如何计算圆柱体竖切面体积
如何计算圆柱体竖切面体积
09-04-28 &匿名提问 发布
圆柱、圆锥一、教法建议【抛砖引玉】    本单元要重点掌握的内容有：圆柱、圆锥和球的认识，圆柱的侧面积和表面积的公式，圆柱、圆锥体积公式的推导，以及应用这些公式解决实际问题。    (一)教学圆柱、圆锥和球的认识要抓住以下两个方面    1.认识圆柱、圆锥和球的立体几何图形
   认识圆柱、圆锥和球的立体几何图形，要从日常生活中所见的实物体入手，在获得丰富的感性认识基础上建立形体的表象。    例如，圆柱的几何图形的认识：
   圆锥的几何图形的认识：
   2.认识圆柱、圆锥和球的特征    认识圆柱、圆锥和球的各部分名称，要结合几何图形和对照几何形体的模型同时进行，从感性到直观再到抽象，有利于学生理解并牢记概念。    圆柱各部分名称：
   底面：圆柱的上、下两个面叫做底面。它们是完全相同的两个圆。    侧面：圆柱有一个曲面，叫做侧面。    高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。    圆锥各部分名称：    顶点：圆锥有一个尖顶，是圆锥的顶点。    底面：圆锥的底面是个圆。    侧面：圆锥的侧面是一个曲面。    高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。    球的各部分名称：    球面：球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。    球心：球有一个中心，叫做球心，用字母O表示。    球的半径：从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，字母r表示。    球的直径：通过球心并且两端都在球面上的线段叫做球的直径，用字母d表示。    球的每条半径都相等，每条直径都相等。球的直径长度是半径的两倍，即d=2r。    (二)教学圆柱侧面积和表面积的计算要抓住以下两个方面    1.认识圆柱侧面积和表面积的展开图    侧面积展开图      
   认识圆柱侧面积的展开图，要通过动手操作，在充分感知的基础上形成展开图的表象。动手操作前可准备一个圆柱的模型，并在模型上贴一层表面。动手操作时，可像下图那样，沿着它的一条高剪开，再打开，看到的则是一个长方形。
   也可以照下图那样剪：
   这样剪打开后看到的是一个平行四边形。    2.推导圆柱侧面积的计算方法    圆柱的侧面积(S)等于底面周长(c)乘以高(h)。字母公式是：                S侧=ch    圆柱的表面积(S)等于侧面积加上两个底面积。字母公式是：                S表=S侧+2S底    推导圆柱侧面积的计算方法，要注意使知识间建立起联系，弄清楚算理，可结合下图帮助理解。
   把圆柱的侧面展开，得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。    因为：长方形面积=长×宽    所以：圆柱侧面积=底面周长×高    (三)教学圆柱、圆锥体积公式的推导要抓住以下两个方面    1.圆柱体积公式的推导过程    圆柱体积的计算方法是通过把圆柱转化成已学过的长方体，然后根据长方体体积的计算方法推导出来的。    把圆柱转化成长方体时，可应用圆柱体模型，动手进行拼摆以后再找出圆柱与长方体的联系，从而推导出圆柱体积的计算公式。    拼摆圆柱体模型，可照下图那样进行。
   把圆柱的底面等分成16个扇形，然后把圆柱切开，照上图拼起来，就近似于一个长方体。    这个长方体的底面积等于圆柱的底面积S，高就是圆柱的高h。    因为：长方体的体积=底面积×高    所以：圆柱体的体积=底面积×高    用V表示圆柱的体积，圆柱的体积字母公式是：                V=Sh    2.圆锥体积公式的推导过程    圆锥体积计算公式是通过与圆锥等底等高的圆柱体积的计算公式推导出来的。推导圆锥体积的计算方法可分两步进行。    (1)弄清楚圆柱与圆锥等底等高的情况。    可采取下面的方法（如下图）
   三个圆锥分别与右边的圆柱比较，会发现：    第一个圆锥与右边的圆柱等高不等底；    第二个圆锥与右边的圆柱等底等高；    第三个圆锥与右边的圆柱等底不等高。    (2)用实验的方法，推导出圆锥的体积公式    用一个空圆锥和一个与它等底等高的空圆柱作实验教具，在空圆锥里面装满沙土（或水等），然后倒入空圆柱里，倒三次正好装满（如右图）。    实验说明：圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的1/3。    用字母公式表示为：
           
   (四)教学应用公式解决实际问题要抓住以下几个方面    1.直接应用公式解题    掌握了圆柱的侧面积、表面积、体积及圆锥的体积计算公式后，应用公式解题是常见的形式。    直接应用公式解题，一般从问题入手分析，找出解决问题所需要的条件。    例如：求下面圆柱的表面积。    思路分析：要求圆柱的表面积就知道它的侧面积和底面积。    (1)圆柱侧面积：    3.14×8×5=125.6( 平方厘米)    (2)圆柱底面积：
   
   (3)圆柱的表面积：
       答：圆柱的表面积是226.08平方厘米。    2.联系实际解应用题    例如：一堆煤堆成圆锥形，量得它的底面直径为6米，高是2米，如果每立方米煤约重1.4吨，这堆煤约有多少吨？( 得数保留整吨数)    思路分析：要求这堆煤约有多少吨就得先求出圆锥形煤堆的体积。    (1)煤堆的底面积：
   
   (2)煤堆的体积：
   
   (3)煤的重量：
       答：这堆煤约有26吨。    3.用“进一法”取结果的近似值    例如：做一个底面周长是2.826米，高12分米的没有盖的圆柱形铁皮水桶，大约用铁皮多少平方分米？(得数保留整十平方分米)    解答这道题时要明确以下几个问题：    (1)要统一单位名称。    (2)要会把实际问题转化为数学问题；求做这个没有盖的圆柱形水桶大约用铁皮多少平方分数，就是求圆柱的侧面积加1个底面积。    (3)得数保留整十平方分数，不能用“四舍五入”法取近似值。在实际中，使用的材料都要比计算得到的结果多一些。因此要用“进一”法取近似值，即省略的个位上数字不管是几，都要向前一位进1。    解：2.826米=28.26分米    (1)侧面积：
   28.26×12=339.12(平方分米)
   (2)底面积：
   
   (3)需要铁皮：
   339.12+63.585=402.705
               ≈410(平方分米)
   答：大约用铁皮410平方分米。【指点迷津】    1.圆锥侧面积展开的步骤和图形    圆锥侧面展开可用圆锥模型进行实验，其展开的步骤和图形可用下图来说明。
   通过上图可以看出，圆锥的侧面积展开，得到一个扇形。    2.怎样测量圆锥的高    测量圆锥的高可分三步进行（如右图）：    (1)先把圆锥的底面放平；    (2)用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面；    (3)竖直地量出平板和底面之间的距离。    3.球和圆的相同点和不同点有哪些？它们有什么联系？    相同点：球和圆有许多类似的地方，具体的说有以下几点相同。    (1)它们都有一个中心，即球心、圆心；    (2)它们都有无数条半径，且同球、同圆半径都相等；    (3)它们都有无数条直径，且同球、同圆直径都相等；    (4)在同球、同圆中，直径是半径的2倍，即：d=2r。    不同点：球和圆的不同点主要在于，球是由曲面围成的一个体；圆是由曲线围成的一个平面。    球和圆的联系可用下面的实验来说明：    拿一个球形物体，照下图那样把它切开，我们可以看到，切开的面是一个圆形，并且发现通过球心的切面的面积最大。
二、学海导航【思维基础】    1.求下面各圆柱的侧面积    (1)底面周长50厘米，高35厘米。    (2)底面直径1.2分米，高20厘米。    (3)底面半径15厘米，高是底面半径的 。
   解：    (1)50×35=1750(平方厘米)    答：它的侧面积是1750平方厘米。    (2)1.2分米=12厘米    ①底面周长：    3.14×12=37.68(厘米)    ②侧面积：    37.68×20=753.6(平方厘米)    答：它的侧面积是753.6平方厘米。    （此题也可以把高转化为2分米来计算）    (3)①高是多少：    15× =6(厘米)
   ②底面周长：    2×3.14×15=94.2(厘米)    ③侧面积：    94.2×6=565.2(平方厘米)    答：它的侧面积是565.2平方厘米。    2.一个圆柱形铁皮水桶的直径是0.4米，高0.6米。把这个水桶里外都涂上油漆，涂漆的面积是多少平方米？如果每立方米水重1000千克，这个水桶能装水多少千克？（铁皮厚度略去不计）    解：    (1)侧面积：    3.14×0.4×0.6=0.7536(平方米)    (2)底面积：
    (平方米)
   (3)涂漆面积：     (0.6)×2    =0.8792×2    =1.7584(平方米)    (4)水桶容积：    0.=0.07536(立方米)    (5)能装水多少千克？    36=75.36(千克)    答：涂漆面积1.7584平方米，能装水75.36千克。    3.一个圆柱形水桶容积是157立方分米，底面积是31.4平方分米，如果装 桶的水，求水面高是多少分米。
   解法一：    (1)桶高多少分米：    157÷31.4=5(分米)    (2)水高多少分米？    5× =4(分米)
   解法二：    (1)水的体积：    157× =125.6(立方分米)
   (2)水面高多少分米？    125.6÷31.4=4(分米)    答：水面高4分米。    4.一个圆柱形木块，底面半径是6厘米，高是15厘米，把它削成一个最大的圆锥，削去多少立方厘米？    解法一：    (1)圆柱木块的体积：    3.14×62×15=1695.6(立方厘米)    (2)最大的圆锥的体积：     (立方厘米)
   (3)削去的体积：    5.2=1130.4(立方厘米)    解法二：    (1)圆柱木块的体积：    3.14×62×15=1695.6(立方厘米)    (2)削去的体积：
   
   答：削去1130.4立方厘米。    5.把一个底面半径8厘米，高6厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面直径为10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？    解法一：    (1)原来圆柱的体积：    3.14×82×6=1205.76(立方厘米)    (2)新熔铸的圆柱体的底面积：    3.14× =78.5(立方厘米)
   (3)新熔铸的圆柱的高：    .5=15.36(厘米)    答：这个圆柱的高是15.36厘米。【学法指要】    1.把一个底面半径为10厘米的圆锥体铁块放到一个底面直径是60厘米的圆柱形水桶里，这时水桶里的水面升高了2厘米，求这个圆锥体铁块的高是多少厘米。    思路分析：把一个圆锥体的铁块放到水桶里，使水面升高2厘米，说明圆锥体铁块的体积相当于一个底面直径为60厘米，高为2厘米的圆柱体体积。此题用方程解答比较容易。    解：设圆锥体铁块的高是x厘米。
       
   答：这个圆锥体铁块的高是54厘米。    2.一根圆柱形钢条，长0.5米，底面直径是2厘米，把这根钢条截成三个圆柱体，问表面积增加了多少平方厘米？    思路分析：把圆柱形钢条截成三个圆柱体，需要截2次，就增加了4个与圆柱的底面积相等的圆面积。    解：0.5米=50厘米    (1)圆柱的底面积：     (平方厘米)
   (2)表面积增加了多少平方厘米：    3.14×4=12.56(平方厘米)    答：表面积增加了12.56平方厘米。    3.有一个圆柱体，高比原来减少2厘米，它的表面积就减少了25.12平方厘米，求它的体积减少了多少立方厘米？    思路分析：根据题意，可以画出下面的示意图。
   从图中可以看出，圆柱体减少了一个高为2厘米的小圆柱的侧面积，求它的体积减少了多少立方厘米，就是求截下去一段的体积。    解:    (1)底面周长：    25.12÷2=12.56(厘米)    (2)底面半径：    12.56÷3.14÷2=2(厘米)    (3)底面积：    3.14×22=12.56(平方厘米)    (4)体积：    12.56×2=25.12(立方厘米)    答：它的体积减少了25.12立方厘米。    4.量得一根圆木的底面周长是31.4厘米，沿着它的直径竖着劈成2块，这时它的表面积增加了50平方厘米，求这根圆木的体积。    思路分析：把这根圆木沿着它的直径劈成两部分，表面积就会增加两个面积相等的长方形。这个长方形的长相当于圆柱的高，宽相当于圆柱的底面直径。要求这根圆木的体积，就得知道它的底面积和高，已知圆柱的底面周长是31.4厘米，就可以求出它的底面积；再用50平方厘米除以2可以求出一个长方形的面积，用长方形的面积除以长方形的宽，就可以求圆木的高。    解：    (1)圆木的底面直径：    31.4÷3.14=10(厘米)    (2)圆木的底面积：     (平方厘米)
   (3)圆木的高：    50÷2÷10=2.5(厘米)    (4)圆木的体积：    78.5×2.5=196.25(立方厘米)    答：这根圆木的体积是196.25立方厘米。    5.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积之和是100立方分米，求圆柱、圆锥的体积各是多少？    思路分析：已知圆柱体体积是与它等底等高的圆锥体体积的3倍。于是可知它们的体积之和100立方分米就相当于圆锥体体积的(3+1)倍。    可用线段图表示：
   解：    (1)圆锥的体积：     100÷(3+1)    =100÷4    =25(立方分米)    (2)圆柱的体积：    25×3=75(立方分米)    答：圆锥的体积是25立方分米，圆柱的体积是75立方分米。【思维体操】    1.一个圆锥体的体积是94.2立方分米，它的底面半径是3分米，圆锥的高是多少分米？（用两种方法解答）    思路分析：此题可应用公式用算术和方程两种方法解答。    解法一：用算术方法解答    (1)圆锥的底面积：    3.14×32=28.26(平方分米)    (2)圆锥的高：    94.2×3÷28.26=10(分米)    解法二：用方程方法解答    设圆锥的高是x分米。
   
   答：圆锥的高是10分米。    2.轧路机的前滚筒是个圆柱体（如下图），宽度为1.5米，半径0.5米，求它向前滚动2周，轧路面积应是多少？（用不同的方法解答）    思路分析：想一想，轧路机向前滚动一周所轧的路面是什么形状的？怎样求它的面积？    看一看下面的解法与你想的一样吗？你还有什么新的解法？    解法一    (1)滚筒的底面周长：    3.14×2×0.5=3.14(米)    (2)向前滚动一周的轧路面积：    3.14×1.5=4.71(平方米)    (3)向前滚动两圆的轧路面积：    4.71×2=9.42(平方米)    解法二    (1)滚筒的底面周长：    3.14×2×0.5=3.14(米)    (2)向前滚动两周长是多少米？    3.14×2=6.28(平方米)    (3)向前滚动两周的轧路面积：    6.28×1.5=9.42(平方米)    答：轧路面积是9.42平方米。    3.一根长2米的水泥管，它的外圆直径是1.2米，壁厚0.1米。（如下图）求水泥管的体积。（得数保留一位小数）
   思路分析：思路一，水泥管的体积就是外圆柱体积减去内圆柱体积。    思路二，可根据“底面积乘以高”来求它的体积。    解答后观察一下两种解法有什么联系吗？    解法一    (1)外圆柱体积：     (立方米)
   (2)内圆柱底面半径：    1.2÷2－0.1=0.5(米)    (3)内圆柱的体积：    3.14×0.52×2=1.57(立方米)    (4)水泥管的体积    2.=0.(立方米)    解法二    (1)外圆柱底面积：
    (立方米)
   (2)内圆柱底面积：
   (立方米)
   (3)水泥管的底面积：    1.=0.3454(平方米)    (4)水泥管的体积：    0..(立方米)    答：水泥管的体积是0.7立方米。    评析：用不同方法解题，要动脑筋，从多角度去思考。    但多解不是目的，多解后要认真分析优劣，从中选出思路简捷的方法。一般求积顺解的题目代入公式计算比较简便，逆解题用方程的方法解比较容易。    上面的第3题，两种解法实质上应用了乘法分配律的两种思路。三、智能显示【心中有数】    (一)本单元学习的主要内容
       
   (二)考考自己    1.判断题。    (1)圆锥的体积是圆柱体积的 。(     )
   (2)一个圆柱体底面积不变，高扩大3倍，体也扩大3倍。(      )    (3)圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。(      )    (4)圆柱的体积和圆锥的体积的比是1∶3。(      )    (5)圆柱的高一定，底面周长和侧面积成正比例。(      )    2.填写下表。(单位：分米)名称 半径 高 侧面积 表面积 体积圆柱 2 5
 圆锥 3 4.5 ─── ──
     3.求下面图形的体积。(单位：厘米)
   4.一种铁皮油桶，底面半径0.4米，高1.2米，做100个这样的油桶用铁皮多少平方米？    5.一个圆锥的高是12厘米，体积是40立方厘米，比与它等底面的圆柱体积大10立方厘米。这个圆柱的高是多少厘米？【动脑动手】    1.下图是由24个棱长为3厘米的正方体组合而成，求这个组合体的表面积是多少平方厘米。(先动手摆一摆，然后再计算)
   2.一个长方体，长7厘米，宽6厘米，高5厘米，要把它削成一个体积最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少？    参考答案：    1.69平方厘米    2.141.3立方厘米【创新园地】    一个长方体，宽是3厘米，它是长与高长度之和的 ，已知长是高的125%，在这个长方体的每个面的正中都打一个直径是2厘米，深1厘米的圆柱形孔，问打孔之后，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
   参考答案：    解：(1)计算长与高的和：
           3÷ =9(厘米)
       (2)计算长与高：        高：9÷(1+125%)=4(厘米)        长：9－4=5(厘米)        (3)原长方体的表面积：         (5×4+5×3+4×3)2        =47×2        =94(平方厘米)        (4)圆柱体的侧面积：        3.14×2×1=6.28(平方厘米)        (5)打孔后长方体的表面积：         94+6.28×6        =94+37.68        =131.68(平方厘米)    答：打孔后这个长方体的表面积是131.68平方厘米。
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三视图不是分正视图，侧视图，俯视图吗，按照这样的规则画就是了
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