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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(43，13)．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2，求点Q的轨迹方程．
题型：解答题难度：中档来源：四川
（I）∵椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(43，13)．∴c=1，2a=PF1+PF2=(43+1)2+19+(43-1)2+19=22，即a=2∴椭圆的离心率e=ca=12=22…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为x22+y2=1，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-355）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则|AM|2=(1+k2)x1&2，|AN|2=(1+k2)x2&2，又|AQ|2=（1+k2）x2，2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2∴2(1+k2)x2=1(1+k2)x1&2+1(1+k2)x2&2，即2x2=1x1&2+1x2&2=(x1+x2)2-2x1x2x1&2x2&2…①将y=kx+2代入x22+y2=1中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，得k2＞32由②知x1+x2=-8k2k2+1，x1x2=62k2+1，代入①中化简得x2=1810k2-3…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=y-2x，代入③中并化简得10（y-2）2-3x2=18由③及k2＞32可知0＜x2＜32，即x∈（-62，0）∪（0，62）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，又由10（y-2）2-3x2=18得（y-2）2∈[95，94）且-1≤y≤1，则y∈（12，2-355）所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）2-3x2=18，其中x∈（-62，62），y∈（12，2-355）…13分
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据魔方格专家权威分析，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，..”主要考查你对&&曲线的方程，动点的轨迹方程，椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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曲线的方程动点的轨迹方程椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
曲线的方程的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 求曲线的方程的步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件的p（M）的集合，P={M|p（M）}； （3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0； （4）化方程f（x，y）=0为最简形式； （5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。求曲线的方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件的p（M）的集合，P={M|p（M）}； （3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0； （4）化方程f（x，y）=0为最简形式； （5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线方程的常用方法：
（1）待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。（2）直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。（3）定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。（4）交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。（5）参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系，然后通过消参得出其直接关系。（6）相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系，来求曲线方程的方法。&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&&椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。 2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。 3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。 4、焦距：。 5、离心率：；&离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆； 6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。。利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．
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与“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，..”考查相似的试题有：
293445621819402945440035265724395373Bad Request (Invalid URL)设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=又/2三点的圆恰好与直线l：x-根号3y-3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．．-乐乐题库
& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(...”习题详情
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设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=2三点的圆恰好与直线l：x-√3y-3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-天津模拟
分析与解答
习题“设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=又/2三点的圆恰好与直线l：x-根号3y-3=0相...”的分析与解答如下所示：
（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知F2A=(-c，b)，AQ0，-b)∵F2A⊥AQ0-b2=0，x0=-b2c1F2+F2Q=1为F2Q中点．故-b2c+c=-2c∴b2=3c2=a2-c2，故椭圆的离心率e=12，（3分）（2）由（1）知ca=12，得c=12a于是F2（12a，0）Q(-32a，0)，△AQF的外接圆圆心为（-12a，0），半径r=12|FQ|=a所以|-12a-3|2=a，解得a=2，∴c=1，b=√3，所求椭圆方程为x24+y23=1，（6分）（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x-1）{y=k(x-1)x24=1代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=8k23+4k21+y2=k（x1+x2-2），（8分）PM1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x1+x2-2m，y1+y2）由于菱形对角线垂直，则(PM1+y2）+x1+x2-2m=0则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0k2(8k23+4k2-2)+8k23+4k2-2m=0（10分）由已知条件知k≠0且k∈R∴m=k23+4k2=13k2+4∴0＜m＜14故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜14．（12分）
当直线与圆锥曲线相交时 & 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 & 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
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设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=又/2三点的圆恰好与直线l：x-根号3y...
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经过分析，习题“设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=又/2三点的圆恰好与直线l：x-根号3y-3=0相...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
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直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“设椭圆C：x2/a2+又y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=又/2三点的圆恰好与直线l：x-根号3y-3=0相...”相似的题目：
已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点，A（0，b），连接AF1并延长交椭圆C于B点，若AF1=321B，AB2=5，（1）求椭圆C的方程；（2）设P是直线x=5上的一点，直线PF2交椭圆C于D、E两点，是否存在这样的点P，使得AD&&&&
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+√3和2-√3．（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；（3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆x24+y22=1的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为θ(θ∈(0，π2])，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．
如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l相交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q，则必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上．（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是正确？试证明你的判断；（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假．（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为平分依据）&&&&
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该知识点好题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于&&&&
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是&&&&
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为&&&&
该知识点易错题
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3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为&&&&
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