3.2解一元一次方程（一）合并同类项与移项（第一课时）教学设计
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合并同类项与移项是解方程的基础，解方程其移项根据是等式性质1、系数化为1其根据是等式性质2，解方程是今后进一步学习不可缺少的知识。因而，解方程是初中数学中必须要掌握的重点内容。
　　学生已学会了有理数运算，掌握了单项式、多项式的有关概念及同类项、合并同类项，和等式性质，进一步将所学知识运用到解方程中，虽然所教班级的学生受基础知识和思维发展水平的限制，抽象概括能力不强，但学生上进心强，有强烈的好奇心和好胜心，初步养成了与他人合作交流、勇于探索的良好习惯。
【教学目标】
（一）知识技能
1.掌握解方程中的合并同类项.
2.理解并掌握移项变号法则进行解方程.
3.灵活的运用移项变号法则解决一些实际问题.&
（二）数学思考
使学生在解决问题的过程中进一步体验方程是刻画现实世界的一个有效的模型，感受方程的作用.
（三）解决问题
能够用合并同类项和移项法则解相应的一元一次方程；能够解决相关实际问题．
（四）情感态度
解方程时渗透数学变未知为已知的数学思想，培养学生独立思考问题的能力
　【教学重点】
利用合并同类项、移项变号法则解方程．
【教学难点】
合并同类项&、移项变号法则．
【学习过程】
一、新课导入
1.约公元825年，数学家阿尔－花拉子米写了一本代数书，重点论述了怎样解方程．这本书的译本名称为《对消与还原》．“对消”“还原”是什么意思呢？我们先讨论下面的内容，然后再回答这个问题。
2.引导学生探索新知
问题1：某校三年共买了新桌椅270套，去年买的数量是前年的2倍，今年又是去年的3倍，前年这个学校买了多少套桌椅？
【师生活动】
　　教师：同学们，在我们生活中存在很多这样的问题，请你帮忙解决一下，你准备怎么做，谁能说一说自己的想法。&请说出你的理由？
学生：我准备用方程解决这个问题。用方程解比较简单，设出的未知数就可以当成已知的条件来用了。
&&& 教师：那我们就按这位同学的意思用方程的方法来解，哪位同学能说一下第一步应当先干什么呢？举手回答。
&&& 学生：先设出未知数，因数去年的数量和前年的数量有关，今年的数量又和去年数量有关，因此设前年购买新桌椅x套，可以表示出：去年购买了2x套，今年购买了6x套。
&&& 教师：未知数设了，下一步应该做什了呢？
&&& 学生：列方程。
&&&&教师：列方程的根据是什么？
&&& 学生：相等关系是，前年购买的桌椅＋去年买的桌椅＋今年买的桌椅＝270套。
&&& 教师：谁说一下？
学生：x＋2x＋6x＝270
教师：请同学们仔细观察等号左边的三个代数式有什么特点？
&&& 学生：都含有字母x，并且x的指数相同都是1.
教师：我们在第二章的内容中学习了，具有这们特点的式子我们把它们叫什么？
学生：同类项。
教师：提到同类项了，我们就会想到什么？
学生：合并同类项
教师：谁还记得怎么合并同类项？
学生：同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。
教师：我们共同说一个x＋2x＋6x合并后的结果为
教师：此时方程就变成了9x＝270，我们要求的是x而不是9x，如何求出x？
学生：根据等式性质2两边都除以9，得到x＝30
活动：从上述方程的解决你能发现什么？
教师：同学们仔细观察原来9x的系数是9，后来根据等式的性质2两边都除以9后得到了x，此时x的系数是1，这个过程我们把它叫做系数化为1。“系数化为1”指的是使方程的一边ax化为x现在我们把这个问题解决了，请同学们仔细回忆一下我们是怎么做的。这里可能还有其他设未知数的方法（比如设今年的为x台）若出现这种情况，请同学分析比较多种解决方案中的简易，找到最简方法．
教师：请同学们思考上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
学生：起到了化简的作用。
教师：出示例题－3x+0.5 x＝10
学生：在练习本上做，然后集体订正。
巩固练习：第89页 练习的（2）（4）．
二、问题引申、共同探究
让学生在活动中发现移项变号法则，培养学生用方程的意识解决数学中的实际的。
问题2： 把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问这个班有多少名学生？
学生活动：
学生独立思考，发现若设这个班有x名学生。
每人分4本时，共分出书的总数为4x ，加上剩余的2本，这些书的总数为（4x＋2）本。
每人分5本时，需要书的总数为5x本，减去缺的5本，这些书的总数是（5x－5）
于是这些书有两种表示方法，书的总数不变，根据这个等量关系，得到方程4x＋2＝5x－5．
教师活动设计：让学生体会运用方程的优点，同时学生可能发现多种解决方案（比如设数的总数是x，则可以列出相应的方程）同样让学生进行比较，发现最佳方法．
思考：对于方程4x＋2＝5x－5两边都含有x，如何把它向x＝a的形式转化？
学生活动设计：学生主动探究解决问题的方法，为了达到解方程的目的，可以运用等式性质1，把等式的两边同时减去5x，则等号的右边没有了x的项4x－5x＋2＝－5，再把等式的两边同时减去2，则方程的左边没有了常数项，于是得到4x－5x＝－5－2，然后转化为我们所熟悉的形式，进行合并便可以解决该问题了。
教师活动设计：在学生解决问题的过程中，让学生自己观查发现变形的特点，从而让他们总结出移项变号．
活动：让学生观察由方程4x＋2＝5x－5得到方程4x－5x＝－5－2的这一过程，你们能发现什么？
师生共同归纳：
把等式的一边的某项变号后移到另一边，叫作移项（依据是等式性质1）．
教师：上面解方程中“移项”起了什么作用？
学生：自由发言
教师：解释“对消”与“还原”就是指“合并同类项”和“移项”
三、巩固练习
应用移项与合并同类项解方程，进一步深化解方程的过程。
例： 解下列方程．
（1）3x+5＝4 x+1；&&&&& （2）9－3y＝5y+5 ；&& ．
学生活动设计：找两个学生上黑板板演，在板演后，让学生对以上同学的做法进行评价，寻找问题所在，表达问题产生的原因，找到正确的方式方法．
教师活动设计：引导学生对解方程的过程进行独自体验，进一步感受解方程的过程．
〔解答〕（1）移项，得
3x－4x＝1－5，
合并同类项，得
－x＝－4，
系数化为1，得
〔解答〕（2）移项得，
－3y－5y＝5－9，
－8y＝－4，
系数化为1得，
四、拓展应用
解决实际问题，培养学生思维的深刻性
问题1：老师的学校距离林东镇20公里，公共汽车行驶0.5小时正好走完全程，求公共汽车的平均速度．
问题2：如果老师的学校距离林东镇20公里，公共汽车0.5小时所走的路程大于全程，求公共汽车的平均速度．能不能用方程来解答？为什么？
【师生活动】
学生口头解答问题1，尝试解答问题2，并在小组内交流讨论．
教师引导学生通过对问题2的思考，归纳、概括出列方程解实际问题的关键为：找相等关系．
教师要重点关注学生能否根据方程的定义想到列方程解应用题要找相等关系．
【设计意图】
通过对问题1的解答，使学生回顾列方程解应用题的六个步骤．同时使学生认识到方程是解决实际问题的一种工具．
通过对问题2的探究，使学生知道为什么列方程解应用题要找相等关系，使学生经历知识的形成过程．最终达到知其然知其所以然的目的．
例2：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，
则顺流的速度为&&&&&&& 千米/时；逆流的速度为&&&&&&&&&& 千米/时．
顺流的路程=&&&&&&&&&&&&&&&&& ，逆流的路程&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ．
相等关系为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ．
1.在设未知数时，为什么首选船在静水中的平均速度作为未知数x？
2.怎样求甲乙两个码头之间的距离？
【师生活动】
学生自主完成空白部分，完成后组内交流．为下节课的内容做基础。
教师巡视指导，关注学生能否找准相等关系．请学生展示，并讲解解答思路．
学生独立列方程并解方程．
教师找部分学生板演并讲解思路．
教师关注学生能否正确解方程．
【设计意图】
通过空白部分的填写，给学生更多的思考空间，促进学生积极思考，发展学生的思维．同时通过空白部分的引领，降低问题的难度，从而将难点锁定在找相等关系上．避免难点太多，造成无从下手，重点、难点不突出的情况．利于学生形成正确的思维过程．
五、课堂小结
学生谈本节课的收获，教师进行总结。
六、作业布置
必做题：课本93页1、3题
1.洗衣机厂今年计划生产洗衣机25 500台，其中 Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为 1:2:14，这三种洗衣机计划各生产多少台？
2.用一根长60m 的绳子围出一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各应是多少？
板书设计：
解一元一次方程
1.合并同类项起的作用：化简
2.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
注意：移项变号。
例1（1）移项，得
3x－4x＝1－5，
合并同类项，得
－x＝－4，
系数化为1，得
七、教学反思
&&& 实施开放式教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式。让学生从熟悉的生活实例出发，探索获得同类项概念，体验知识的形成过程，体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法。教师只是整个教学活动的组织者和指导者，体现了以人为本的现代教学理念。
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解方程软件
语言种类：简体中文
版 本 号：1.1
发布日期：
文件大小：3296K
软件等级：
系统平台：Win 95/98/ME/2000/XP/2003/vista
软件厂商：
软件类型：共享
厂商邮件：
界面预览：暂无
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软件简介：该软件(SolveEquation)实现了解方程的计算方法。主要包括多元方程组(线性方程组)的数值解法、非线性方程的数值解法常微分方程的数值解法。
解方程软件
　　线性方程组的数值解法：
线性方程组亦即多元一次方程组。在自然科学与工程技术中，很多问题的解决常常归结为解线性方程组，如电学中的网络问题，船体数学放样中的建立三次样条函数问题，机械和建筑结构的设计和计算等等。因此，如何利用电子计算机这一强有力的计算工具去求解线性方程组，是一个非常重要的问题。线性方程组的解法分直接（解）法{是指在没有舍入误差的假设下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的方法。}和迭代（解）法{是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即是从一个初始向量x0出发，按照一定的迭代格式产生一个向量序列xk，使其收敛到方程组A*x=b的解}。该部分就是针对线性方程组求解而设计的，内容包括：线性方程组的直接解法：Gauss消去法、Gauss列主元消去法、Gauss全主元消去法、列主元消去法应用『列主元求逆矩阵、列主元求行列式、矩阵的三角分解』、LU分解法、平方根法、改进的平方根法、追赶法(解三对角)、列主元三角分解法；线性方程组的迭代解法：雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法、逐次超松驰迭代法；迭代法的收敛性『正定矩阵判断、向量范数、矩阵范数、严格对角站优矩阵判断』。
非线性方程的数值解法：
在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了广大科技工作者迫切需要解决的问题。该部分就是针对这一问题而设计的，内容包括：二分法、迭代法、迭代加速法、埃特金加速法、牛顿切线法、弦截法。
常微分方程的数值解法：
常微分方程的求解问题在实践中经常遇到，但我们只知道一些特殊类型的常微分方程的解析解。在科学和工程问题中遇到的常微分方程的往往很复杂，在许多问题中，并不需要方程解的表达式，而仅仅需要获得解在若干点的就算解即可。因此，研究常微分方程的的数值解就很有必要。该部分就是针对这些而设计的，内容包括：欧拉(Euler)方法、龙格库塔(Runge-Kutta)方法、线性多步方法
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非方程就是与之间的关系不是线性的关系这类方程很多例如平方关系对数关系指数关系等等求解此类方程往往很难得到精确解经常需要求近似解问题相应的求近似解的方法也逐渐得到大家的重视
所谓非方程就是与之间的关系不是的非线性方程关系这类方程很多例如平方关系对数关系指数关系三角函数关系等等这些方程可分为两类一种是方程一种是非多项式方程年中国宋朝的沈括在梦溪笔谈中提出和开始高阶等差的研究十一世纪阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根
十一世纪阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书
十一世纪埃及的阿尔·海赛姆解决了海赛姆问题即要在圆的平面上两点作两条线相交于上一点并与在该点的法线成
十一世纪中叶中国宋朝的贾宪在黄帝九章算术细草中非线性方程书籍创造了开任意高次幂的增乘开方法并列出了表这是现代组合数学的早期发现后人所称的即指此法十二世纪印度的拜斯迦罗著立刺瓦提一书这是东方算术和计算方面的重要著作
1202年意大利的裴波那契发表计算之书把印度阿拉伯记数法介绍到西方
1220年意大利的裴波那契发表几何学实习一书介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例
1247年中国宋朝的秦九韶著数书九章共十八卷推广了增乘开方法书中提出的联立一次的解法比西方早五百七十余年
1248年中国宋朝的李治著测圆海镜十二卷这是第一部系统论述的著作
1261年中国宋朝的杨辉著详解九章算法用求出几类高阶等差级数之和
1274年中国宋朝的杨辉发表乘除通变本末叙述九归捷法介绍了筹算乘除的各种运算法
1280年元朝授时历用编制日月的方位表(中国 王恂郭守敬等)
十四世纪中叶前中国开始应用珠算盘1303年中国元朝的朱世杰著四元玉鉴三卷把推广为1464年德国的约·米勒在论各种三角形(1533年出版)中系统地总结了三角学
1494年意大利的帕奇欧里发表集成反映了当时所知道的关于算术代数和的知识1545年意大利的卡尔达诺费尔诺在大法中发表了求一般代数解的公式
年意大利的邦别利出版代数学其中引入了完全解决了的代数解问题
1591年左右德国的在美妙的中首次使用字系数的一般符号推进了代数问题的一般讨论
年德国的奥脱皮提斯库斯完成了六个的每间隔10秒的十五位表1614年英国的耐普尔制定了对数
1615年德国的开卜勒发表酒桶的立体几何学研究了的体积
1635年意大利的发表不可分连续量的几何学书中避免用不可分量制定了一种简单形式的
1637年法国的笛卡尔出版几何学提出了把变量引进数学成为数学中的转折点
1638年法国的费尔玛开始用求极大极小问题
1638年意大利的伽里略发表关于两种新科学的数学证明的论说研究距离速度和加速度之间的关系提出了无穷集合的概念这本书被认为是伽里略重要的科学成就
1639年法国的迪沙格发表了企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案这是近世的早期工作
1641年法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的
1649年法国的帕斯卡制成它是近代计算机的先驱
1654年法国的帕斯卡费尔玛研究了概率论的基础
1655年英国的瓦里斯出版无穷算术一书第一次把扩展到
1657年荷兰的惠更斯发表了关于的早期论文论机会游戏的演算
1658年法国的帕斯卡出版通论对摆线进行了充分的研究
年(年)先于莱布尼茨(年)制定了微积分莱布尼茨(年)早于牛顿(年)发表了微积分
1669年英国的雷夫逊发明解非方程的牛顿雷夫逊方法
1670年法国的费尔玛提出费尔玛大定理
1673年荷兰的惠更斯发表了摆动的时钟其中研究了平面曲线的渐屈线和
1684年德国的莱布尼茨发表了关于的著作关于极大极小以及切线的新方法
1686年德国的莱布尼茨发表了关于的著作
1691年瑞士的约·贝努利出版微分学初步这促进了微积分在和力学上的应用及研究
1696年法国的洛比达发明求不定式极限的洛比达法则
1697年瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题发现最速和1704年英国的发表三次曲线枚举利用无穷级数求曲线的面积和长度流数法
1711年英国的发表使用级数流数等等的分析
1713年瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作猜度术
1715年英国的布·泰勒发表增量方法及其他
1731年法国的克雷洛出版关于双重曲率的曲线的研究这是研究空间解析几何和的最初尝试
1733年英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线
1734年英国的贝克莱发表分析学者副标题是致不信神的数学家攻击的流数法引起所谓
1736年英国的发表流数法和无穷级数
1736年瑞士的欧拉出版力学或解析地叙述运动的理论这是用分析方法发展的质点动力学的第一本著作
1742年英国的麦克劳林引进了函数的展开法
1744年瑞士的欧拉导出了变分法的发现某些极小曲面
1747年法国的达朗贝尔等由的研究而开创论
1748年瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的无穷分析概要这是欧拉的主要著作之一
年瑞士的欧拉出版了微分学和积分学三卷书中包括论和一些特殊的函数
年法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用
1767年法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法
年法国的拉格朗日把用于代数方程式求解这是群论的开始
1772年法国的拉格朗日给出最初的特解
1788年法国的拉格朗日出版了解析力学把新发展的应用于刚体力学
1794年法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本几何学概要
1794年德国的高斯从研究测量误差提出于1809年发表
1797年法国的拉格朗日发表解析函数论不用极限的概念而用方法建立
1799年法国的蒙日创立画法几何学在工程技术中应用颇多
1799年德国的高斯证明了代数学的一个基本定理实系数必有根如何求解第一类方程现在已经有了比较成熟的理论和方法现在比较常用的一种数值方法是他能够通过迭代次数的增加而越来越接近
至于如何求解第二类非方程是现在领域中的一个重点研究方向一般来说求解此类方程是采用的办法
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