如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为y，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为y=x2-4x+3；
（2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．
解：（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0），
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，
x2?-4x+3，
∴x2-3x+3-b=0，
∵它与抛物线G只有一个公共点，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
∴向下平移了个单位；
（3）∵（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴点F的横坐标为0或4，
当横坐标为0时，y=02-4×0+3=3，
当横坐标为4时，y=42-4×4+3=3，
∴点F的坐标为F1（0，3）或F2（4，3），
此时点E的坐标为E1（2，3），
此时AE=√12+32&=√10?&，
∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+√10?）=4+2√10?；
②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴此时点E、F的坐标为E2（2，1），F3（2，-1），
∴AE=√12+12?&=√2?&，
AF=√1?2+12&=√2?&，
∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2(√2?+√2?)=4√2?&
综上所述，点E、F的坐标分别为E1（2，3），F1（0，3）或F2（4，3），此时平行四边形的周长为4+2√10?&，
或E2（2，1），F3（2，-1），此时平行四边形的周长为4√10?&；
（4）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=√10?&．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3√2?&．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
=√2?2&&，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0），
②PB与BC是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴OQ=OB-QB=3-=，
∴Q2的坐标是（，0），
③∵∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBQ≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
（1）先根据直线的解析式求出点B、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可得到抛物线G的解析式；
（2）根据平移的性质，设平移后的直线的解析式为y=-x+b，与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，再根据△=0时，有一个交点列式求出b的值，再根据平移的性质解答；
（3）因为AB是边长还是对角线不明确，所以分①AB是边长时，根据平行四边形的对边平行且相等得到EF=AB=2，从而得到点F的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标的值，从而得到点E、F的坐标；②AB是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，再结合二次函数的性质可得EF⊥AB时，满足条件，从而求出点E、F的坐标；
（4）根据点A、B、C、P的坐标可知，∠PBQ=∠ABC=45°，并求出AB、BC、PB的长度，然后分①PB与AB是对应边，②PB与BC是对应边时两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ的长度，从而点Q的坐标可得，③点Q在点B的右侧时，∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135，不存在以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，
（1）写出图中与△BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量5的取值范围；
（4）若AE=1，试求△GMN的面积．
（1）根据△ABC与△EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60°，相等，再结合平角等于180°，可以找出另外的相关的两个角的和等于120°，然后即可确定出图中所有相似的三角形；
（2）只要证明另外和等于120°的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；
（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在△ABC内；（iii）当点E在线段BA的延长线上，三种情况进行讨论；
（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB上，则△GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则△GMN是有一个角是30°的直角，分别求出两直角边，面积可求．
解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）
证明：（2）在△BEF与△AME中，
∵∠B=∠A=60°，
∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）
∵∠BEF=60°，
∴∠AEM+∠BEF=120°，
∴∠BEF=∠AME，（1分）
∴△BEF∽△AME；（1分）
解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，
∵△BEF∽△AME，
∴BE：AM=BF：AE，
即：x：AM=2：（3-x），
同理可证△BEF∽△CFN；
∴BE：CF=BF：CN，
即：x：1=2：CN，
∵AC=AM+MN+CN，
∴y=3-3x2+6x-4
（1≤x≤3）；
（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，
同上可得：AM=2+3x
∵AC=AM+CN-MN，
∴y=-2-3x2+6x-4
（0＜x≤1）；
（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，
∵AC=MN+CN-AM，
∴3=y+-2-3x
∴y=3-3x2+6x-4
（x＞3）；
综上所述：y=-3-3x2+6x-4
（0＜x≤1），
或∴4=3-3x2+6x-4
（x≥1）；
（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，
∴S△GMN=×1×=；（1分）
（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，
∴y=3-3&×42+6×4-4
=，NG=FG-FN=4×-1×=3，
∴S△GMN=××=．（2012o泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．己知抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A，B两点，（A在B的左侧），与y轴交于C，若OB=OC，且C（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
③在抛物线上是否存一点M，过M作MN⊥x轴于N，以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．
（1）根据OB=OC，可得到C点的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，易求得∠CBO=∠ADP=45°；
当P点在x轴上方时，若∠ACB=∠APD，则△APD∽△ACB，可先求出AB、BC、AD的长，然后根据相似三角形得到的比例线段求出DP的长，从而确定P点的坐标．
当P点在x轴下方时（设为P′），点P′正好和上面所得P点关于x轴对称，由此得解．
（3）此题需要考虑的情况较多，根据A、C的坐标，易知OA=3OC，而∠AOC=∠ANM=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，则：AN=3MN或3AN=MN，可设出点M的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出AN、MN的长，进而根据上面两种情况中不同的等量关系求得点M的坐标．（要注意的是，在表示AN、MN的长时，要根据点M的不同位置分类讨论）
（1）易知B（3，0），C（0，3），代入抛物线的解析式中，得：
$\left\{\begin{array}{l}9a-12a+b=0\\b=3\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=3\end{array}$；
∴y=x2-4x+3．
（2）如图；
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3$\sqrt{2}$；
易知A（1，0），D（2，-1），
则∠ADP=45°，AD=$\sqrt{2}$，AB=2；
∴∠ABC=∠ADP=45°；
①当点P在x轴上方时，
已知∠APD=∠ACB，则△APD∽△ACB，得：
$\frac{PD}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{PD}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故PD=3，P（2，2）；
②当点P在x轴下方时，此时P′、P关于x轴对称，故P′（2，-2）；
因此有两个符合条件的P点，且坐标为P（2，2）或（2，-2）．
（3）∵A（1，0），C（0，3），
∴OC=3OA=3；
又∠AOC=∠ANM=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，
则AN=3MN或3AN=MN；
设M（m，m2-4m+3），则N（m，0）；
①当m＜1时，AN=1-m，MN=m2-4m+3；
若AN=3MN，1-m=3（m2-4m+3），解得m=$\frac{8}{3}$，m=1；
若3AN=MN，3（1-m）=m2-4m+3，解得m=0，m=1；
由于m＜1，且m≠0，故上述四个解都不符合题意；
②当1＜m＜3时，AN=m-1，MN=-（m2-4m+3）；
若AN=3MN，m-1=-3（m2-4m+3），解得m=1（舍去），m=$\frac{8}{3}$；
若3AN=MN，3（m-1）=-（m2-4m+3），解得m=0（舍去），m=1（舍去）；
故M（$\frac{8}{3}$，-$\frac{5}{9}$）；
③当m＞3时，AN=m-1，MN=m2-4m+3；
若AN=3MN，m-1=3（m2-4m+3），解得m=1（舍去），m=$\frac{10}{3}$；
若3AN=MN，3（m-1）=m2-4m+3，解得m=1（舍去），m=6；
故M（$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{9}$）或（6，5）；
综上所述，存在符合条件的M点，且坐标为：M1（$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{9}$），M2（6，5），M3（$\frac{8}{3}$，-$\frac{5}{9}$）．已知：如图，BD、CE交于点O，∠ADE=∠ABC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？
（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．
（1）利用有两对角相等的两个三角形相似即可证明；
（2）相似，有（1）可知：，再加公共角A即可证明△ABD与△ACE相似；
（3）有（1）和（2）可知：△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．
解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）相似．
证明：∵△ADE∽△ABC；
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE；
（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．}