一个袋中装有五个形状大小完全相同的球，其中红球3个，白球2个，从袋中随机抽取一个球，取后不放回，然后再取一个球(1)求取出两个球都是红球的概率(2)如果第一次取出的是红球，求第二次取出的仍是红球的概率
一个袋中装有五个形状大小完全相同的球，其中红球3个，白球2个，从袋中随机抽取一个球，取后不放回，然后再取一个球(1)求取出两个球都是红球的概率(2)如果第一次取出的是红球，求第二次取出的仍是红球的概率
十分之三&&&&&&&&&&&&& 十分之一
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十分之一，二分之一
十分之三，二分之一
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羽毛球领域专家初中学生学习统计或概率的评价方案(包括评价方法,评价指标)
(&甘肃平凉崆峒三期初中数学一班 )
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一、新增内容的教学主题的设计意图
本次新的数学课程改革反映在教学中的一个明显变化是，增加了许多新内容。对于这些新增内容，客观上我们存在以下几个方面的问题：
1．新增内容的教学设计的理论与实践研究不够；
2．对学生学习这部分知识的情况也缺乏了解；
3．数学教师自身在这些新知识方面的生疏。
为了更好地实施新课程，我们的建议是：
一方面，我们要不断地学习，完善充实自身的知识储备；
另一方面，要不断积累经验，分享资源。
所以，本着这样的两条原则，我们选这个主题作为研讨的第二个专题。
统计与概率的内容虽然在过去也有，但现在无论从教学目标，还是教学要求上来看，与过去相比都有了许多新变化。因此，我们以统计与概率教学内容为例，看看新增内容在教学中的一些问题：
二、案例与问题
案例1．数据的收集与整理
课题：喜欢哪种动物的同学最多??全面调查举例（第1课时）
1、& 了解全面调查收集数据的方法；
2、& 会设计简单的调查问卷收集数据；
3、& 会用表格整理数据。
过程与方法
从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，培养学生用数据说理的能力。
情感、态度、价值观
经历全面调查的过程，培养学生的应用意识和实践能力，在小组学习的活动中学会与人合作。
全面调查的过程（收集数据、整理数据）
收集、整理数据。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 教学过程设计
师生活动过程
从生活中实例入手，激发学生的热情和兴趣，创设情境，让学生感受到数据与人们现实生活联系紧密，体会数据在现实生活中的作用。
上个月我校开展了第二届教学开放周活动，主要的目的是使家长了解学校，通过听课了解自己的孩子在校的学习情况。同时通过调查使学校了解到家长对年级组长及班主任的满意度是100%，对任课教师的授课水平的满意度是97%，对学生在课上的表现满意度是85%。 问题：学校为什么要开展这个活动？统计这些数据的目的是什么？ 学生：思考回答 出示课题：数据的收集与整理。 一、收集数据 问题：要调查全班同学希望开展哪种小型比赛活动的情况？可以采取什么方式？ 学生想到：（举手、访问、问卷调查等）的方式。 本节课：采用问卷调查的方式来收集数据。 调 查 问 卷
了解全班同学希望开展哪种小型比赛活动的情况
班级 性别 年龄
你最希望的活动编号（ ）（在括号中只写一种） ①拔河 ②跳绳 ③篮球④知识竞赛 ⑤文艺比赛
请放心答卷，一切个人资料绝对保密，谢谢合作！
学生填写调查问卷。这个过程是收集数据的过程。 问题：通过这份调查问卷怎么知道全班同学最希望开展哪种小型比赛活动的情况？ 二、整理数据
全班同学希望开展哪种小型比赛活动的人数分布表
让学生从事整理数据的过程，感受利用表格整理数据的优越性。
从表格中你能得出哪些信息？ 使学生体会利用表格整理数据的好处。 三、描述分析数据
问题：为了更形象、直观的反映出全班同学喜爱
使学生体会统计图表示数据的有效性，感受信息技术与学科整合的优越性
培养学生的应用意识和实践能力，在小组学习的活动中学会与人合作
通过问题串的形式，使学生归纳梳理本节课所学内容和方法。
使学生巩固提高
某种动物的情况，经常利用统计图对数据进行描述，在小学你都学习过哪几种统计图？ 教师利用计算机制作条形图、扇形图展示。引导学生读出图表中的信息，并说出他们的特点。 师归纳：全面调查概念
各小组将课下收集的数据利用表格进行整理，并交流展示。组长汇报具体内容如下：（1）调查目的（2）调查对象（3）收集数据的方式（4）展示统计表格（5）展示统计图（6）得出的结论及合理性建议。
1、本节课学了哪些知识？有什么收获？ 2、举出生活中全面调查的例子？ 3、统计调查的基本步骤是什么？为什么要进行统计调查？
小组合作完成课本P_158的5题
自己独立完成P_158的3题
1．在这节课中，教师的教学重点是什么呢？
2．全面调查就是调查全班同学吗？
新增内容的教学??以统计与概率教学为例（二）
张饴慈：首都师范大学数学科学学院&
朱文芳：北京师范大学数学科学学院&&&
《全日制义务教育数学课程标准》对7-9年级统计与概率提出如下要求：“学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。”
一、统计与概率学习与以往数学学习的差异
统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式，以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同。
1．首先是研究对象，由过去的对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，也有两种情况：
投币问题是当一枚硬币落地，究竟是国徽面还是币值面朝上，我们不能确定，但总是可以确定“非此即彼”，不存在“亦此亦彼”的问题，即这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性（随机性，Randomness）是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认识对象出现（内外）条件方面的不确定性，关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。
不确定性现象并不是都是统计与概率研究的对象。还有一种类似“两个人长得像”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。模糊性（Fuzziness）是和精确性、清晰性相对应的，表征着对象在类属、性态方面的定义是不精确的、不明晰的。
不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。
2．研究的思路与方式
数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且许多时候是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样“确定无疑”。
3．所获得的结果
统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；这是与学生以往在确定性数学的学习过程中，经常得到的是较为一般性的、演绎的结果的第三点不同之处。
统计与概率教学时，必须要注意到这些差异在学生学习过程中可能发生的影响。
二、初中统计学学习一些基本概念分析
在初中统计教学的重点是什么？
统计学是干什么的呢？实际上，它就是研究如何搜集数据和如何整理分析数据，从数据中提取信息，关键是提取信息。但是，这里面就有一个怎么搜集数据和怎么整理数据的问题。
1．抽样方法；总体与样本
学生虽然在课堂上学习了抽样的优缺点，但是毕竟不能亲身经历收集大量数据的过程，所以感受不深。
抽样讲的是如何搜集数据。由于我们希望得到的数据能正确反映实际的状况，所以采用随机地抽样。这是关键所在。
全面调查的破坏性，以及有时不可能实现；
样本与总体的相对性；
样本的代表性问题。
全面普查跟抽样要分清楚。
这两个概念，表面上看来学生还是好像很容易理解。所谓普查就是每一个都来检查；抽样就是取一部分来检查，表面上是这样，但实际上的话，什么叫普查& 什么叫抽样，要看我们所抽取的对象是谁，我研究的对象的每一个都查了，这叫普查。否则的话好像我每一个都查了，但是我想下的结论呢，要比这范围大的话，这就不是普查了，这就变成抽样了。
另外，为什么不全是普查，还要抽样呢，就是抽样的必要性是什么呢？ 可能在初中要讲清楚。我们知道全面普查有它的好处，每一个都查到了，每一个都知道了。这就很全很好。但是，它往往费时，费力。而且，可能不一定能实现。应该给学生举出这样的例子，就是说不可能做到全面普查。在一些情形下，由于一些问题，不可能全面普查。
比如说，我们想考察一个工厂生产的灯泡，它的使用时间或者是寿命，那么把这个产品抽出来以后，就去做实验，一点点了3000小时，它报废了，这个灯泡的寿命就3000小时了，那么如果这一批产品出来了，1000个也好，10000个也好，你每个都去实验，实验完了以后，所有的就都报废了。即实验完了就报废了，这批产品也就无法销售了。所以，普查也有时是不恰当的。
这种情况下，只能抽查，抽其中的一部分。所以，抽样是很有必要的。比如，还有些东西你根本做不到普查，比如湖里头有些鱼，我想了解这湖里头都有哪些鱼，有多少呢，你一般不可能把这湖里头所有鱼，都给它打出来，你也不知道是不是把它都打出来了。
所以，像这样的情形，多给学生举一些例子，让学生认识到，不得不抽样，必须要抽样。同时，抽样有它的好处，就是简单。普查的对象数量太大时，普查也有普查的缺点。像咱们国家的人口普查，它的漏查率很高。与其有漏查率，不如我抽一些有代表性的来调查。
让学生认识到抽样的优点，必要性。有的时候，实际上进行全面调查具有破坏性，我们必须要进行抽样的研究。
抽样时，我们要考虑选取怎样的方法，使得它能代表这个全体。就是说抽样方法问题。在这个抽样的方法中，还涉及到两个概念，一个是样本还有一个是总体。
总体，实际上就是我们要考察的对象的全体，像这样的一些概念，不需要去特别的深究。因为这种概念在统计学里还是比较深的，初中教学时，只要学生能理解，我要考察的全体就是总体就行。实际上这个全体，可以范围很广，比如说我生产出这一批灯泡来，这一批灯泡有1000支，我要考察这一批灯泡，这就是我的总体；如果我要买这一批灯泡，质量怎么样呢？我抽10个检查，但是作为一个厂家来说的话，他可能认为呢，我这总体不光是这1000个，还有按同样的工艺来看，我过去生产的，也是这个总体中的，甚至我还没有生产出来的，将来按同样工艺生产出来的也是总体。总体可以很抽象，但是在中学，只要学生弄清楚了，就是考察对象的全体就可以了。
样本，就是其中的一部分。关于样本，能不能代表这个总体，你这样本抽得好还是不好，这是非常重要的问题。比如我想了解这个年级的学习成绩，我找的这10个学生，都是实验班的学生，我想了解北京市学生成绩，我找的都是实验重点校的学生，这样的样本就代表性差。有没有代表性的问题，是样本的一个核心问题。
比如你在马路上随便访问一些人，那么这些人有没有代表性等等，像这样的问题，要让学生了解。但在初中也没必要去深究，怎么能够做到它有代表性，能不能有代表性，因为它有一个样本和总体的相对性问题。比如，展开全班的调查，如果我们所研究的对象就是这个全班，那么这个全班就是代表的总体。如果我们研究的对象是全校的同学，那么这个全班同学，相对来讲就是一个样本，它是全校的一个一部分，不是全部。样本和总体这两个概念是相对的，一定要跟我们所研究的对象，是取自哪些部分，或者是针对什么问题，相紧密结合。
另外一个就是我们选取样本的目的，是为了什么？希望通过这笔数据，更好的正确的反应我们所研究的这个对象的数据特征，所以选择什么样的样本，作为总体的代表，这个选取是非常重要的。就是说你怎么样去抽取样本，才具有典型的代表作用。
比如，做一个心理学的实验，要测验一个人睡眠被人干扰后，他的性格，脾气会不会暴躁。做这样实验的话，一般来说做不好。因为这个样本就不太好，他要什么时候来做呢，谁愿意睡觉老被人吵，所以他就找了一些志愿者，这就缺乏代表性，或者他用钱雇一些人来，但是雇来的人呢，一般来说都是经济上比较困难的问题。所以，经常我们就会发现，做一些实验的话，研究者所选取的那个样本缺乏代表性，这样的研究要打折扣。报刊媒体上经常会看到一些广告，说这个药怎么灵怎么有效，其实这种广告有时是虚假的。比如说像安眠药这种东西，它会有心理作用，我发明了一种安眠药，我说的让你吃，然后这药先说怎么怎么有效，他心理就觉得这个药一定很好，其实你给他的不是安眠药，他吃完了以后他也觉得睡觉管事了，所以像这样一些东西，是心理暗示在起作用，而不是药物的影响。这一点应该注意。
医学上，经常进行对比实验，对两组被试都给予药物处理，一组给他吃淀粉片，一组给他吃安眠药，但是都不告诉他们，这样的做法，就去掉了一个干扰。所以，怎么有代表性，这是一件非常困难的问题。搞不好的话，他吃了淀粉片，他就说今天睡得特别好，实际上是心理作用。那么，怎么能做到有代表性呢？ 就是随机抽取。
为什么随机抽样具有代表性呢？比如说，要了解北京市18岁的这个男孩的身高情况。如果要随机抽取的话，假设这个一米九以上的占千分之一，那么，抽到一米九以上的可能性也就是千分之一。如果一米六到一米八的占50%，那么，抽到一米六到一米八的也是50%，这样的随机抽样，就保证抽到的样本里头，各个身高的百分比与总体的百分比是一样的。
另外，由于抽签与顺序无关，若抽取第一个男孩，身高在一米九以上的概率是千分之一，那么抽取第二个男孩、第三个男孩等，其身高在一米九以上的概率也是千分之一。随机抽样能使得样本中不同身高的百分比和总体中的百分比近似相同。
换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。如果不把这一点说清楚，只单纯地介绍抽样的具体操作方法就有失偏颇。
这样的话，才能确切地反应总体的状况，当然是个近似的一个反应，抽得越多就越准确。所以，随机抽样需要体会，为什么要随机抽样；要采取随机取样，随机取样为什么能够来反应这种代表性。
这也正好结合我们前面所说的，这个概率统计学研究的对象，就是这个随机性，就是不确定性现象，所以从最开始的总体和样本最初的这两个基本概念的时候，我们老师就要意识到这个随机性，在抽样方法的学习的过程当中，就要渗透。要保证这个样本具有代表性的话，就从最开始概念讲解的时候，就应该讲到这个随机取样，这个随机性的作用，这样的话才能正确的理解这个概念，它和以往不同概念之间的差别，否则的话，我们方法介绍了学生会操作方法，但不知道这方法为什么如此这样的去学习，如此这样的去学习。
随机取样不是很容易做到的。比如说你随机给我写正反两个字，某个字有可能出现的多于二分之一。就是你随机写，其实写出来的也是很不随机的，所以随机性这一点呢，问题看似简单，也是一个要做到也还是很困难的一件事，这一点是我们老师要注意的。
2．数据的描述
数据的描述，中学讲得比较多的是统计图表。统计图表这部分知识，在小学有所涉及，到中学了之后，应该怎么去讲呢？
统计图表的学习，一定不要把它讲成这图表怎么画。还是要从提取信息的这一角度来看，也就是我们现在搜集到一堆数据是杂乱无章的数据，是一堆无序的数据，怎么从里面提取信息呢？我们需要列表，画图。所以，画图和列表是反应信息的非常重要的方法。
同时，要注意不同的图和表，反应的信息是不一样的。所以，教学的重点不是图、表怎么，制作方面，而是说这个表跟那个表，有什么不一样，表和图有什么不一样，图和图有什么不一样，他们在反应哪些信息。比如说，条形图和扇形图。如果有五个班的成绩，分别用五个条形图，五个班的表格来反映。用条形图来反应时，能看出这个五个班不同的情况。若要用这个扇形图的话，能看到总体和每一个的关系。条形图就不太反应整个的情况，条形图反映的是分别的各个部分之间的关系，扇形图反映整体与局部之间关系。条形图和扇形图，都把数据归类成了一块一块的了，这时候，它就回不去原来的数据了。
不同的图，反应的情况是不太一样的。比如说散点图能够反映两组数据的变化趋势。统计表对数据的表示就精确，比如高考成绩，一分都不能差。但是表不太醒目，因为数据是439、539、627。统计图一画出来，是个很形象的东西，只是个别的数字不容易精确表示出来，没有表所呈现的数量和精确性。所以，图表各有各的好处的，每一个图都有它自己的特点，适用范围。而且，现在不同的领域里面，人们都还在不停地创造不同的图，各种各样的图去描述信息。在教学中应该鼓励学生自己去创造一个图去画，比如同样的条形图，可能画成是宽度相同，高度不一样；也可以画成高度相同，宽窄不一样，就是有各种各样的想法和画法，让学生发挥自己的想象力，创造性地使用图表，去描述数据。因为这东西不是很难掌握，不需要硬性的去规定，约束学生。不要说表跟图，图就比较粗一些，表就对数字要求很准等等。
从信息角度来看，不要把统计教学成具体的图表的制作方法。而要让学生弄清楚，你想要反应什么问题，目的是什么，才能谈到何种统计图。你比方说七大洲的面积，你就是想比较这七大洲的面积有什么不一样的话，就用条形图就可以了；你还想看看某块面积，在整个面积占多少，那可能要用扇形图，所以没有绝对的，关键是你想达到什么目的。
关于折线图，我们经常通过折线图来反映变化的趋势。但是要注意，折线图坐标系的界定。有时候，只看图的形象会误导学生。比方说，我想反映的是随着时间生产增加的快慢，有时候想要夸张自己增长得很快的时候呢，就可以把纵坐标的单位取得很大，当它要想说明它增加很大。坐标单位取得大或者小，就会使同样一件事画出不同的折线图来。有时候我们看一些宣传广告之类的图，就可以发现它增长d得很快。但是，实际上，它的单位选取得使得图像容易产生这样的印象。厂家为了他的利益需要，他可以把那个图做成各种各样的，误导你，这也是我们在统计图表教学中要特别注意的一件事情。
我们抽取到的数据是杂乱无章的。要对数据进行整理和画统计图表，目的是为了能从这组数据中得到一些关于这组数据的特征信息。
初中学生学习的统计图，包括：折线统计图、扇形统计图、条形统计图。
统计分析包括两方面：一个是描述性统计分析；另一个是推断性统计分析。初中阶段学生所学习的主要是描述性统计分析的内容。也就是说，我们整理数据、画统计图表的目的是要描述这组数据的特征。
教师在讲授时不应只让学生掌握方法(方法都不困难，但有的教师把这部分内容讲成了如何画图表)，而应侧重于说明如此整理数据后(或某一统计图表)，能从整理好的数据、或绘制好的图表中，获得什么关于这组数据的特征，如是比较集中，还是比较分散。
同时，还要让学生理解不同的整理方法，不同的图表的特点，以及各种整理数据方法的适用范围，以及局限性。
例如，我们看一个统计图的例子。
某研究所研究某种代乳粉的营养价值时用大白鼠做试验，得大白鼠的进食量和增重数据如下表，单位：g
像这样的两组数据就不适合使用条形图，而使用散点图更好。每种统计图有各自的特点，也有其局限性。例如，条形图是以丢失一部分信息为代价的，即由条形图人们无法恢复原来的数据。当然丢失的数据可能对我们要处理的问题没用。在这部分教学中应从得到信息、表述信息的角度出发，分析各种方法和图表的优劣，并鼓励学生自己给出新的方法。事实上，人们仍在不断地创造新的方法，如茎叶图，就是近几年来才常采用的一种方法。我们要鼓励学生创造性地使用各种合理的方法，自己创造的图表示数据特征。
3．数据的分析
初中统计教学主要的是描述性的统计分析。
通过样本算出的平均数与总体的平均数是两回事，这点要分清。比如我们要了解北京市男孩的身高，我们抽了100个也好、1000个也好，我们把平均数算出来了，这是这个样本的平均数，与总体的平均数是两个概念。我们可以用它来估计总体的平均数。
均数中包含中位数、众数，还有算术平均数。
比方说两个不同省市收入的水平怎么样呢，是它的平均收入来算，如果用中位数来比较，这个中位数就集中反应了这组样本的信息。这个信息很突出的反应了一个特点，它能反应总体的特征。所以，我们找了一些非常重要的一些一个数来分析一组数据。比如说，算术平均数，它和单个数据比较的话，这个数字是由一些数据生成的，集中了所有数据的信息，可以通过这个平均数来代表一组数据信息。
日常生活中的一些统计问题，比如说在体操，音乐比赛时，平均分怎么给。经常是去掉一个最高分、去掉一个最低分，把剩下的加起来取平均数，这也是一种估计。那么如果你觉得还不太可靠，我就可以去掉两个最高分、两个最低分，再求平均；还可以再去三个，去四个，那去到最后的话，就变成了中位数了，所以中位数很极端的，就取中间的那个，把两边都去掉了，而平均数呢，是所有加起来平均。在日常生活中，有各种各样的一种估计方法。可以让学生们放手去想一些办法，创造性的使用我们所学的这些概念，来描述数据、分析数据。
关于权重的理解，实际上有两个方面的意义，第一个方面的意义是，就是涉及到两类不同的这种对象。
例1：现有一个工厂的工资表格给出了100个工人工资总额和5个股东总利润随年度的变化情况
工人工资总额
股东总利润
例2：一个同学在第一学期的数学成绩分别是：平时单元测试四次，分别得分：90、86、84、88，期中考试得分80分，期末考试得分87分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为15%、30%与55%。请你计算小瑞在这学期的总评成绩应为多少分？
例1中，一个是工人，一个是股东，在这组数据中，两类不同的人。实际上，我们除了要知道工人的总利润，工资总额之外还要知道工人的人数是不一样的。因为是100个工人，股东只有5个人，所以这是不太一样的。要把它都折合成每个人的工资量，工人100个人，它在100万的工资总额是100万的时候，比方说2001年的时候，那么每个工人工资只有1万；而股东每个人是10万。所以，算平均利润，不能直接简单地算，还要考虑不同的人所占的比例。
再举一个简单的例子，比方说有5斤重的比方说西瓜，有3个，6斤重的西瓜有4个，7斤重的西瓜有5个。求它的平均重量。你不能把5& 6& 7这三个加起来求，你还要把个数要考虑进来，这样算出来的均数叫做加权平均。
回到上面的例1，每个工人1万元乘上100人，再加上5乘上10万，然后被105个人来除，这才是所有人的平均工资。工人占了100/105，股东占了5/105，这就是权重。这样的权重，是根据我们的问题研究自然生成的。也有我们人为觉得问题某些方面是重要的，赋予的权。
比如说平均成绩，例2数学考试成绩，我们可以有平时的考试成绩，也可以有期中和期末的考试成绩，都是数学成绩，但是这两组成绩或者这三组成绩，它的重要程度是不一样的，我们人为的把平时成绩，比如说加以权重就是15%，期中的那个就是30%，期末的我们更看重它，更综合一些，就给它是55%，这样的话，这个权重，不是所研究的对象本身自然生成的，而是我们觉得这组数据当中，某些数据的重要程度，分别赋予了它一个权值。
或者说，比方说我有10次小测验，都是平等的小测验，但是这里比方我有考了5次是90分，那我相当于这个权就是5，权是5是吧，我有两次是100分，那就是，这个权是2，在10次里头剩下的权就是1，这个权是自然给出来的，它有多少，占了多少，它就是多少。
再举一个例子，比方说我们现在有六科学习，语数外，还有音乐、美术、体育，算一个同学的平均成绩的话，把这六科成绩加起来算平均，这就是他的平均成绩。那么两个人算出来平均成绩可能是一样的，但是这个人可能数学特别好，但是他的音乐，或者美术成绩不好，另一个人可能音乐美术成绩好，数学不好。这样看平均成绩是一样的，但是对学科就不太一样，那么如果我很看中这个数学，我可以故意把这个权给它加得很重，比方是要考理科大学，觉得音乐、美术成绩不太重要；如果要考艺术院校，就可能把这个分加上去，这是一种特意往上加的权重，是属于人为的给出的，根据我们的重要性来给出的。与刚才算工资的那种很自然不一样。
有的老师与同学在读统计与概率的书时发现，方差的计算公式
还有一个是： 。
方差这个概念以及计算方法，现在把公式呈现给学生的话，也没有太大的困难。对，如果老师们去扩大自己的知识视野，买了很多统计学的书的话，就会发现这样一个问题，我们现在课本上所提供的方差的计算方式，这个分母是除以N，有一些统计学数里头，方差的一个计算公式，那底下是除以的N-1。为什么会有这样的差异，这两个公式哪个对，哪个错，还是都有道理？
实际上是应该这么来看，比如说我们现在有一个总体，它是有10000个灯泡，那么它有一个方差，这个方差的话是一个我们不知道是多少，那么我们抽了1000个数据，我们用我们算的这数去估计它那个，总体的那个方差，也就是我们现在算出来的，是我们这些数据里的这个方差，那么如果要除N的话呢，在理论上可以证明的话，用除N的来估计总体，它估计起来是偏低的，也就是说我们算出来的比那实际的要低。要除以N-1的话，就不偏低，所以就变成要除以N-1，这是理论上出现的问题。但是实际上被人们更习惯的，N个数求平均，总是除N比较方便，而且当这个数很大的话，比如除以10000跟除9999，得到的那个数据结果，差异很小很小。所以，一般来说，很多情况下，还是用N。当然N很小的话，除N-1和除N就有差异。N大的话，方便就用N，N-1都可以。一般计算器上，两个都有。
老师们过多的关注这个计算，比如说教学生怎么加减乘除，有时候还会教学生一些简便算法，比如说同加一个数同减一个数，最后算出那方差是不变的，什么同乘一个数& 同除一个数，算完了以后，比如有小数点，先同乘100，然后把小数点没了最后再除过去什么，就在这个算的技巧上下功夫下得太多，其实这东西是不重要的，特别是有了计算器以后，这些东西都不重要，重要的是这些数的意思，平均数和中位数，它们的特点。
比方说极差，是这一堆数据里头最大的减最小的，它跟方差来比的话，它用的数据就比较少，它就用两个极端的数据，所以它提供的信息呢，一般来说它就没有方差提供得好，因为它把中间那些数据都给舍掉了。但它的好处就是简单，快，它算起来特别快，一下就把这范围就定下来了。所以，我们要关注这些数字特征的差别，它的适用范围，它的缺点，它的好，而不是在计算上，下太大功夫。
关于各个概念的计算方法和计算公式，这不是我们初中数学学习的重点，因为有关计算，现在像统计里的，基本上涉及到运算就是四则，加减乘除，有乘方，平方，这些计算方法在小学已经学习过，学生基本上都已经掌握，重要的是要让学生理解，每一个概念的意义是什么。每一个概念在实际使用过程当中，有什么优势，有什么局限性。
方差的两个计算公式，除以N还是除以N-1，在N很大的情况下，是没有什么太大的差异的，在N很小的时候，可能除起来这个结果上，有一定的差异。在统计学中除以N-1的那个公式是无偏的估计；除以N的那个公式是极大似然的估计。
我们谈到用这些数据来估计总体时，有一个标准，就是说好还是不好。比如说我要估计这个方差，用谁来来估计。有各种各样的方法，反正都是估计，好还是不好，首先就要看你给出一个什么标准，什么叫好，什么叫不好，如果你认为它偏低或者偏高都不好的话呢，那么我们就有一个标准叫无偏，就是认为无偏就算是好，那么理论上来说呢，除N-1就要比除N要好；当然你可以有别的标准，你说靠得越近就好，就是这种极大似然估计。标准不一样，好坏也就不一样。
另外，教材里选用N，还有一个就是比较自然，顾及到学生的可接受性，因为均数的时候，我们除的是N，到方差里的也除以N的时候就比较自然一些，你要除以N-1的话，我们还需要给学生解释，或者是介绍更多的内容去理解为什么要减去这个1，这不是一个什么太本质的问题。老师们可以根据自己学生的能力水平，是否去介绍这种新的公式。
三、初中概率教学的分析
1．什么是随机事件
对初中生而言，理解不确定的现象 不确定的事件，我们强调实际事件，强调是在相同条件下做重复实验，但是那个实验的结果却不确定，这样的一个东西 就是在实验。至于在实验之前，你是无法预料结果是哪一个。结果是盲动，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。
关于结果，我们还要作进一步的区分：
[1]就是我们到现在为止，不知道这个结果是什么。这属于未知的时间，比如说数学上
哥德堡猜想 对还是不对，到现在来说，我们也不知道这个哥德堡猜想是成立还是不成立
但是它要么就成立，要么就不成立，所以说没有随机性；
[2]你说火星上到底有没有人。这也没有任何随机性。要么就是有，要么就是没有。无非是我不知道。
[3]一个硬币扔完了以后，我拿手盖上，我问你这是正面向上，还是反面向上。 由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是现在它没有任何随机性，只是我拿手盖了以后你看不见。如果你的眼睛像X光一样，你就立刻能知道结果。
所以，像这样的事情，只是说它客观已经定下来了，只是我还不知道，这样的事情不能叫做随机事件。所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。
还有一种结果，是有很多都是不确定的。在自然界中有大量的不确定事件，但是有很多东西又不是我们随机性要研究的东西。随机性研究的条件，首先一定是什么可以做重复实验的，可以看作是重复实验的。大量重复实验里条件一样，结果不确定。像扔硬币，生男孩女孩，我们把它看成是条件近似相等 看起来相等。
还有些东西，也是不知道的。比如说我举个例子，本拉登还活着吗？觉得塔利班那个阿富汗要是说，本拉登活的可能性是9%，死的是90%， 像这样一些事件也是不确定现象。但是，本拉登是否活着，这种不确定现象，它没有重复实验的意义，所以也不是概率研究的领域。
还有在生活中，我看见某人今天脸色很好，我知道他今天一定非常高兴。那么这种现象也没有重复实验的意义。这只是我的一个猜想，或者我的一个愿望。虽然，它也确实有可能性大小的问题。我跟这个人很熟，我觉得能看出他的脸色，知道他高兴不高兴，巴结他我能说的很对；我要是跟她不熟的话，看她脸色很好，我说她高兴，可能说的不对。这种现象没有重复实验的意义，也不是中学概率所关注的随机现象。这一般也叫做主观概率。主观概率现在也在研究。在商业中具有重要的作用。
中学统计与概率一定是研究在相同条件下，可以做重复实验的情况下。
什么叫做随机现象，我们研究的东西是什么，要（在）这个层面把它弄清楚。否则的话 因为现在不确定现象太多了，在商业里做决策，这个风险你卖还是不卖，受很多因素的影响，这儿没有重复实验的意义，这个不是统计与概率研究的对象。就是大千世界，不确定性的现象是非常多的。中学统计和概率所研究的不确定现象，只是其中最简单的一种。它强调的是条件确定，可以重复的这样的实验。对其他的一些不确定性的现象，也是在自然界频繁发生的，现在由于知识储备，或者是能力水平还没有达到，还不能加以研究。
随机事件是研究的独特的或者是特殊的一类不确定性现象。它强调的是这类随机事件是可以重复实验的，重复出现的；强调的是结果是可以随机发生的客观上是确定的，结果是客观原因。就像是投硬币，或者是掷骰子是这样的事件。那6个结果当条件具备的时候一定发生。
关于概率的概念，也是一些描述性的说法。我们说做大量重复实验，但是任何一个结果，它出现的频率却是稳定的。什么叫做稳定呢，像这样的词，就是一些描述性的说法。中学教学时 ，不要在这个地方去扣这个定义。而且，在数学上，概率是用公理化来定义的。我们经常说，随着N越大，这个频率偏离这个常数的可能性就越小，其实这个可能性就是概率。所以实际上这样说是一个循环定义。
比如说掷一个骰子。这是一个古典概率。只有6个结果，出现1点一直到6点，每一个出现的可能性是相同的。什么叫等可能事件呢？怎么可能就是概率？从数学上来讲，这里是不严谨的，是一个循环定义。
但是不严谨是需要的，不严谨有助于理解。教学时不要死扣这个东西，但是要理解它，理解频率与概率的关系。另外，也不要把它理解成概率是频率的极限。有人说，随着N越大，频率就越来越接近这个概率。这个也是不对的。比如说掷一个硬币，我掷两次，正好一次正面，一次反面，那么这个频率就已经达到了这个概率二分之一了。我再掷第三次的话，三次里头肯定就到不了二分之一了，反而又偏出来了。所以不是说N越大，它就越来越接近那个概率值的那个点。比如说，N越大，它离开这个值近的可能性就越大，偏离的很大可能性要越小，在数学上，大学数学中讲是依测度收敛事件。所以，我们强调重要的是要理解概率是一个客观的一个常数，频率是随机的。你扔一百次出现正面的频率，跟我扔一百次出现的正面频率，同样是这个事件，我们俩扔的可能就不一样。我扔这一百次，下次我再扔一百次，这个频率也不一样，也有变化，所以频率是随机的，概率是一个客观的值。但是，我们可以用频率去估计概率。就是N越大，频率估计也就应该越准。
就好像我量一个东西，这张纸的长度是有一个客观长度，我不知道，我拿尺子去量，那么就量出这个数跟实际还是差距的。但是，可以用量数来估计，甚至这个度量还是有误差的，也是随机的。所以这两者之间关系要搞清楚。
这里实际上涉及到三个概念：一个是可能性；另外一个就是这个频率；还有一个是概率。事实上，这个可能性，学生理解起来很自然，因为它是日常的一个用语。概率，可以理解为是对这个可能性的一种度量，它是一种客观值，相对来讲是稳定的。频率，以我们实验的情况来看，它是一个不稳定的随机的量。我们用这个频率去估计概率，估计这个客观的概率值是什么。实际上或者这么说，这个频率就反应事件频繁出现的程度，它频繁出现程度越大，实际上，它发生的可能性就要越大。频率又稳定在一个常数附近，所以最后就由那个常数来估计这个可能大小，给这个程度起的名，就叫做概率。
跟过去的精确数学相比较，这个概率不像前面以往的，比如说算术平均数，标准差，方差这样有一个特别简单的公式，一下子计算出来。在求一个事件发生可能性大小的这样一个概率值的时候，我们是用频率这个数值去估计这个概率值的。
下面，我们看一节课：“一定能摸到红球吗”的教学过程的片断
教学准备阶段：
（1）准备上可用的课件；制作上可用的教具：装有十个红球的盒子、装有十个白球的盒子以及装有五个红球五个白球的盒子。
（2）需要对全班学生进行分组，前后桌4人一组。
（一）创设情境，提出问题
1、问题：“十一”黄金周期间，华联超市为了吸引顾客，举行一次摸奖活动。摸奖的规则是：在一个盒子里放一些球，凡是一次购物满50元的顾客，都有一次摸奖机会。摸到红球有奖，摸到白球没有奖。如果你一次购物满50元，你一定能获奖吗？
（1）全班讨论，哪一个盒子一定能摸到红球？
（2）请三组同学分别到讲台前参与游戏，其他学生展开想象，他们可能摸到红球吗？
（3）用“一定”“不可能”“可能”不仅可以描述摸球试验的结论，还可以描述现实世界中的自然现象和社会现象。
2、进一步体会感知事件的发生是“一定”、“不可能”、还是“可能”？
想一想：下列事件哪些是确定的？哪些是不确定的？
（1）太阳升起
（2）玻璃杯从高处落下
（3）掷硬币国徽面落地
3、知识升华 形成理论
可能性:结果确定
必然事件：有些事情我们事先能肯定它一定会发生（一定发生）
不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生。（不可能发生）
必然事件、不可能事件称为确定事件。
可能性：结果不一定
不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生。（不一定发生）
分析：实际上，最终这堂课学会的是什么。一定就是必然事件发生了，还有一个是不可能事件没有发生，可能性事件发生了。这样的话，通过这样一个活动，学生来感知事件的这种三种情况。然后后面还有一些，为了进一步巩固这个概念，让学生明白什么是确定的，什么是不确定的，什么是必然事件。
我觉得这堂课的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件，特别是必然不可能实现了，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。花这么长的时间来讲必然事件，可能小学生都已经能够懂得。这个全是白球的盒里，肯定不能中奖；全是红的肯定中奖，在中学那个一堂课里来讲，效率就比较低了。一旦效率比较低的话，学生就没有学习的兴趣了，因为他很早就知道答案了。这时的动手操作没有太大的挑战性，中学生的数学兴趣没有被真正激发起来。一开始强调在相同条件下的必然事件，不可能事件和随机事件是什么要告诉学生，但是用不着花这么多的时间来区分这些事件。重要的应讲清什么是随机事件。
一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。
造成课堂教学效率低下的原因，可能是新增内容的教学资源比较缺乏。我们应将重点放在通过更多的例子，让学生来区分这种偶然性，随机性是什么。如果是仅仅发生这三个方面的话，对必然事件，不可能事件和随机事件放在同等重要地位的话，是很容易理解，那样的话，就没有突出这堂课的重点。整堂课上下来之后，学生就会没有觉得很多的新知，没有挑战，容易产生乏味，没有兴趣。事实上，初中学生的能力水平，可以讲得更多一些，突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。
例如：邮递员投信问题。人们写信后，忘了在信封上写地址，就把信投到信筒里了。但是，刚扔进去，就立刻警觉了。等着那个开信箱的邮递员来。邮递员来开信箱后，发现这种信封中有信，而信封上没写地址的不止一个。不能区分那个是你所投的那个。后来，人们发现这种现象有很强的频率，它大概稳定在百万分之二十七左右。 一个数据是俄国的，从1906年到1910年五年期间，这五年中有三年是百万分二十五，两年是百万分二十七。这样一个许多人觉得它没有任何规律的东西，它也能出现频率的稳定性。
多举一些这样的例子，让学生认识到随机现象稳定性的特征，比起仅让学生讨论比如说，太阳升起，玻璃杯从高处落下等太过简单的例子，更有深刻性，更突出所要学习的统计与概率的本性。没有新鲜感，对学生不具有挑战性的课堂教学效率，就显得非常低效。
当然，要设计符合学生认知水平的恰当的实例这个问题，对于新增内容来讲，也不是容易的事情。老师暂时可能无法解决的就是资源不像传统的教学当中，比如说方程、函数等素材那样比较丰富，所以老师备课，准备素材的时候，挖掘资源可能也是有困难的。
这里既有对统计与概率这些数学内容的实例的积累，同时，还有教师要明白他想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。像必然事件，不可能事件，估计学生很容易懂。就不必花很多时间教学。教学的重点，应该是随机现象的理解上。明白教学的重点后，我们去收集资源。当我们的资源不够丰富的时候，可以通过各种渠道，去跟别人分享资源，完成新增内容教学的问题。课本上的资源有限，而且有的课本也是在探索和摸索的过程中，所提供的资源也可能是有局限的。因此，新课程改革还要求我们老师要创造性的使用教材，开发新课程，也许你的开发比课程研制者提供的素材更有针对性，更能促进学生在某些方面的发展。
另外，在中学统计与概率的学习过程中，一定不要让学生去背的一些像定义似的东西。比如说，像必然事件，不可能事件，学生能理解，它又不是一个非常严格的数学上的定义。学生只要了解它，就行了。没有必要把学生都懂的东西，一定要把它用一个定律的情形来描述一下。数学定义要求总要另一个词来定义它，这是一个没完没了的东西，过分追求定义的严谨性就不好了。学生用已有的一些朴素概念，可以很明白地进一步学习。如果用抽象的定义来学习，学生反而更糊涂了。像现在概率教材里，有时候对实验下定义。什么叫实验，条件出现一次叫做条件实现一次，叫做一次实验。那么这比实验还难懂。什么叫条件，什么叫实验一次。这就是我们一定要定义，反而使学生感到更困惑了。所以，朴素的概念只要他理解，不失科学性，不失真实性，我们还是尽量让学生从更自然的角度上去接受，这样更有助于进一步的学习。
比如，说到电脑，大家都明白。就不必非得要给电脑有一个定义之后，你才能用电脑。
不是那么一回事。汽车这个都不需要去定义，人就会开车。所以过分的把定义放在一个不适当的位置上，这个可能是数学教学上的一个问题。好像数学教学中一上来就应该是定义、定理等等。当然，数学定义很重要，但是不能过分。这也是概率统计学在基础教育阶段尤其需要注意的。也就是我们淡化这些数理人那种严谨定义，注重对这些概念的一些比较朴素的自然的认识，这样的话，有助于对概念的理解。特别不要让学生去背这种所谓的定义。
2 .频率与概率的教学过程片断：
准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次实验。
合作探究问题：
（1）一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2）每人做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字,并根据试验结果填写下表:
牌面数字和
（3）根据数据，制作相应的频数分布直方图。
（4）你认为哪种情况的频率最大？
（5）两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
（6）六个同学组成一个小组，分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌的数字和等于3的频率。并绘制相应的折线统计图。
两张牌的牌面数字和3的频数
两张牌的牌面数字和3的频率
（1）在上面的实验中，你发现了什么？增加实验数据后频率渐趋于哪一个稳定值？
（2）与其他小组交流所绘制的折线图中发现了什么规律？
（1）将各组的数据集中起来，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率，它与你们的估计相近吗？
（2）计算两张牌的牌面数字和等于3的概率。
两张牌的牌面数字和等于3的频率与两张牌的牌面数字和等于3的概率有什么关系？
结论：当实验次数很大时，两张用的用面数字和等于3的频数而定在相应的概率附近，因此可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
频率和概率的关系这样的一堂课，是初中概率教学当中的一个主要的一节课。为了弄清楚频率和概率之间的关系，在设计这堂课的时候，很多老师都设计了这样一个问题。
例：抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率均等，因此抛掷100次的话，一定有50次“正”，50次“反”。你对这个问题有什么看法？
解答：错。虽然“正”“反”出现的概率均为二分之一，但频率并不等同于概率，即使是多次抛掷以后，频率也只能是与概率十分接近，但不一定相等，因此抛100次硬币，也不一定有50次“正”、50次“反”。
设计这个问题的意图是，使学生明确“当试验次数较大时，频率稳定在理论概率附近”这个说法，并不意味着试验次数很大时，频率等于概率；而且只有当试验次数较大时，才可以用频率来估计概率，否则是不确切的，通过这个问题来理解频率与概率之间的关系。
概率课的一个特点，讲的是随机现象，对随机现象一定要清楚，它还会可能出现频率偏离概率大的情形。就是说，虽然N很大时，频率会接近一个概率。但是，还是会有些个可能性，虽然这个可能性越来越小，但是还会出现这样的情形：比如某人掷硬币。我们希望掷了很多次后，它出现正反面的这个频率接近二分之一。结果，有一次，一个教师让学生扔了一百次以后，出现了40次正面，60次反面的情形，这时频率变成了五分之二。这个老师上课就不知所措了。本来掷几次时，接近二分之一。怎么扔得多了，反倒偏离了二分之一。这跟他想说明的问题有偏离，所以他不知所措。
事实上，这种情形是完全有可能发生的，是很正常的现象。一定要知道偏离大的可能性有的。所以，像这样一堂课，教师要引导学生知道，随着实验次数的增加，频率越来越接近概率。但是，也要知道会出现一些随机的其他值。这是一件很正常的事情。让学生一定要有随机性认识，它一定不会是一个必然性的。
在科学史上，也有类似的问题。先想到了结果，然后再去实验。比如说，一个很有名的例子就是基因的发现。孟德尔做实验时发现，一个纯红色的花和一个纯白色花的豌豆嫁接以后第二代都是红的。按照他的理论来说，第三代可能应该有四分之一是白的，四分之三是红的。或者说，一个高的跟矮的嫁接第二代全是高的，但是到第三代应该有四分之一矮的，四分之三是高的。他提出这个理论以后，当时他就做了很多实验。当然，他首先是从实验开始的，但是这个实验使他想起了基因应该怎样作用。这个结果在很多中学教材里头会作为频率稳定性的例子来引用。但是，这里的数字，现在发现全是造假。就是说，不可能做得那么好。频率一定是不可能好到这样一个程度。
下面我们分析掷一百次硬币的这个问题。掷一百次硬币，很难扔出来正好50次正面朝上。如果你每次掷出一百次，不是50次正面朝上，就说明那是假的了。实际上，不是这么回事。如果老师们知道二项分布的话，就可以用理论上来算一算，掷一百次硬币，如果每次掷的硬币是均匀硬币，每个硬币出现正面是二分之一的话，那么正好出现50次正面朝上的概率，这个值到底是多少？
掷硬币问题：把一个均匀硬币掷100次出现50次正面的概率到底有多大？
解： 具体的计算，老师们都会，这里就不仔细地分析了。答案是，出现50次正面的概率为 。把这个式子进一步计算出结果，可以得到如下的近似值： 。
我们知道，掷一个均匀硬币，‘出现正面’的概率是0.5。有人以为，掷100次应该出现50次正面。为什么这件事发生的概率只有0.08，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？在教学中，如果给出答案时，只给出上式的左边，不算出其数值，以为数值是近似的，不如左边的公式解严格。就不能了解我们讨论的事件发生的大小，是很难真正理解随机现象的。许多时候，近似的数值解比抽象的公式解更说明问题。
事实上，一个事件的概率0.5是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率‘稳定’在0.5（即在0.5附近，偏离0.5很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷100次均匀硬币出现50次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷100次硬币，‘出现50次正面’的频率应‘稳定’在0.08。
大概是8%。作为老师来说，应该知道这8%是怎么回事。我们要理解这个8%，既然是一个概率，它是什么样的频率就接近8%了。实际上，我们可以看一看模拟的一个例子。
下面是一个模拟试验结果（选自W.费勒的‘概率论及其应用’）。做了100次试验（在这里，我们把‘掷100个均匀硬币’看成是一次试验），每次出现正面个数如下：
54& 46& 53& 55& 46& 54& 41& 48& 51& 53
48& 46& 40& 53& 49& 49& 48& 54& 53& 45
43& 52& 58& 51 &51& 50& 52& 50& 53& 49&
58& 60& 54& 55& 50& 48& 47& 57& 52& 55
48& 51& 51& 49& 44& 52& 50& 46& 53& 41
49& 50& 45& 52& 52& 48& 47& 47& 47& 51
43& 47& 41& 51& 49& 59& 50& 55& 53& 50&
53& 52& 46& 52& 44& 51& 48& 51& 46& 54
43& 47& 46& 52& 47& 48& 59& 57& 45& 48&
47& 41& 51& 48& 59& 51& 52& 55& 39& 41
我们看到，掷100个均匀硬币不一定出现50个正面。可以出现54个正面，也可以出现46个正面，等等。在上述100次试验中，出现50个正面的有7次。即掷100次均匀硬币出现50次正面的频率是0.07，和理论上的值0.08相差不大。
也就是说这个例子指很多人都来掷一百次。那么，其中有人可能出现51次正面，有人可能出现49次正面，出现47次正面，正好出现50次正面的那个可能性，应该是在8%左右。这样看来，我们要知道一个硬币，所谓二分之一出现正面的概率，是说大量掷硬币的话，应该有二分之一的值，有一半出现值是正面。比方掷一万次硬币，那么大概出现正面的应该是在五千左右，四千九百多，或者是五千一百多这样的结果。另一方面，很多人都扔一百次，其中有出现过47次正面的，有出现51次的，有出现53次的，其中正好出现50次的 应该是在8%。
在计算机上做了一个模拟实验的结果，是一共100个人，每个人都扔了100次，共列出100个数据，就是出现正反面的次数，若要把整个数据全都加起来，这个数据的总和是4900多次。也就是说，10000次里头有4900多次都出现的是正面，出现正面的频率占二分之一左右。那么，从另外的角度来看，100个人，每个人都扔了100次，数一数这里有几个50呢，这个表里头有7个50。也就是说，这个出现50次的频率应该是7%，它跟8%还有一定的差距，但是它相差不大，也就是它稳定在8%这个地方。如果要有10000个人都扔100次的话，可能会更准一些。
从这样一个角度关注频率与概率的关系。概率是什么样的实验产生的，这个0.08是一个概率。它是什么实验，什么频率稳定在这儿的。这些东西应该是教学关注的重点，不是简单的去算一下就完了。
让学生通过例子来理解频率不等于概率，频率只能是十分接近概率，但不一定相等。但是，如果仅仅计算到这儿，学生好像还不是很深刻的理解它们之间的关系。
作为老师，我们把这个事情再接着往下去探究的话，进一步的把一个均匀的硬币掷100次，去算一算50次，正面出现的概率到底有多大，把这个哪怕是近似值给它算出来的话，我们就会知道，真正出现50次正面的概率，事实上是很小的，0.08。在这个模拟的实验当中，事实上只有7次是50次正面朝上的，这个频率比0.08还小。有了这样的一个真实的印象之后，我们对频率和概率之间的关系可能印象就会更深刻。
3．抽签跟顺序的关系
比如说，抓阄。有三个纸球，其中一个是红球，两个是白球。这个红球里面是那个阄。
我们要第一次抓，第二次抓，第三次抓。然后，我们做大量的重复实验。看看第二次摸到红球的可能性是不是是三分之一。
第一次也是三分之一；第二次也是三分之一。通过这样的实验，一方面让学生知道频率与概率的关系，另一方面，让学生知道摸到红球的概率，第二次，第三次都是一样的。让他们体会一下等可能的实验。
还可以这样做，更有一些针对性。设计五个阄里只有两个中奖的这样一些实验。比如：五个球里面有两个红，三个蓝色球。五个人轮流的摸，第一次摸到的红球，和最后摸到的红球的频率是怎么样的。通过这样的实验，让学生来体会频率和概率的关系。同时也能解决一些我们日常生活中，这种抽签的顺序与频率是不是有关系的问题。如果光是理论，没有计算的话，学生不能够深刻理解抽签与顺序的关系。通过数目不大的实验，让学生做一做，让学生体会概率和频率的关系，加深对概念的理解，并纠正一些错误的认识。比方说，我现在为什么扔了五次，都是正面的朝上的，第六次是不是出现反面的可能性大了。可以做一些实验来看一看。
4．彩票中奖率的问题
典型的一个问题是彩票中奖率是千分之一的问题。
什么叫中奖率千分之一呢？是不是我们买1000张彩票，就应该中奖了。既然千分之一的中奖率，买1000张就该中奖了。
事实上，我们可以算一算，一个中奖率千分之一的彩票，你买1000张，这个中奖的可能性是多少呢？
用二项分布算的话，它只占有63%。也就是说，中奖率千分之一的彩票，你买1000张的话，你中奖的可能性只有63%。
类似，这样的实例，学生比较容易产生兴趣。问学生怎么理解中奖率千分之一呢？既然中奖率千分之一，你买1000张应该中奖，对不对？为什么，实际上不是这样的呢？
这也是一个跟掷硬币出现正面朝上的可能性是二分之一的类似的问题。掷100次就应该出现50了吗？这是一样的问题。
我们可以这样看，很多个人都买1000张，就好像这里很多人，都扔100次似的。很多人都买1000张，其中有不中的，有中的。总体来说，是平均每1000张里头，有一张中奖的彩票。就跟这个扔了这么些硬币，有4900多次，二分之一正面朝上一样。这里有中零次的，有中一次的，有中两次的，那么真正中奖人，当然只有63%，也就是0.63。
像这样一些问题，它能够结合学生的实际生活，有助于学生理解概率的含义。
所以，统计与概率的学习要多做一些实验活动。必要的时候，还需要算出实验结果。让学生通过对这个算出来这个结果，哪怕是近似值，来加深对这个概率和频率概念的认识和理解。如果我们只是说描述性的去说频率是概率的一种估计值，当这个发生的实验次数很高的时候，频率稳定在概率附近这样的抽象的描述，对于学生理解概率和频率的关系还是有缺欠的。
5．天气预报的问题
学生日常生活中的天气预报。所说的降雨的概率60%是什么意思？
有时候电视台问一些老年人，他们中有的回答说60%就是比中雨还大一点；有的说它是60%的地方下雨，40%地区不下雨。
实际上，它是说在一定条件下的，气象台发现，今天说，明天的降雨跟今天的温度、湿度，压力有关系。这样的关系是影响降雨量的因素。然后，看看它和在历史上的今天这样的条件下，一共出现了多少次降雨。比如说，在历史上有100天，跟今天的条件一样；再看看，它的第二天下雨的有多少呢，如果这100天中有60%都下雨了，那么，它明天降雨的概率就是60%。如果这100天后面，第二天全都没下雨，预报就没有雨。
通过这样的日常生活中的实例，让学生简单的算一算，通过实践让学生来理解统计与概率概念可能是比较重要的。而不在于一定要提供非常严格的数学形式化的定义。
6．初中计算概率的方法??枚举、树型图
枚举的、穷举是一种本事，是训练学生思维的能力，分类思维。能不能举全了，既不重复，又不丢。实际上，很多问题的解决没有别的办法，只有这种穷举法。用一些简单的树图，帮助学生能够比较全面的来做一些穷举，也是一个很重要的问题。
四、初中统计与概率教学的重点
通过上面的分析可知，实际教学偏重于如何计算各种统计量，使得学生只会算，对其意义的理解不够，有的甚至对所列算式说不出根据。7-9年级统计教学的重点不是培养学生的计算能力。在教学中，重点是使学生掌握统计与概率的思想和方法，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
1．初中统计与概率的学习更加关注对概念意义的理解。
我们可能很快就可以教会学生如何进行计算，但这并不是目的。统计学习的目的是要让学生学会收集数据、整理分析数据、根据数据做出合理决策的思想方法。计算不是重点，应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。初中统计与概率的学习更加关注对概念意义的理解。
2．尽量创设情境，让学生经历统计的全过程。对于统计与概率内容的教学，宜采用案例教学的基本方式展开教学。统计与概率方法看起来不难，但是理解起来还是有困难的，需要通过大量的具体案例来帮助学生理解。
3．协调学生的独立思考与合作交流之间的关系
统计与概率内容的学习，经常通过设计一些活动来实现。这些活动常常可以通过合作学习的方式来完成。在学生合作学习过程中，学生既要独立思考，自主探索，又要在解决实际问题中与别人合作、交流。通过让学生真正投入到统计的全过程中去：提出问题，收集与整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进等环节，理解统计观念。
4．鼓励与信息技术整合
统计内容的学习过程中，有时需要处理大量数据。信息技术的发展，使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷。因此，我们提倡、鼓励统计与概率教学与信息技术整合。这样，可以把学生从繁杂的数据计算中解放出来，使学生充分体会统计量的意义，将学习重点放在理解统计与概率思想和从事统计与概率活动上来。
总之，由于我们对新增内容的生疏，以及对于学生在这些内容的学习方面经验不足，在设计这些新增内容的教学时，需要我们不断地尝试，总结经验，为此，我们提出以下任务作为老师们进一步努力的方向：
1．谈谈您在处理初中新增内容教学时的经验与体会；
2．选择一节您认为比较成功的统计或概率课的教学设计，案例反思作一个介绍；
3．请您给出一份对初中学生学习统计或概率的评价方案（包括评价方法，评价指标）。
课程扩展资源：
1．华应龙 施银燕．“所有的判断都是统计学”??“统计与概率”备课与教学难点解析[J]．人民教育．
2．赵前斌．初中数学教材统计知识辩误[J]．中国统计
3．饶汉昌.让学生获得有关统计的一些初步知识??“统计初步”简介[J].
4．统计与概率内容标准解读[J]．www.1230.org 初中数学资源网
5．王家正等．统计与概率实施过程中若干问题的探讨??九年义务教育7～9年级课程理念与教学实践[J]．安徽教育学院学报．2004年5月第22卷第3期.
6．左怀玲(人民教育出版社中学数学室).关于初中统计与概率的几点思考[J].
初中数学课程团队案例：
案例1 ：关于“学生问：为什么（1）式的赛场数与（2）式的得分数能够相减？”的问题。
事实上，在我们由实际问题转化为数学问题的过程中，我们是按照实际问题所具有的数量关系来列方程的，如：
设勇士队胜了x场，平了y场。
根据得分的总场次所提供的等量关系有方程：x +y=9-2&&&&&& (1)
根据得分的总数所提供的等量关系有方程： 3x+y=17&&&&&&& (2)
一旦我们列出方程（1）与（2）后，
将（1）、（2）联立构成一个二元一次方程组：
这时，如果我们对这个二元一次方程组进行求解，此时我们处理的是没有实际意义的数学模型。这里的x,y是数学中的变量，它们在同一定义域内是可以进行数学运算的。所以，方程求解的过程实际上是在一个纯粹数学的意义上完成的。
当然，当我们求解出x，y的值之后，我们应结合问题求解最初所设的未知数的意义，将其与实际问题联系起来。所以，要正确处理问题的实际意义与解决问题过程中所涉及到的知识的数学意义二者之间关系。
案例2：关于北京十一学校张兆利老师的“折叠问题初探”课的分析
在这节课中，张老师首先进行的一项活动是：将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。
从这里说起，我觉得这个情境选得非常好。但是，如果张老师再大胆一些，再开放一些，让学生自己通过折叠一张长方形的纸片，来探索、形成数学问题，可能更符合课题学习的理念。也许，学生不一定都像张老师那样去折叠；也许，他们提出的问题与张老师的问题也不一样；学生不一定提出表现出重合（全等）的特性的问题，问题的解决也不一定要用到角平分线，以及临补角的角平分线互相垂直等知识。但是，就这个情境而言，对于学生来讲，可能并不复杂。他们可以通过这个容易操作的活动，边做边思考，发现、提出问题。我想，学生容易形成的是下图：
依此也很容易提出问题，也许会形成很多个不同问题。如果有些问题的解决，涉及到的数学知识，如三角形全等和等腰三角形有关知识还没有学习，那也没关系。因为课题学习不一定要将提出的所有问题，都在一次学习过程中就一定解决完，同时有些有意义的问题，也可能是学生暂时不能够解决的问题。但这并不妨碍课题学习的展开。在一次课题学习中如果学生能够发现问题与提出问题，而且会区分出在所提出的问题中有哪些是他们现有知识基础与能力水平可以解决的问题，哪些是需要再进一步学习才能解决的问题。这样，可能会更激励学生朝向更高的目标发展。我想这样才能真正反映以学生为主体，而非仍旧在教师的引导下实现的课题学习。因此说，如果这节课还需要改进的话，我们应该从学生操作活动开始做起，这样会更加突出课题学习与常规课堂教学的区别。
案例3 ：课题学习：展示全面调查和抽样调查的数据分析
在这节视频课中，我们可以深切地感受到学生参与的积极性，他们为此投入的极大热情。而且，通过这种新型的学习方式，学生获得了许多方面，如怎样进行调查，收集数据；制作图表；展示成果等机会的锻炼。也就是说，这节课在结合实际方面做得很充分，注重了实践性，与学生生活的紧密联系。然而，在突出体现数学在解决这些实际问题的重要作用方面，显得不够。例如：在收集废旧电池这个实际问题的过程中，调查的目的是希望得出废旧电池对人的危害。这个结论，好像不用加入数学的知识，也能得到。像调查本班同学吃早点情况，以及针对全班同学的早餐情况提出合理化建议也是如此。
也就是说，数学课题学习不能变成实践活动课。本节课在协调实际问题和数学知识学科这个特点之间的关系方面，还有改进的空间。因此，怎样选择一个恰当的问题或情境，让学生在数学课题学习的过程中真正体会到数学的价值和作用。提出的是现实的问题，但这个问题的解决需要把它转化为一个数学的问题，从而运用学过的数学知识技能，数学的语言，数学的思想方法，才能解决。如果不用数学的话，那么这个课题解决得就不彻底、不完善，这样，学生才能充分体会到数学是必不可少的解决问题的强有力的工具，体会到数学的重要价值。
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