(2)(3)题

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有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.(1)选修4-2:矩阵与变换已知点A(1,0),B(2,2),C(3,0),矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”.(Ⅰ)写出矩阵M及其逆矩阵M-1;(Ⅱ)请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积.(2)选修4-4:坐标系与参数方程过P(2,0)作倾斜角为α的直线l与曲线E:x=cosθy=22sinθ(θ为参数)交于A,B两点.(Ⅰ)求曲线E的普通方程及l的参数方程;(Ⅱ)求sinα的取值范围.(3)(选修4-5&不等式证明选讲)已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3,(Ⅰ)求证:a+b+c≤3;(Ⅱ)若c=ab,求c的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详
(1)(Ⅰ)M=cos(-45°)-sin(-45°)sin(-45°)&&cos(-45°)=2222-2222∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”∴矩阵M-1表示变换“逆时针旋转45°”∴M-1=cos45°-sin45°sin45°&&cos45°=22-2222&&22(Ⅱ)三角形ABC的面积S△ABC=12×(3-1)×2=2,由于△ABC在旋转变换下所得△A1B1C1与△ABC全等,故三角形的面积不变,即S△A1B1C1=2.(2)(Ⅰ)曲线E的普通方程为x2+2y2=1L的参数方程为x=2+tcosαy=tsinα(t为参数)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(Ⅱ)将L的参数方程代入由线E的方程得(1+sin2α)t2+(4cosα)t+3=0由△=(4cosα)2-4(1+sin2α)×3≥0得sin2α≤17∴0≤sinα≤77(3)(Ⅰ)证明:由柯西不等式得(a+b+c)2≤(a+b+c)(1+1+1)代入已知a+b+c=3,∴(a+b+c)2≤9a+b+c≤3当且仅当a=b=c=1,取等号.(Ⅱ)由a+b≥2ab得2ab+c≤3,若c=ab,则2c+c≤3,(c+3)(c-1)≤0,所以c≤1,c≤1,当且仅当a=b=1时,c有最大值1.
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据魔方格专家权威分析,试题“有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分1..”主要考查你对&&椭圆的参数方程,逆变换与逆矩阵&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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椭圆的参数方程逆变换与逆矩阵
椭圆的参数方程:
椭圆的参数方程是,θ∈[0,2π)。椭圆的参数方程的理解:
如图,以原点为圆心,分别以a,b(a&b&0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设,由已知得,即为点M的轨迹参数方程,消去参数得,即为点M的轨迹普通方程。 (1)参数方程,是椭圆的参数方程;(2)在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a&b,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2π);(3)焦点在y轴的参数方程为 逆变换的定义:
一般地,设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ,使得σρ=ρσ=I,则称变换ρ可逆,并且称σ是ρ的逆变换。
逆矩阵的定义:
对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,通常记A的逆矩阵为。 逆矩阵的特点:
1、逆矩阵是唯一的。 2、若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且。
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2759062820776197105009542576512936422.3.3双曲线习题课 课件(人教B版选修2-1)1.知识与技能能解决与椭圆有关的基本问题.能处理与椭圆有关的综合问题.2.过程与方法通过双曲线定义和性质的学习,培养学生分析、类比、探索能力.3.情感态度与价值观通过本节学习,体会数形结合思想、培养规范解答.严谨思考的学习习惯.[例1] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.[分析] 要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线组成方程组,对方程解的个数进行讨论.[说明] 判断直线与双曲线的公共点问题,要将直线方程与双曲线方程联立组成方程组,消去一个未知数后,可能得到一个一元二次方程,也可能得到一个一元一次方程,还可能得到一个不含未知数的式子,要根据方程系数讨论这样几种情况.2°当k=2时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直线①和双曲线仅有一个公共点,故得到y=2x+1.当k=-2时, 同理可得直线y=-2x+3.[答案]
C [例3] 在双曲线
=1上求一点,使它到直线l:x-y-3=0的距离最短,并求出最短距离.[分析] 作出直线l的平行线l′,使l′与双曲线相切,则切点到直线l的距离可用两平行线l,l′之间的距离来表示.[解析] 设与直线l:x-y-3=0平行的双曲线的切线方程为x-y+m=0,根据直线与双曲线相切的充要条件,得m2=k2a2-b2=12×25-9=16,∴m=±4,根据题意本题取m=-4.将y=x-4代入双曲线方程并整理得16x2-200x+625=0,[例4] 已知双曲线x2-
=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.[分析] 由题意易知k=0时不成立,故可设与直线l垂直的直线方程为y=-
x+b,与双曲线方程联立,构造关于k与b的方程,由根与系数的关系表示出中点坐标,由中点在直线l上,得出k与b的等量关系,反代回判别式求k的取值范围.[解析] ①当k=0时,显然不成立.②当k≠0时,在双曲线上任意取两点A,B,设AB的中点M的坐标为M(x0,y0),由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-
x+b,将其代入3x2-y2=3中,得(3k2-1)x2+2kbx-(b2+3)k2=0,显然3k2-1≠0,即k2b2+3k2-1>0.①[说明] 因为双曲线关于x轴、y轴和原点对称,所以有时应用双曲线自身的对称性或应用对称轴来求参数的范围.有些对称问题,如垂直或平行弦的问题,往往采用化中点弦的思路,还要注意与直线的位置的综合应用.[例5] 斜率为3的直线与等轴双曲线x2-y2=6相交于两点P1、P2,试求P1P2中点P的轨迹方程.[辨析] 有关中点轨迹问题,点差法是常用方法.[说明] 用点差法求解时,若忽略弦的存在性,忽略直线与双曲线仅有一个公共点的情形,则会导致求解范围的扩大,解题时一定要注意用Δ>0来确定变量的范围.[答案] B 2.(2008?福建)双曲线
=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(  )A.(1,3)
B.(1,3]C.(3,+∞)
D.[3,+∞)[答案] B[解析] 由双曲线几何定义,|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,|PF1|=4a,在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,∴6a≥2c,∴
≤3,又e>1,∴1<e≤3.故选B.5.与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线的标准方程为________.
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专题:计算题。
分析:已知抛物线解析式为顶点式,根据顶点式的坐标特点求顶点坐标.
解答:解:∵抛物线y=(x+2)23为抛物线解析式的顶点式,
∴抛物线顶点坐标是(2,3).
点评:本题考查了二次函数的性质.抛物线y=a(xh)2+k的顶点坐标是(h,k).
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第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它的“兑换系数”.(1)若数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”,求和的值;(2)已知有穷等差数列的项数是,所有项之和是,求证:数列是“兑换数列”,并用和表示它的“兑换系数”;(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详
(1)a=6,m=5;(2)见解析;(3)本试题主要考查了数列的运用。解:(1)因为数列:1,2,4(m&4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m&a-4&a-2&a-1-------------------1分故a-m=1,a-4=2-------------------3分即a=6,m=5&-------------------4分(2)设数列的公差为d,因为数列是项数为项的有穷等差数列若&即对数列中的任意一项-------------------6分同理可得:若,也成立,由“兑换数列”的定义可知,数列是 “兑换数列”;-------------------8分又因为数列所有项之和是B,所以,即------10分(3)假设存在这样的等比数列,设它的公比为q,(q&1),因为数列为递增数列,所以又因为数列为“兑换数列”,则,所以是正整数故数列必为有穷数列,不妨设项数为n项,------------------12分则----------14分①&&&n=3则有,又,由此得q=1,与q&1矛盾;-------------------15分②若。由, 即(),故q=1,与q&1矛盾;-------------------17分综合①②得,不存在满足条件的数列。-------------------18分
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据魔方格专家权威分析,试题“第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如果存..”主要考查你对&&数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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数列的概念及简单表示法
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒:①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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