返 回上一页22222 2 3 / 222,0()(,)0,0xyxyxyf x yxy?????? ?????　0,0 3y??2,1,0, 0 1,x y x? ? ? ?22xyzxy??(,)f x y题解题解8.设,而 都是可微函数，求,9.设 具有连续偏导数，而求,10.设,其中 f具有连续的二阶偏导数，求,下一页 返 回上一页,,,u v w? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?dudt( ),( )x t y t????yux?(,,)z f u v w?,,z z z? ? ?? ? ?? ? ?(,,),yz f u x y u x e??2zxy???题解题解题解11.设 试求和,12.求螺旋线在点 处的切线及法平面方程,13.在曲面 上求一点，使这点处的法线垂直于平面,并写出这法线的方程,下一页 返 回上一页c o s,s in,.uux e v y e v z u v? ? ?zx??zy??c o s,s i n,x a y a z b? ? ?? ? ?(,0,0)az xy?2 9 0x y z? ? ? ?题解题解题解14.设 x轴正向到方向 的转角为,求函数在点 (1,1)沿方向 的方向导数，并分别确定转角,使这导数有 (1)最大值,(2)最小值,(3)等于 0.15.求函数 在椭球面上点 处沿外法线方向的方向导数,下一页 返 回上一页l22(,)f x y x x y y? ? ??l?2 2 2u x y z? ? ?2 2 21x y za b c? ? ?0 0 0 0(,,)M x y z题解题解16.求平面 和柱面的交线上与 xOy平面距离最短的点,17.在第一卦限内做椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求着切平面的切点，并求此最小体积,返 回上一页22 1xy??13 4 5x y z? ? ?2 2 21x y za b c? ? ?题解题解解,求定义域需满足即 需满足下一页 返 回(,)xy222224010l n (1 ) 0xyxyxy? ???? ? ???? ? ??(,)xy22222401011xyxyxy? ???? ? ???? ? ??(,)x y D??而 是 D的一个内点,返 回2224(,)l n (1 )xyf x yxy?????? ?2 2 2(,) 4 0,0 1D x y x y x y? ? ? ? ? ?上一页1,02??????12012l im (,),032ln4xyf x y f????? ? ?????解：设当 时,沿 的方向趋近于零显然，该极限随 k的 不同而改变,返 回0x ? y222 4 2 4 200l im l imxxyyx y k xx y x k x??????12y kx?24 2 400l im(1 ) 1xyk x kk x k??????解：当,显然,当,下一页 返 回(,) (,)(,) l i mx xf x x y f x yf x yx? ? ?? ? ???22 0xy?? 0xf ?22 0xy??xyxyxyxxyxxfxx???????????2222220)()(lim下一页 返 回2 2 2 2 22 2 2 20( ) ( ) [ ( ) ]l im[ ( ) ] ( )xx x y x y x y x x yx x y x y x??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2222 2 2 20( ) ( ) ( )()l im[ ( ) ] ( )xx x x x x y x yy x yxxx x y x y??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ?2223)(2yxxy??上一页同理当,显然,当,返 回22 0xy??22 0xy??0yf ?222222)()(yxyxxfy ???上一页解：返 回21xZ xy? ? 22yxyZy ??22 )(1yxZ xx???222()x y y xyZZxy????222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxZyy ????????解：返 回1yxZ y x ?? xxZ yy ln??2)1( ???? yxx xyyZ11 lnyyx y y xZ Z x y x x??? ? ? ?2)( ln xxZ yyy ??解,全增量返 回)1,2()03.1,01.2( ffZ ???3203.101.203.101.222 ????2222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyZx ?????????2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxZy ????????下一页返 回上一页22210 0 1 0 0 30 0 3x x y xyyd z Z, Z,.??? ? ? ? ??证明,显然时,有返 回下一页(0 0 ) 0f ?，,,0 ??? ????? ?22(,) (,)x y x y x y ?? ? ? ?2 2 2 2 2332 2 2 2221 ( )04( ) ( )x y x yx y x y?????返 回下一页21212241)(41 ???? yx处连续在 )0,0(),( yxf?000lim)0,0()0,0(lim00????? ??????? xxfxfxx又0)0,0( ?? xf0)0,0( ?yf同理：上一页返 回下一页上一页(0,0 )即在 处，偏导存在? ?yfxfZ yx ????? )0,0()0,0(而0)0,0()0,0( ??????? fyxf232222)( yxyx??????222002200 )(limlimyxyxyxZyxyx ??????????????????又：返 回若令 沿 方向趋近于 0xky ???y?2 2 2 42 2 2 2 2 200l im l im( ) ( 1 )xxy y k xx y k xx y k x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?则222(1 )kk??上一页解,返 回xyd u d x d yuud t d t d t??)('ln)('1 txxtyx yy ?? ?? ?解,返 回v w v wz v wZ Z Z Z? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?u w u wz u wZ Z Z Z? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?u u vz u vZ Z Z Z? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?解,返 回' ' ' 'yu x u xZu f f f e fxx??? ? ? ???2' ( '' '' ) '' ''y y y yu uu uy x u x yZ e f f x e f e f x e fxy? ? ? ? ? ???uyxyxuyuyyuuy feffxefefxe '''''''''2 ?????解,返 回c o s,sinyux e v y e v??xya r c t gvyxu ???? ),ln (21 22Z Z u Z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?222222 ( ) 1 ( )yx xvuyxyx???? ?下一页返 回上一页2222 yxuyvyxx????ueuuvv ??? )s inc o s(uevvvuyZ ????? )s inc o s(同理：解,返 回' s in,c o s,'x a y a Z b?? ??? ? ? ?0)0,0,( ??对应的而点 a},,0{ baT ?????????0byaZax切线方程为0??? bZay法平面方程为：解,返 回? ?0 0 000(,,),,1Z x y x y zyxn????设曲面 上这点为113100 ??? xy由题意得：33,1000???????Zxy133113)3,1,3(????????Zyx法线方程为：这点为解,返 回c o s sinl f ff x y??? ? ???? ? ??? s in)2(c o s)2( xyyx ????)4c o s (2s i nc o s11 ???? ?????? ），（fl即：24 时，有最大值（1 ）当 ?? ?245 ?? 时，有最小值（2 ）当 ??时，值为047 π（3 ）当 ??解,返 回(,,) ( c o s c o s c o s )x y z x y zu u u un ? ? ?? ? ? ??)c o s2c o s2c o s2 000 ??? zyx ???)2,2,2(),,(,1222222222czbyaxFFFnczbyaxFzyx??????????则令下一页返 回下一页)2,2,2( 2 02 02 0),,(000 czbyaxnzyx ?????则420420420204204204202022co sczbyaxaxczbyaxax????????? ?4204204202042042042020co s,co sczbyaxazczbyaxay??????? ??上一页返 回420420420220220220),,(222000czbyaxczbyaxnuzyx????????上一页解,返 回22 1xy ??由题意得，就是要在的 条件下有最小值使 )431(5 yxZ ???得：令0)1()431(5 22???????????fffyxyxfyx由??????????????????010245023522yxyx??下一页返 回上一页最短点与面为 xo yZyx)1235,53,54(123553,54,2425???????? ?解,返 回下一页0 0 00 0 00 0 02 2 2(,,)2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x y zx y zx x y y z za b c? ? ? ? ? ? ? ? ?设切点,则切平面方程为),0,0);0,,0);0,0,0)()()(020202020020020zcybxazzazyybyxxax（（（：则与三点坐标轴交点为即 ??????上一页返 回下一页2 2 20 0 01,6abcUx y z?? 即为最小值则有,设令0)1(61000202020000222????????????ffffczbyaxzyxcbafzyx上一页返 回下一页????????????????????????????102161021610181220220220202200022220220002222022000222czbyaxczzyxcbabyyzxcbaaxxzycba???上一页返 回a b ccbaa b cczbyax3),3,3,3(343,3,3,3000极值为所求点为解得：???????上一页习 题 8-11.已知函数 试求,2.试证函数 满足关系式,3.以知函数,试求.22(,) ta n xf x y x y x yy? ? ?(,)f tx ty(,) (,) (,) (,) (,)F x y u v F x u F x v F y u F y v? ? ? ?(,) ln lnF x y x y?下一页 返 回(,,) w u vf u v w u w ???(,,)f x y x y x y??4.求下列各函数的定义域：下一页 返 回2(1 ) l n ( 2 1 )z y x? ? ?上一页11( 2 ) zx y x y????( 3 ) z x y??22( 4 ) l n ( )1xz y xxy? ? ???5.求下列各极限：下一页 返 回2 2 2 22 2 2 21( 5 )( 0 )z R x y zx y z rRr? ? ? ? ?? ? ???上一页22( 6 ) a r c c o s zzxy??22011(1 ) limxyxyxy???? 2210ln ( )( 2 ) lim yxyxexy????6.证明下列极限不存在：下一页 返 回上一页20s in ( )( 5 ) limxyxyy??2210ln ( )( 2 ) lim yxyxexy????0024( 3 ) l imxyxyxy????222222001 c o s ( )( 6 ) l im() xyxyxyx y e?????00(1 ) limxyxyxy????222 2 200( 2 ) l im()xyxyx y x y????7.函数 在何处是间断的？8.证明,2222yxzyx???上一页 返 回2210lim 0xyxyxy????例 1 圆柱体的体积 和它的底半径,高之间具有关系这里，当, 在集合 内取定一对值 时,的对应值就随之确定,例 2 一定量的理想气体的压强,体积 和绝对温度 之间具有关系V r h2V r h??r h ? ?(,) 0,0r h r h??(,)rh Vp VTRTpV?下一页 返 回其中 为常数,这里，当, 在集合内取定一对值 时，的值就随之确定,例 3 设 是电阻 并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系这里，当 在集合内取定一对值 时,的对应值就随之确定,V Tp12RR、R? ?(,) 0,0V T V T?? (,)VTR1212RRRRR??12RR,? ?1 2 1 2(,) 0,0R R R R??12()RR、R上一页 返 回例 4 设求证证 因为可见，对任给,取 则当2 2 2 2221(,) ( ) si n ( 0 )f x y x y x yxy? ? ? ??00lim (,) 0xyf x y???2 2 2 2 2 22 2 2 211( ) s i n 0 s i nx y x y x yx y x y? ? ? ? ??? ≤0? ? ???下一页 返 回时，总有成立，所以220 ( 0 ) ( 0 )xy ?? ? ? ? ?22221( ) s i n 0xyxy?? ? ??00lim (,) 0xyf x y???下一页上一页 返 回例 5 求解 这里 在区域和区域内都有定义,同时为 及 的边界点,但无论在 内还是在 内考虑，下列运算都是正确的：? ?1 (,) 0D x y x??0 (0,2)P 1D02s in ( )limxyxyx??s i n ( )(,) xyf x yx?? ?2 (,) 0D x y x??2D1D 2D0 0 22s i n ( ) s i n ( )l i m l i m l i m 1 2 2x x y yyx y x y yxx? ? ??? ? ?上一页 返 回例 6 求解 函数 是初等函数，它的定义域为因 不是连通的，故 不是区域,但是区域，且,所以 是函数 的一个定义域,因,故12limxyxyxy???(,) xyf x y xy??? ?(,) 0,0D x y x y? ? ?D D? ?1 (,) 0,0D x y x y? ? ?1DD? 1D(,)f x y01(1,2 )PD?下一页 返 回例 7 求解123l i m (1,2 )2xyxy fxy??? ??0011limxyxyxy????0011 11l im l im( 1 1 )xxyyxy xyxy x y x y???? ?????下一页上一页 返 回0011l i m211xy xy??????上一页 返 回习 题 8-21.求下列函数的偏导数下一页 返 回33(1 ) z x y y x?? 22( 2) uvzuv??(3 ) ln ( )z x y? 2( 4) sin( ) c os ( )z x y x y??( 5 ) ln ta n xzy? ( 6) (1 )yz x y??(7 )yzux? ( 8 ) a r c ta n( ) zu x y??2.设,求证,3.设,求证,4.折,求,下一页 返 回上一页2 lTg?? 0TTlglg??????11()xyze ???22 2zzx y xxy??????(,) ( 1 ) a r c s i n xf x y x yy? ? ?(,1)xfx5.设,在 (2,4,5)处的切线对于 x轴的倾角是多少？6.求下列函数的, 和下一页 返 回上一页2244xyzy? ????? ??22zx??22zy??2zxy???4 4 2 2(1 ) 4z x y x y? ? ?( 2) a r c ta n xzy?(3) xzy?7.设,求，, 及,8.设,求 及,9.验证：满足 ；满足下一页 返 回上一页2 2 2(,,)f x y z x y y z zx? ? ?(0,0,1)xxf(1,0,2 )xzf ( 0,1,0)yzf ? ( 2,0,1)zzxfln ( )z x xy? 22zxy???22zxy???2(1 ) s ink n ty e n x?? 22yyktx?????2 2 2( 2 ) r x y z? ? ?2 2 22 2 22r r rx y z r? ? ?? ? ?? ? ?例 1 求 在点 (1,2)处的偏导数,解 把 看作常量把 看作常量将 (1,2)代入上面的结果，就是223z x x y y? ? ?23z xyx? ???yx32z xyy? ???下一页 返 回例 2 求 的偏导数解122 1 3 2 8xyzx ??? ? ? ??123 1 2 2 7xyzy ??? ? ? ??2 sin 2z x y?2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xyy? ??下一页上一页 返 回例 2 求 的偏导数解122 1 3 2 8xyzx ??? ? ? ??123 1 2 2 7xyzy ??? ? ? ??2 sin 2z x y?2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xyy? ??下一页上一页 返 回例 3 设,求证：证 因为,,所以2 ( 0,1 )z x x x? ? ?1 2lnx z z zy x x y??????1yz yxx?? ??下一页上一页 返 回lnyz xxy? ??111 lnl n l n2yyyyx z z xy x x xy x x y y xx x z???? ? ???? ? ?例 4 求 的偏导数,解 把 y和 z都看作常量，得由于所给函数关于自变量的对称性，所以2 2 2r x y z? ? ?上一页 返 回2 2 2r x xxrx y z???? ??,r y r zy r z r??????例 6 设,求,、, 及,解3 2 331z x y x y x y? ? ? ?下一页 返 回22zx??2zyx???2zxy???22zy??23zx??2 2 333z x y y yx? ? ? ??3229z x y x y xy? ? ? ??222 6z xyx? ??2226 9 1z x y yyx? ? ? ???返 回2226 9 1z x y yxy? ? ? ???上一页232 2 1 8z x xyy? ???223 6z yx? ??例 7 验证 满足方程证 因为,所以,下一页 返 回22lnz x y??2222 0zzxy??????2 2 2 21l n l n ( )2z x y x y? ? ? ?22zxx x y? ??? 22zyy x y? ???2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( )z x y x x y xx x y x y? ? ? ???? ? ?因此例 8 证明函数 满足方程下一页 返 回2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( )z x y y y x yy x y x y? ? ? ???? ? ?2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( )z z y x x yx y x y x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上一页1ur?其中,证由于函数关于自变量的对称性，所以下一页 返 回2222 2 2 0uuux y z???? ? ?? ? ?上一页2 2 2r x y z? ? ?2 2 311u r x xx r x r r r??? ? ? ? ? ???222 3 4 3 533u x x r x xx r r x r r??? ? ? ? ? ?因此返 回上一页2 2 2 22 3 5 2 3 533,u x y u x zy r r y r r??? ? ? ? ? ?2222 2 22 2 2 23 5 3 53 3 ( ) 3 30uuux y zx y z rr r r r?????? ? ???? ? ? ? ? ? ?习 题 8-31.求下列函数的全微分：2.求函数 当 时的全微分,下一页 返 回(1 ) xz x yy?? ( 2 )yxze?22( 3 )yzxy??( 4 ) yzux?22l n (1 )z x y? ? ? 1,2xy??3.求函数 当时的全增量和全微分,4.求函数 当时的全微分,返 回xyze?0,2y? ? ?yzx? 2,1,0,1,x y x? ? ? ?1,1,0, 1 5,x y x? ? ? ?0,1y? ? ?上一页例 1 计算函数 的全微分,解 因为所以例 2 计算函数 在点 (2,1)处的全微分,解 因为下一页 返 回22z x y y??22,2zz x y x yxy??? ? ???22 ( 2 )dz x y dx x y dy? ? ?xyze?,x y x yzzy e x exy??????所以例 3 计算函数 的全微分,解所以,返 回22 2d z e d x e d y??s i n2yzyu x e? ? ?222211,2xxyyzz eexy???? ????11,c o s,22y z y zu u y uze y e d zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?1( c o s )22y z y zyd u d x z e d y y e d z? ? ? ?上一页习 题 8-41.设,而,求,2.设,而,求,下一页 返 回,zzxy????22z u v?? u x y?? v x y??2 lnz u v? xuy? 32v x y??,zzxy????3.设,而,,求,4.设,而,,求,下一页 返 回上一页2xyze ?? sinxt? 3yt?dzdta r c s i n ( )z x y?? 3xt? 34yt?dzdt5.设,而,求,6.设,而,，求,7.设,而,下一页 返 回上一页xye? dzdxa r c ta n ( )z x y?co szx?s iny a x?dudx2()1axe y zua???a r c ta n xzy?x u v?? y u v??验证8.求下列函数的一阶偏导数 (其中 f具有一阶连续偏导数 )下一页 返 回上一页22z z u vu v u v? ? ???? ? ?? ? 221 (,)xyu f x y e??返 回上一页? ?2,xyufyz??? ????? ? ? ?3,,u f x x y x y z?习 题 8-51.设,求,2.设,求,3.设,求 及,4.设,求 及,下一页 返 回dydx2sin 0xy e x y? ? ?22l n a r c t a n yxyx?? dydx2 2 0x y z x y z? ? ? ?zx??zy??lnxzzy?zx??zy??5.设,证明,6.设 都是由 所确定的具有连续偏导数的函数，证明下一页 返 回上一页2 s i n ( 2 3 ) 2 3x y z x y z? ? ? ? ?1zzxy??????(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y? ? ?(,,) 0F x y z ?1y y zy z x? ? ?? ? ? ?? ? ?7.设 具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足,8.设,求,返 回上一页(,)uv?(,)z f x y?(,) 0c x a z c y b z? ? ? ?zza b cxy??????0xe xy z?? 22zx??习 题 8-61.求曲线在点 处的切线及法线平面方程,2.求曲线 在对应的点处切线及法平面方程,下一页 返 回1t?s i n,1 c o s,4 s i n2tx t t y t z? ? ? ? ?1,1,2 22????????21,,1ttx y z ttt?? ? ??3.求曲线在点 处的切线及法线平面方程,4.求曲线,在点 处的切线及法线平面方程,下一页 返 回21,,1ttx y z ttt?? ? ??? ?0 0 0,,x y z2 2 2 302 3 5 4 0x y z xxyz? ? ? ? ??? ? ? ??? ?1,1,1上一页5.求曲线 上的点，使在该点的切线平行于平面,6.求曲面 在点 处的切线及法线平面方程,返 回23,,x t y t z t? ? ?24x y z? ? ?3ze z x y? ? ? (2,1,0)上一页习 题 8-71.求函数 在点 (1,2)处沿从点 (1,2)到点 的方向的方向导数,2.求函数 在抛物线 上点(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向 x轴正向的切线方向的方向导数,3.求函数 在点下一页 返 回2 4yx?22z x y??( 2,2 3 )?ln ( )z x y??22221xyzab??? ? ?????,22ab??????处沿曲线 这点的内法线方向的方向导数,4.求函数 在点 (1,1,2)处沿方向角为 的方向的方向导数,下一页 返 回2222 1xyab??上一页23z x y z x y z? ? ?,,3 4 3? ? ?? ? ?? ? ?5.求函数,在点 (5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点 (9,4,14)的方向的方向导数,6.求函数在曲线 上点 (1,1,1)处，沿曲线在该点的切线 (对应于 t增大的方向 )的方向导数,7.求函数 在球面上点 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数,返 回u xyz?2 2 2u x y z? ? ?上一页23,,x t y t z t? ? ?u x y z? ? ? 2 2 2 1x y z? ? ?0 0 0(,,)x y z习 题 8-81.求函数 的极值,2.求函数 的极值,3.求函数 的极值,4.求函数 在适合附加条件 的极大值下一页 返 回22(,) 4 ( )f x y x y x y? ? ? ?22(,) ( 6 ) ( 4 )f x y x x y y? ? ?22(,) ( 2 )xf x y e x y y? ? ?z xy? 1xy??5.从斜边之长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形,6.要造一个容积等于定数 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的面积最小,7.在平面 xOy上求一点，使它到 及三角线的距离平方之和最小,下一页 返 回l上一页k0,0xy??2 1 6 0xy? ? ?8.将周长为 2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各位多少时，才可使圆柱体的体积为最大,9.求内接于半径为 a的球有最大体积的长方体,10.抛物面 被平面 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短路径,返 回上一页1x y z? ? ?22z x y??
课件名称：课件分类：数学课件类型：教学课件文件大小：5.42MB下载次数：13评论次数：9用户评分：7.1
15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.}