大神留步,求解二阶导数反映函数凹凸性的原理_高中数学吧_百度贴吧
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大神留步,求解二阶导数反映函数凹凸性的原理收藏
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)&0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1&x2，记(x1+x2)/2=x0，并记x2-x0=x0-x1=h，则x1=x0-h,x2=x0+h，由拉格朗日中值公式得f(x0+h)-f(x0)=f'(x0+θ1h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，其中0&θ1&1,0&θ2&1。两式相减，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f"(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h&ξ&x0+θ1h。因为f"(ξ)&0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)&0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2&f(x0)，亦即[f(x1)+f(x2)]/2&f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
同济的这个证明一点也不好看
恩,我开始也从论证明着手的,总是找不到头绪,谢谢吧主贴出了理论证明我会好好看的.貌似有点麻烦.
实际上有更容易的证明
我感觉图象法就不错,简单明了但不够理论性
其它的暂时表示无力
被你发现了。
呵呵,大神说还有简单的证明能贴下否?
f(x)&=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入f(x)&=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等价于f(x)(x2-x1)&=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2)
（1）那个二阶条件是充要条件，必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1&=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1&x&x2,令x趋向x1和x2,并求极限，由导数定义，f'(x1)&=f(x2)-f(x1)/x2-x1,f'(x2)&=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)&=f'(x2),即导函数单调增，f''(x)&=0充分性证明，由于f''(x)&=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1&a&x.f(x2)-f(x)/x2-x=f'(b),其中x&b&x2.所以f'(a)&=f'(b),即f(x)-f(x1)/x-x1&=f(x2)-f(x)/x2-x显然与凹定义等价证毕
这个就是代数变形有点技巧，不用同济那样导过去导过来关键这步f(x)-f(x1)/x-x1&=f(x2)-f(x)/x2-x，与凹函数定义等价
讨论好激烈呀
比起同济那个充分性证明，这个处理显然高中很容易理解
都是一些复杂罗唆毫无意义的证明
对拉格朗日定理的理解稍加深度的话
考场证明只要两个式子就可秒掉该证明
二阶求导求大神给看看,这样证明可以吗?首先理用二阶求导异号确定f(x)存在拐点,令T=f'(x),求T',若T'&0,说明斜率单增,所以函数f(x)只能为凹函数.14楼可否贴一下你的两步秒法
求路过大神帮忙鉴定。。。
不懂高数..
看看吧,你一学就懂的,求指道
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急！导数的概念及导数的运算题，求解答
已知函数f(x)=3/1ax^3+bx^2+cx+d在x=x1处取得极大值，在x=x2处取极小值，且x1&x2,证明a&o
提问者采纳
f(x)在x=x1处取得极大值，表明在x1的δ邻域内是上凸的；在x=x2处取极小值，表明在x1的δ邻域内是下凹的。由于f'(x)=ax^2+2bx+c;f''(x)=2ax+2b在x=x1处取得极大值，故有f''(x1)&=0,即：2ax1+2b&=0
(1)在x=x2处取极小值,故有f''(x2)&=0,即：2ax2+2b&=0
(2)由(1)式：ax1&=-b由(2)式：ax2&=-b故ax1&ax2由于x1&x2,故必有a&0
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