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设f0(x)=xoex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N+）．（1）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；（2）求fn（x）的极小值；（3）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，求a-b的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由题意可得，f1(x)=(x+1)oex，f2(x)=(x+2)oex，f3(x)=(x+3)oex，…，猜测出fn（x）的表达式fn(x)=(x+n)oex(n∈N*)．（2）由（1）可知，fn(x)=(x+n)oex(n∈N*)，∴f′n(x)=(x+n+1)oex，令f′n（x）=0，解得x=-（n+1），∵当x＞-（n+1）时，f'n（x）＞0，当x＜-（n+1）时，f'n（x）＜0，∴当x=-（n+1）时，fn（x）取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，即fn（x）的极小值为yn=-e-(n+1)(n∈N*)．（3）∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，∴当x=-（n+1）时，gn（x）取最大值，即a=gn(-(n+1))=(n-3)2，又∵b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，∴a-b=（n-3）2+e-（n+1），问题转化为求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值．解法1（构造函数）：令h（x）=（x-3）2+e-（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x-3）-e-（x+1），又h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e-1，又∵h'（3）=-e-4＜0，h'（4）=2-e-5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0，又h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴0≤x＜x0时，h'（x0）＜0，当x＞x0时，h'（x0）＞0，即h（x）在区间[x0，+∞）上单调递增，在区间[0，x0）上单调递减，∴（h（x））min=h（x0）．又∵h（3）=e-4，h（4）=1+e-5，则h（4）＞h（3），∴当n=3时，a-b取得最小值e-4′．解法2（利用数列的单调性）：∵cn+1-cn=2n-5+1en+2-1en+1，∴当n≥3时，2n-5≥1，1en+2＞0，1en+1＜1，∴2n-5+1en+2-1en+1＞0，∴cn+1＞cn．∵c1=4+1e2，c2=1+1e3，c3=1e4，c1＞c2＞c3，∴当n=3时，a-b取得最小值e-4．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f0(x)=xoex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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与“设f0(x)=xoex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（..”考查相似的试题有：
559414766603492963281513492585264101当前位置：
＞＞＞二次函数y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，n，…时..
二次函数y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，n，…时，图象在x轴上截得的线段的长度的总和为
A．1B．2C．3D．4
题型：单选题难度：中档来源：月考题
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据魔方格专家权威分析，试题“二次函数y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，n，…时..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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＞＞＞已知函数f（x）=lnx-x（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式af（x）≥x-12..
已知函数f（x）=lnx-x（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式af（x）≥x-12x2在x∈（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；（3）n∈N+，求证：1ln2+1ln3+…+1ln(n+1)＞nn+1．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f（x）=lnx-x，∴f′（x）=1x-1=1-xx，定义域为（0，+∞），令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1；∴f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），（2）∵af（x）≥x-12x2在x∈（0，+∞）内恒成立，∴12x2+alnx-（a+1）x≥0在x∈（0，+∞）内恒成立，令g（x）=12x2+alnx-（a+1）x，∴g′（x）=x+ax-（a+1）=(x-a)(x-1)x，①若a≤0时，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=12-（a+1）≥0，解得a≤-12，又a≤0，故a≤-12，②若0＜a≤1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）g′（x）+0-0+g（x）增极大值减极小值增又g（1）=12-（a+1）＜0，故不满足要求③若a＞1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下 x（0，1）1（1，a）a（a，+∞）g′（x）+0-0+g（x）增极大值减极小值增同理g（1）=12-（a+1）＜0，故也不满足要求综合上述，要使不等式af（x）≥x-12x2在x∈（0，+∞）内恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，-12]；（ 3）由（ 2）知当a=-12时，g（x）=12x2-12lnx-12x≥0，即lnx≤x2-x（x=1取等号）∴当x＞1时，1lnx＞1x2-x=1(x-1)x=1x-1-1x令x=2，3，…n，则有1ln2＞1-12，1ln3＞12-13，…，1ln(n+1)＞1n-1n+1，相加得1ln2+1ln3+…+1ln(n+1)＞1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．
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函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=lnx-x（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式af（x）≥x-12..”考查相似的试题有：
558126481432279280560732561643497267已知二次函数gx=mx∧2-2mx+n+1 m＞0在区间 0，3 (是闭区间)上有最大值4，_百度知道
已知二次函数gx=mx∧2-2mx+n+1 m＞0在区间 0，3 (是闭区间)上有最大值4，
最小值01 求函数gx的解析式2 设fx=gx-2x/x,若f(2∧x)-k×2∧x≦0在x∈-3,3(闭区间)时恒成立，求k的取值范围
来自福建师范大学协和学院
g(x)=mx^2-2mx+n+1=m(x-1)^2+n+1-m^2∵m&0,1∈[0,3],3-1&1-0∴g(1)=n+1-m^2=0护笭份喝莓估逢台抚郡g(3)=9m-6m+n+1=4解得：m=-4,n=15(舍去);m=1,n=0g(x)=x^2-2x+12）f(x)=[g(x)-2x]/x=x+1/xf(2^x)-k*2^x=(1-k)*2^x+1/2^x≤0(1-k)*2^(2x)≤-1∵2^(2x)&0∴1-k&0因此，(1-k)*2^(2x)单调递减(1-k)*2^(2*3)≤-1k≤65/64
梁玮玮&&学生
梁玮玮&&学生
高涵&&学生
郑丹苹&&学生
王川&&学生已知a=（2sinx,m）,b=（sinx+cosx,1），函数f（x）=ab若f（x）的最大值为根号2．求m的值．_百度知道
已知a=（2sinx,m）,b=（sinx+cosx,1），函数f（x）=ab若f（x）的最大值为根号2．求m的值．
0）个单位后（2）． 若将f（x）向左平移n（n&gt，关于y轴对称
提问者采纳
8.f（x）=ab=2(sinx)^2+sin2x+m=1-cos2x+sin2x+m=（根号2）*sin(2x-pi/4)+m+1所以 f（x）的最大值=（根号2）+m+1=根号2所以 m=-12，离x轴最近的对称轴为x=3pi&#47.由（1）得,so要关于y轴对称，则n=3pi&#471
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