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已知函数f（x）=mx+（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=aln（x﹣1）（a＞0），若函数F（x）=f（x）+g（x）与x轴有两个交点，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：月考题
解：（Ⅰ）求导函数，可得， ∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3 ∴f（2）=3，f′（2）=0 ∴，∴或，由于m，n∈Z，所以，则．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x﹣1）+，定义域为（1，+∞），F′（x）=，由于a＞0，令F′（x）=0，得 当x∈时，F′（x）＜0，知F（x）在x∈时单调递减，同理，F（x）在x∈时单调递增所以F（x）min=F=a﹣alna 令a﹣alna＜0，即a＞e时，函数F（x）=0有两个实数根所以a的取值范围是（a，+∞）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=mx+（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系导数的概念及其几何意义
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“已知函数f（x）=mx+（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程..”考查相似的试题有：
820657571388625493816978815422857584[精品]1同角三角函数的基本关系式关系式,函数关系式
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[精品]1同角三角函数的基本关系式
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已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：江苏同步题
解：(1)方程f(x)=x，即ax2+bx=x，亦即ax2+(b-1)x=0，由方程有两个相等实根，得Δ=(b-1)2-4a×0=0， ∴b=1，① 由f(2)=0，得4a+2b=0，② 由①、②得，a=-，b=1，故f(x)=-x2+x。(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤，则2n≤，即n≤，∵f(x)=-(x-1)2+的对称轴为x=1， ∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数，于是有，即，∴，又m＜n≤，∴，故存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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与“已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且..”考查相似的试题有：
559265436256558690254748270716291003已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，f0=1求fx 解析式_百度知道
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，f0=1求fx 解析式
求fx（1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad）值值
提问者采纳
f(x+1)-f(x)=2xf(0)=1,所f(1)=1,f(-1)=3设f(x)=ax^2+bx+c带入f(0)=1,f(1)=1,f(-1)=3解a=1,b=-1,c=1所f(x)=x^2-x+1f(x)=(x-1/2)^2+3/4所x=1/2值3/4,x=-1值3应该闭区间吧
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设f(x)=ax^2+bx+1 f(x+1)-f(x)=2x f(x)=x^2-x+1 称轴x=1/2
（-1,1）值f(-1)=3,值f(1/2)=3/4
由条件可知f（1）=1，,f(-1)=3加上条件f(0)=1用待定系数法立出待定系数a,b,c的方程组，解出a=1,b=-1,c=1，于是f(x)的解析式是f(x)=x^2-x+1
你待定系数法求得函数解析式，就出来了。
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当-1≤x＜0时，则：0＜-x≤1f（x）=-x-1，f（-x）=-（-x）+1=x+1f（x）-f（-x）＞-1，即：-2x-2＞-1，得：x＜-1/2又因为：-1≤x＜0所以：-1≤x＜-1/2当0＜x≤1时，则：-1≤-x＜0此时：f（x）=-x+1，f（-x）=-（-x）-1=x-1f（x）-f（-x）＞-1，即：-2x+2＞-1，得：x＜3/2又因为：0＜x≤1所以：0＜x≤1综上，原不等式的解集为：[-1，-1/2）∪（0，1]故答案为：[-1，-1/2）∪（0，1]
f(x)=2f(1/x)(根号x)-1以1/x替换以上的x，得：f(1/x)=2f(x)(根号1/x)-1所以：f(x)=2f(1/x)(根号x)-1=2[2f(x)(根号1/x)-1](根号x)-1=4f(x)-2(根号x)-1所以：3f(x)=2(根号x)+1f(x)=(2(根号x)+1)/3
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