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如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°∴AB=AD=AC=a，在△PAB中，PA2+AB2=2a2=PB2∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）（II）作EG∥PA交AD于G∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，作GH⊥AC于H，连接EH，∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角（9分）∵PE：ED=2：1，∴EG=13a，AG=23a在△AGH中，GH=AGosin60°=23a×32=33a，∴tan∠EHG=EGGH=33，∴∠EHG=π6，即面EAC与面DAC所成二面角的大小为π6（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与平面垂直的判定与性质
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．
发现相似题
与“如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD..”考查相似的试题有：
264981274586249730245258257630283835如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=√2a,求证:PA垂直面ABCD_百度作业帮
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如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=√2a,求证:PA垂直面ABCD
如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=√2a,求证:PA垂直面ABCD
一句话天涯海角附件炎如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为64，△ABC中，|AB|＝|AC|＝72，|BC|＝2_百度作业帮
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如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为64，△ABC中，|AB|＝|AC|＝72，|BC|＝2
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，，求二面角E-AF-C的余弦值．
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（）所以 =（，-1，-a），且=（
本题考点：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
问题解析：
（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案；（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，结合直线PB与平面PAD所成角的正弦值，求出AP的长，进而求出两个半平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论．如图,在底面是菱形的四棱锥p-abcd中,角bad=60度,pa=pd,e为pc中点求证pa平行于平面ebd_百度作业帮
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如图,在底面是菱形的四棱锥p-abcd中,角bad=60度,pa=pd,e为pc中点求证pa平行于平面ebd
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（1）连接BD、AC交于F,连接EF因ABCD为菱形,F为其对角线交点则F为AC中点又E为PA中点则EF平行PC因EF在面BDE内则PC平行面BDE望采纳,谢谢知识点梳理
【平面与平面垂直的判定】定理&一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．用符号表示：l⊥α，l?β=>α⊥β．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC...”，相似的试题还有：
如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E、F分别是BC、PC的中点，PA=AB=2．(1)求证：AE⊥PD；(2)求三棱锥A-EFC的体积．
如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．(Ⅰ)若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；(Ⅱ)若PB=PD，求证：BD⊥CQ；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，P为CD的中点．(1)求证：CD⊥平面MAP；(2)求证：MP∥平面OBC；(3)求三棱锥M-PAD的体积．}