2015世纪金榜理科数学(广东版)7.5_百度文库
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2015世纪金榜理科数学(广东版)7.5|
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你可能喜欢如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=___；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=____．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=____．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．-乐乐题库
& 含30度角的直角三角形知识点 & “如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边...”习题详情
180位同学学习过此题，做题成功率83.8%
如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=a2；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直...”的分析与解答如下所示：
（1）根据三角形内角和定理推知∠A=30，∠C=90°．（2）根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，则△ACD的周长等于AC+AB；（3）如图3，连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值；（4）如图4，根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．
解：（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30，∠C=90°，∴BC=12AB=a2．故填：a2；（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故填：15cm；（3）如图3，连接AD．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=√32BD，AE=12AD，∴BE：EA=√32BD：12AD，又∵BD=√3AD，∴BE：AE=3：1．故填：3：1．（4）BP=2PQ．理由如下：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，{AE=CD∠BAC=∠ACBAB=AC，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
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如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°...
错误类型：
习题内容残缺不全
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经过分析，习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直...”主要考察你对“含30度角的直角三角形”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
与“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直...”相似的题目：
如图，两条河交汇于O点，夹75°角，旅行家住在P点，离O点200m，离河岸AO100cm．他希望到AO上任一点处欣赏风光，再折到河岸BO上任一点D处眺望景物，然后回到住地，则旅行家最少要走&&&&m路程（答准确数值）
如图，CD∥AB，∠ADC=120°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，则∠DCA=&&&&．如果DE=5cm，则AD=&&&&cm．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是&&&&32√31
“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为&&&&
2已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则△ABC底角的度数为&&&&
3正三角形的外接圆的半径和高的比为&&&&
该知识点易错题
1若等腰三角形腰长为8，腰长上的高为4，则此三角形的顶角是&&&&
2等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个三角形的顶角的度数是&&&&
3如图，∠C=90°，D是CA的延长线上一点，∠D=15°，且AD=AB，则BC=&&&&AD．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=___；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=____．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=____．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=又1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=___；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=____．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=____．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．”相似的习题。如图所示，已知P是正三角形内的一点，它到△ABC的三边AB，BC，AC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM=h，_百度知道
如图所示，已知P是正三角形内的一点，它到△ABC的三边AB，BC，AC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM=h，
如图所示，已知P是正三角形内的一点，它到△ABC的三边AB，BC，AC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM=h，则h1,h2,h3与h有何数量关系？写出你的猜想并加以说明。
提问者采纳
证明：连结AP、BP、CP,设等边△ABC的边长为a,
所以S△ABC=BC*AM/2=ah/2.
又因为S△ABC=S△APB+S△APC+S△BPC,
S△APB==ah1/2,
同理S△APC=ah2/2,
S△BPC=ah3/2,
所以S△ABP=ah1/2+ah2/2+ah3/2,
所以有ah=ah1+ah2+ah3,
所以h=h1+h2+h3.
提问者评价
其他类似问题
其他1条回答
h=h1 +h2 +h3连接AP, BP, CPS三角形ABC= S三角形APB +S三角形BPC +S三角形CPA
=1/2 (AB*h1+BC*h2+CA*h3) 而△ABC是正三角形，所以AB=BC=CA
所以，S三角形ABC =1/2*BC（h1+h2+h3)
而S三角形ABC=1/2*BC*h ,所以 h=h1 +h2 +h3
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出门在外也不愁教师讲解错误
错误详细描述：
（1）在△ABC中，AB＝AC≠BC，△ABC所在平面内有一点P（不与A，B，C任何一点重合），使△APC，△BPC，△APB都是等腰三角形，这样的点一共可以找到几个？简要说明理由．（2）若将上题的△ABC改为等边三角形，其余条件不变，这样的点P可以找到几个？画图加以说明．
【思路分析】
（1）分类讨论，利用中垂线和圆画图构造，并验证。（2）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解析过程】
解：（1）若PA=AB=AC,PB=PC，则点P为图中P1，P6.若PA=AB=AC，PB=BC或PC=BC，则点P为图中P2或P4.若PA=PB=PC，则点P为外心P5。若PB=AB=AC≠PA，则PC=PB，点P为图中P3，综上，共6个点。（2）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．则具有这种性质的点P共有10个．
（1）共6个。若PA=AB=AC,PB=PC，则点P为图中P1，P6.若PA=AB=AC，PB=BC或PC=BC，则点P为图中P2或P4.若PA=PB=PC，则点P为外心P5。若PB=AB=AC≠PA，则PC=PB，点P为图中P3，综上，共6个点。（2）10个。
本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．
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京ICP备号 京公网安备已知：在三角形ABC中，角A=9O度，AD是BC的高，BE是角平分线性质，且交AD于P、求证AE=AP - 叫阿莫西中心 - 中国网络使得骄傲马戏中心！
已知：在三角形ABC中，角A=9O度，AD是BC的高，BE是角平分线性质，且交AD于P、求证AE=AP
如图,在RT三角形ABC中,角BAC等于90度,AD垂直于BC,垂足为点D,BE平分角ABC,与AD
发表于： 03:31:33
如图，在RT三角形ABC中，角BAC等于90度，AD垂直于BC，垂足为点D，BE平分角ABC，与AD相交于点F，与AC相交于点E。EG垂直于BC，垂足为点G，连接FG，试说明四边形AEGF是菱形 3-2121:01【最佳答案】由BE角分线，EG=AE又FE=FE&AEF=&FEG故三角形AFE和三角形GFE全等&FAE=&EGF=&DFG故FG//AE又AD//EGAEGF是平行四边形又AE=EG故AEGF是菱形 3-2419:48【其他答案】∵EG⊥BC，∠BAC=90°即∠EGB=∠EAB=90°∵BE平分∠ABC即∠ABE=∠GBEBE=BE∴⊿EAB≌⊿EGB（AAS）∴AB＝GB∵BF=BF，∠ABF=∠GBF∴⊿FAB≌⊿FGB（SAS）.∴GF＝FA∠CAD＝90°-∠C＝∠B.∠AEF＝90°-∠B/2＝90°-∠CAD/2∠AFE＝180°-∠CAD-∠AEF＝180°-∠CAD-（90°-∠CAD/2）＝90°-∠CAD/2＝∠AEF∴AE＝AF.四边形AEGF四边相等，是为菱形。 3-2121:03
如图,在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,角BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D如图,在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,角BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF为菱形. 【最佳答案】我会。图你有的对吧？那我直接说了——首先，因为三角形ABC是直角三角形，又因为角BAC等于60度，所以根据三角形内角和为180度，可得角B等于30度。所以AB等于2AC（RT三角形30度角所对的边是斜边的一半）又因为ED垂直平分BC，所以EC等于EB（垂直平分线上的点到线段两边距离相等）所以E是AB中点，所以AE等于EC又因为角BAC等于60度，所以三角形AEC是等边三角形，所以AE=EC=AC题目中可知：角ACB等于90度，ED垂直于BC，所以AC平行于ED，所以角FEA等于角CAE等于60度，即三角形AFE也是等边三角形~所以AF=FE=AC=CE所以这是一个菱形~（MS“又”很多~不过你可以自己再缩写一些~~^_^） 【其他答案】首先纠正应为“求证四边形ABEF是菱形”。证明：因DE垂直平分BC垂足为点D交AB于点E，所以DE是三角形ABC的中位线，平行底边AB，E是AC中点。所以，CE=EA=BE。又角BAC等于60度，所以三角形BEA是等边三角形，即BA=AB=BE。因DF平行BA，所以叫FEA=角EAB=60度。又AF等于CE，CE=AE=AB。所以三角形AEF是等边三角形，AF=FE=EA,即AF=AB=BE=AE，故四边形ABEF是菱形。
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=24CM,BD:CD=5：3，则点D到AB的距离DE等于（）CM1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=24CM,BD:CD=5：3，则点D到AB的距离DE等于（）CM。2、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD。那么BE与CF相等吗？说明理由，3、如图，在△ABC中，AB=AC=16CM，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10CM，则△BCD的周长是多少？4、如图，C、D是线段AB上的两点，MN即使AB的垂直平分线，又是CD的垂直平分线，则△MAC与△MBD全等吗？说出理由。5、如图,已知∠c=90°,∠BAD=∠DAC,如果BC=8CM，BD=5CM，求D到AB的距离。6、在RT△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？7、在RT△ABC中，∠C=90°，BD是∠B的平分线，DC=5CM，AB＝20CM，则S△ABD＝？过程要详细！！！！好的追加20！！问题补充：第二题图： 【最佳答案】192相等。∠DEB=∠CFD=RT∠，BD=CD,DF=DE(∠DEB=∠CFD=RT∠,AD为角平分线)，所以△DEB与△CDF全等，故BE=CF326。4全等。设AB、MN交于E，∵MN垂直平分AB、CD∴AE=BE，CE=DE∴AC=BD，很容易证明MA=MB,MC=MD,三边全相等，∴两三角形全等，其它还有多种方法皆可证明53。过D作AB垂线交AB于E，AD是∠A平分线，故DE=CD=BC-BD=36当∠C是直角时，相等，理由与第5题相同750。过D作AB垂线足E，则DE=DC=5(角平分线上点到角两边距离相等)，S△ABD=1/2*AB*DE=50 【其他答案】-BE=CF因为只要证明直角三角形AFD全等于直角三角形AED就OK啦，下面来证明：因为AD为角BAC平分线，故角EAD=角FAD，可以推出叫ADF=角ADE【根据条件两三角形为直角三角形】又AD为两三角形的斜边，两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角所以RT三角形AFD全等于RT三角形AED。可以得出DE=DF，又BD=DC，根据【斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等】可推出RT三角形DFC全等于RT三角形DEC，故BE=CF。以后帮回答没有回答的，打字太慢啦，呵呵。 zxzszsx热心网友 哪有图啊
如图在等腰RT△ABC中∠ACB=90D为BC的中点DE垂直AB垂足为点E过点B作BF平行AC交DE的延长线于点F连接CF（1）求证：AD垂直CF（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由 最佳【推荐答案】（1）证明：因为BF平行于AC所以∠BFC=∠FCA(两直线平行内错角相等)又DE垂直于AB，∠ABC=45°所以∠FBD=45°所以FB=BD即FB=DC（D为BC中点）且∠FBC为直角，AC=BC，所以△FBC全等于△DCA（两边及其夹角相等）所以∠FCB=∠DAC又∠BFC∠FCB=90°所以∠DAC∠FCA=90°所以AD垂直CF（2）等腰三角形因为△FBD为等腰直角三角形，所以E为FD中点，又FD垂直AE所以△AFC为等腰三角形，所以AF=AD又由（1）得FC=DA，所以AF=FC所以△ACF为等腰三角形机器有点儿卡，费了好大劲呢，要给我分哦~:-D 【其他答案】1）证明：因为BF平行于AC所以∠BFC=∠FCA(两直线平行内错角相等)又DE垂直于AB，∠ABC=45°所以∠FBD=45°所以FB=BD即FB=DC（D为BC中点）且∠FBC为直角，AC=BC，所以△FBC全等于△DCA（两边及其夹角相等）所以∠FCB=∠DAC又∠BFC∠FCB=90°所以∠DAC∠FCA=90°所以AD垂直CF（2）等腰三角形因为△FBD为等腰直角三角形，所以E为FD中点，又FD垂直AE所以△AFC为等腰三角形，所以AF=AD又由（1）得FC=DA，所以AF=FC所以△ACF为等腰三角形 (1)\设AD交CF于点G,AC=BA=2，则CD=BD=1；∵DE⊥AB，∠ABD=45°，∴∠EDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BF=1，∴∠FCB=30°，同理，∠DAC=30°，∴∠ADC=60°，∴∠GCD=90°，即AD⊥CF.(2)\过点F作FH⊥AC于H，因为∠ACB=90°，∴四边形HCBF是矩形，，∴HC=FB=1，∴AH=HC=1，∴CF=根5，∵FH垂直AC，∴△AFH≌△CFH,∴AF=CH∴，，△ACF是等腰三角形。回答的可能有点略，希望能看懂。 (1)\设AD交CF于点G,AC=BA=2，则CD=BD=1；∵DE⊥AB，∠ABD=45°，∴∠EDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BF=1，∴∠FCB=30°，同理，∠DAC=30°，∴∠ADC=60°，∴∠GCD=90°，即AD⊥CF.(2)\过点F作FH⊥AC于H，因为∠ACB=90°，∴四边形HCBF是矩形，，∴HC=FB=1，∴AH=HC=1，∴CF=根5，∵FH垂直AC，∴△AFH≌△CFH,∴AF=CH∴，，△ACF是等腰三角形。热心网友 如图,在等腰RT△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF。（1）求证：AD⊥CF三角形ACD与三角形CBF中AC=CBCD=BF角ACD=角CBF两三角形全等角BCF=角CAD角BCF+角CDA=角CAD+角CDA=90度所以AD⊥CF（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。△ACF是等腰三角形AF=CF过F做FH垂直AC于H则CH=BF=BC/2=AC/2三线合一得证 1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF（2）解：△ACF是等腰三角形，理由：由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，即AF=AD∴CF=AF．∴△ACF是等腰三角形
三道初三上相似三角形题目如图RT三角形ABC中，角C＝90度，角A的平分线AD交BC边于D，求证AC^2/AD^2=BC/2BD1.如图,P,Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂涎,垂足为H,求证,DH垂直HQ2.如图，在RT三角形ABC中，角C＝90度，角A的平分线AD交BC边于D，求证AC^2/AD^2=BC/2BD3.如图，AD是RT三角形ABC的斜边BC上的高，P是AD的中点，连结BP并延长交AC于E，已知AC:AB=K,求AE:EC的值最好快点！谢谢了！有需要可以加分！问题补充： 【最佳答案】1证：∵BH⊥PC∴在△PBC中，∠PBH=∠BCP∠CPB=∠BHA又AB=BC∴△ABH≌△BCP∴AH=BP∴AH=BQ∴HDCQ是长方形因此,DH⊥HQ2证:AC^2/AD^2=cos^2∠CAD=(1+cos2∠CAD)/2=1/2+cos∠BAC=1/2+AC/AB而BC/2BD=(1/2)·(BD+CD)/BD=1/2+CD/BD由三角形角平分线定理,有:AC/CD=AB/BD;则AC/AB=CD/BD;则:1/2+AC/AB＝1/2+CD/BD;即AC^2/AD^2=BC/2BD这里用到的是三角函数的倍角公式;也可以完全用平面几何的方法如下:作DE⊥AD;且DE交AC于E;则∠BDE+∠CDA=90度;而∠CAD+∠CDA=90度,则∠BDE=∠CAD.于是又有∠BDE=∠BAD;∠B共用,因此,△BDE∽△ABD;则BD/AB=DE/AD;而明显有:Rt△ACD∽Rt△ADE;则DE/AD=CD/AC;则BD/AB=CD/AC;→AB/BD=AC/CD;→AB/BD+1=AC/CD+1;→(AB+BD)/BD=(AC+BD)/CD;过点D做DF垂直AB于F∠DFA=∠DFB=90度因为AD平分∠CAD所以∠CAD=∠FAD又∠ACB=∠DFA=90°AD=AD所以△ACD全等于△AFD所以AC=AFCD=CF因为AC=BC,∠ACB=90°所以∠ABC=45°因为∠DFB=90所以△BFD是等腰直角三角形所以DF=BF所以DF=BF=CD因为AF+FB=ABAF=ACCD=DF=FB所以AC+CD=AB则:(AB+BD)/BD=AB/CD;(AC+2BD)/BD=AB/CD;则AC/AE=BC/2BD而且:AC/AD=AD/AE;于是有:AC^2/AD^2=(AC/AD)*(AD/AE)=AC/AE;3作DF平行BE且交AC于F;则由此可以得到如下结论:AP=PD→AE=EF;而且EF:EC=BD:BC;因此,AE:EC=BD:BC;易证明:△ABC∽△DBA∽△DAC;由对应边成比例得:AC:AB=DC:AD=AD:BD;即DC:AD=AD:BD=K;于是可得到DC:BD=(DC/AD)·(AD/BD)=K·K=K^2;则BD:BC=1/(BC:BD)=1/[(BD+DC):BD]=1/(1+DC:BD)=1/(1+K^2);于是:AE:EC=BD:BC=1:(1+K^2)... 【其他答案】2先写一个题目的用AC和2分之A表示其它边AD=AC*tan(A/2)BC=AC*tan(2A/2)BD=BC-AC*tan(A/2)3原则是用大量tanAC：AB=tanABC=K=AD：BDPD：BD=tanPBD=K/2重要tanABE=(tanABC-tanPBD)/(1+tanABC*tanPBD)tanABE=AE:AB已经很清楚了1BQ:CD=PB:CD=PB:BC=BH:CH(三角形两临边成比例)角HBQ=角HCD（夹角相等）得出HBQ与HCD相似BC与CD垂直……不用说了吧本人急需分数30有问题请说,今晚在线，不给分不行,谢谢
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在AB上截取，使AF=AE，可证三角形AOEA也AOF全等，再证三角形BOF与三角形BOD全等即可
BOF和BOD怎样全等？
当然，你若学了圆，有更简单的做法
还没只学了全等
现在只知道角OBF=角OBD和OB=OB！怎样证明全等？
我们可以得到角AOB等于120，角AOE为60，进而角BOD与角BOF也是60
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你的回答完美的解决了我的问题，谢谢！
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你在ab上取一点ap，使ap等于ae，连接po，接下来只需证bp等于bd就行了
怎样证OPB和ODB全等呐
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出门在外也不愁2013年八年级数学上册三角形期末复习试题（带答案）
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2013年八年级数学上册三角形期末复习试题（带答案）
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&八年级数学提优练习题2013.11　一．（共7小题）1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（　　）个．&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&①②③④　2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　　）&　&A．&PB=PC&B．&PA=PD&C．&∠BPC=90°&D．&∠APB=∠DPC　3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论： ①AG=CE&&&&&&&& ②DG=DE③BGAC=CE&&&&& ④S△BDGS△CDE= S△ABC其中总是成立的是（　　）　&A．&①②③&B．&①②③④&C．&②③④&D．&①②④　4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④ =1．其中正确的是（　　）&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&①②③④　5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（　　）&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&②③④　6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（　　）&　&A．&1个&B．&2个&C．&3个&D．&4个　7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL= ∠ABC，其中正确的结论是（　　）&　&A．&①②③&B．&①④&C．&①②③④&D．&①②　二．（共8小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数； （2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．&　9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（at）2+|bt|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标． &　10．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16． （1）∠COA的值为　_________　；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．　11．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足 +（b2）2=0，&（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究 的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．　12．（;日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．&（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　_________　．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．　13．（;六盘水）（1）观察发现&& 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：&& 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．&&& 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　_________　．&（2）实践运用&& 如图（3）：已知⊙O的直径CD为2， 的度数为60°，点B是 的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　_________　．&& （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．　14．（;抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是　_________　；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．&　15．（;东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．&　&
八年级数学提优练习题2013.11参考答案与解析　一．（共7小题）1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（　　）个．&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&①②③④
考点：&等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．4387773分析：&①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．解答：&解：连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°∠BAD=30°，∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故②正确；在AC上截取AE=PA，∵∠PAE=180°∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，&，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；过点C作CH⊥AB于H，∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，∴S△ABC= AB•CH，S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC= AP•CH+ OA•CD= AP•CH+ OA•CH= CH•（AP+OA）= CH•AC，∴S△ABC=S四边形AOCP；故④正确．故选D．&&&点评：&本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．　2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　　）&　&A．&PB=PC&B．&PA=PD&C．&∠BPC=90°&D．&∠APB=∠DPC
考点：&轴对称-最短路线问题；直角梯形．专题：&压轴题；动点型．分析：&首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得．解答：&解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，所以∠APB=∠DPC．故选D．&点评：&此题的关键是应知点P是怎样确定的．要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定．　3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论： ①AG=CE&&&&&&&& ②DG=DE③BGAC=CE&&&&& ④S△BDGS△CDE= S△ABC其中总是成立的是（　　）　&A．&①②③&B．&①②③④&C．&②③④&D．&①②④
考点：&旋转的性质；全等三角形的判定与性质．4387773专题：&开放型．分析：&连DA，由△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，得到∠GAD=∠ECD=135°，由∠EDF=90°，根据同角的余角相等得到∠1=∠2，所以△DAG≌△DCE，AG=EC，DG=DE，由此可分别判断．解答：&解：连DA，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，∴∠GAD=∠ECD=135°，又∵△DEF是一个含30°角的直角三角形，∴∠EDF=90°，∴∠1=∠2，∴△DAG≌△DCE，∴AG=EC，DG=DE，所以①②正确；∵AB=AC，∴BGAC=BGAB=AG=EC，所以③正确；∵S△BDGS△CDE=S△BDGS△ADG=S△ADB= S△ABC．所以④正确．故选B．&点评：&本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半．　4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④ =1．其中正确的是（　　）&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&①②③④
考点：&等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4387773分析：&①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确；②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论；④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM= AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=CM= AC= BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．解答：&解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC= （180°30°）=75°，∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∴∠ECA=165°∴①正确；②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），∴∠BAE=∠ECA∠ACB=16590=75°，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=BC，∴②正确；③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，∴∠CAB=∠ACB=45°∴∠BAD=∠BAC∠CAD=4530=15°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=30°，∴∠ABF=45+30=75°，∴∠AFB=°，∴AD⊥BE．④证明：如图，过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．∵∠CAD=30°，且DM= AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠NCD=90°∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC∠ACD=15°，∴△CMD≌△CND，∴CN=CM= AC= BC，∴CN=BN．∵DN⊥BC，∴BD=CD．∴④正确．所以4个结论都正确．故选D．&&点评：&此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．　5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（　　）&　&A．&①②③&B．&①②④&C．&①③④&D．&②③④
考点：&直角梯形；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．4387773分析：&由BC∥AM得∠CDA=105°，根据等边三角形的性质得∠CDE=60°，则∠EDA=105°60°=45°；过C作CG⊥AM，则四边形ABCG为矩形，于是∠DCG=90°∠BCD=15°，而∠BCE=75°60°=15°，易证得Rt△CBE≌Rt△CGD，则BC=CG，得到AB=BC；由于AG=BC，而AG≠MD，则CF：FD=BC：MD≠1，不能得到F点是CD的中点，根据等边三角形的性质则不能得到EF⊥CD；若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到BM=2AB，则BM=2BC，易得∠BFC=75°，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：FD=BF：MF=1，即可有CF=DF．解答：&解：∵BC∥AM，∴∠BCD+∠CDA=180°，∵∠BCD=75°，∴∠CDA=105°，∵△CDE为等边三角形，∴∠CDE=60°，∴∠EDA=105°60°=45°，所以①正确；过C作CG⊥AM，如图，∵∠A=90°，∴四边形ABCG为矩形，∴∠DCG=90°∠BCD=15°，而△CDE为等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠BCE=75°60°=15°，∴Rt△CBE≌Rt△CGD，∴BC=CG，∴AB=BC，所以②正确；∵AG=BC，而AG≠MD，∴CF：FD=BC：MD≠1，∴F点不是CD的中点，∴EF不垂直CD，所以③错误；若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，∴在Rt△AMB中，BM=2AB，∴BM=2BC，∵∠BCD=75°，∴∠BFC=180°30°75°=75°，∴BF=BC，∴MF=BF，而CB∥AM，∴CF：FD=BF：MF=1，∴CF=FD，所以④正确．故选B．&点评：&本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质．　6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（　　）&　&A．&1个&B．&2个&C．&3个&D．&4个
考点：&全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773分析：&根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP= BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．解答：&解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP= BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，∴∠FPC=∠EPA．∴△APE≌△CPF（ASA）．∴①AE=CF；③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP= BC，∵EF不是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故②错误；④∵∠AGF=∠EGP=180°∠APE∠PEF=180°∠APE45°，∠AEP=180°∠APE∠EAP=180°∠APE45°，∴∠AEP=∠AGF．故正确的有①、③、④，共三个．因此选C．点评：&此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强．　7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL= ∠ABC，其中正确的结论是（　　）&　&A．&①②③&B．&①④&C．&①②③④&D．&①②
考点：&全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773分析：&根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC=∠C，根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①；证△ABE∽△ACB，推出AB2=AE×AC，求出AF2=AB2BF2=AE2EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判断②；延长AB到N，使BN=BM，连接MN，证△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判断③；设∠LAC=x°，∠LAM=y°，则∠BAM=∠MAC=（x+y）°，证△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，得出方程x°+y°+y°=∠C+x°，求出∠C=2y°，∠ABC=4y°，即可判断④．解答：&解：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE= ∠ABC，∵∠ABC=2∠C，∴∠ABE=∠EBC=∠C，∴BE=EC，∴①正确；∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB& ∴△ABE∽△ACB，∴ = ，∴AB2=AE×AC，在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：AF2=AB2BF2=AE2EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式得：AE×ACBF2=AE2EF2，则BF2=AC×AEAE2+EF2=AE×（ACAE）+EF2=AE×EC+EF2=AE×BE+EF2，即（BEEF）2=AE×BE+EF2，∴BE22BE×EF+EF2=AE×BE+EF2，∴BE22BE×EF=AE×BE，∴BE2EF=AE，BEEF=AE+EF，即BF=AE+EF，∴②正确； 延长AB到N′，使BN=BM，连接MN′，则△BMN′为等腰三角形，∴∠BN′M=∠BMN′，△BN′M的一个外角∠ABC=∠BN′M+∠BM′N=2∠BN′M，则∠BN′M=∠ACB，在△AMC与△AMN′中&，∴△AMC≌△AMN′（AAS），∴AN′=AC=AB+BN′=AB+BM，又∵AL⊥BE，∴∠AFB=∠LFB=90°，&在△AFB与△LFB中，&，∴△AFB≌△BLF（ASA），∴AB=BL，则AN′=AC=AB+BN′=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确；设∠LAC=x°，∠LAM=y°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°．∵△AFB≌△BLF，∴∠BAF=∠BLF，∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，∴x°+y°+y°=∠C+x°，∴∠C=2y°，∵∠ABC=2∠C，∴∠ABC=4y°，即∠MAL= ∠ABC，∴④正确．故选C．&& 点评：&本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的．　二．（共8小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．&
考点：&等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．4387773专题：&证明题．分析：&（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CEG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CEF，然后计算即可得解；（2）过点E作EH∥AB交BC于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC=∠EHC，内错角相等可得∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根据等角对等边可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用“角角边”证明△BDF和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=FH，根据等腰三角形三线合一的性质可得CG=HG，即可得证．解答：&（1）解：∵∠A=50°，∴∠C= （180°∠A）= （180°50°）=65°，∵EG⊥BC，∴∠CEG=90°∠C=90°65°=25°，∵∠A=50°，∠D=30°，∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°，∴∠GEF=∠CEF∠CEG=80°25°=55°；
（2）证明：过点E作EH∥AB交BC于H，则∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EHC=∠C，∴EC=EH，∵BD=CE，∴BD=EH，在△BDF和△HEF中，&，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF=FH，又∵EC=EH，EG⊥BC，∴CG=HG，∴FG=FH+HG=BF+CG．&点评：&本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．　9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（at）2+|bt|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．&
考点：&全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；坐标与图形性质；等腰直角三角形．4387773分析：&（1）根据a=t，b=t，推出a=b即可；（2）延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，证△TCF≌△AEF，推出CT=AE，∠TCF=∠AEF，再证△TCO≌△ABO，推出TO=AO，∠TOC=∠AOB，求出△TAO为等腰直角三角形即可；（3）连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，证△NTB′≌△MTH，推出TN=MT，证△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q=∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．解答：&（1）解：∵a，b满足（at）2+|bt|=0（t＞0）．∴at=0，bt=0，∴a=t，b=t，∴a=b，∵B（t，0），点C（0，t）∴OB=OC；
（2）证明：延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，∵F为CE中点，∴CF=EF，在△TCF和△AEF中&∴△TCF≌△AEF（SAS），∴CT=AE，∠TCF=∠AEF，∴TC∥AD，∴∠TCD=∠CDA，∵AB=AE，∴TC=AB，∵AD⊥AB，OB⊥OC，∴∠COB=∠BAD=90°，∴∠ABO+∠ADO=180°，∵∠ADO+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠ABC，∵∠TCD=∠CDA，∴∠TCD=∠ABO，在△TCO和△ABO中&∴△TCO≌△ABO（SAS），∴TO=AO，∠TOC=∠AOB，∵∠AOB+∠AOC=90°，∴∠TOC+∠AOC=90°，∴△TAO为等腰直角三角形，∴∠OAF=45°；
（3）解：连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，∵B和B′关于关于y轴对称，C在y轴上，∴CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵MH∥CN，∴∠MHB=∠CB′B，∴∠MHB=∠CBB′，∴MH=BM，∵BM=B′N，∴MH=B′N，∵MH∥CN，∴∠NB′T=∠MHT，在△NTB′和△MTH中&∴△NTB′≌△MTH，∴TN=MT，又TQ⊥MN，∴MQ=NQ，∵CQ垂直平分BB′，∴BQ=B′Q，∵在∴△NQB′和△MQB中&∴△NQB′≌△MQB （SSS），∴∠NB′Q=∠CBQ，而∠NB′Q+∠CB′Q=180°∴∠CBQ+∠CB′Q=180°∴∠B′CB+∠B′QB=180°，又∠B′CB=90°，∴∠B′QB=90°∴△BQB′是等腰直角三角形，∴OQ=OB=t，∴Q（0，t）．&&点评：&本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相等垂直平分线，偶次方，绝对值等知识点的．　10．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16． （1）∠COA的值为　45°　；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．
考点：&全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．4387773分析：&（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根据正方形性质求出∠COA= ∠COB，代入求出即可；（2）求出CN=BM，证△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°，延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，证△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．解答：&解：（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，则∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，∵A（4，4），∴AN=AM=4，∴四边形NOMA是正方形，∴∠COA= ∠COB= ×90°=45°．故答案为：45°；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）∵四边形NOMA是正方形，∴AM=AN=4，OM=ON=4，∴ OC×AN+ OB×AM=16，∴OC+OB=8=ON+OM，即ONOC=OBOM，∴CN=BM，在△ANC和△AMB中，&，∴△ANC≌△AMB（SAS），∴∠NAC=∠MAB，∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°90°90°90°=90°，即∠CAB=90°；（3）MN=2OH，证明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，∴∠HON=∠NMO=22.5°，延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，∴∠HON=∠NMO=∠LMN，∴∠OLM=90°=∠PLO，∴OL=ML，在△OLP和△MLN中，&∴△OLP≌△MLN（ASA），∴MN=OP，∵OP=2HO，∴MN=2HO．&&点评：&本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．　11．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足 +（b2）2=0，&（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究 的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
考点：&全等三角形的判定与性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；坐标与图形性质；等边三角形的性质．4387773专题：&探究型．分析：&（1）根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个数一定同时等于0，即可求解；（2）连接OC，只要证明OC是∠AOD的角平分线即可判断AC=CD，求出∠ACD的度数即可判断位置关系；（3）延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG=GM=AG+OF，由此即可得出结论．解答：&解：（1）根据题意得：a2=0且b2=0，解得：a=2，b=2，则A的坐标是（2，2）；
（2）AC=CD，且AC⊥CD．如图1，连接OC，CD，∵A的坐标是（2，2），∴AB=OB=2，∵△ABC是等边三角形，∴∠OBC=30°，OB=BC，∴∠BOC=∠BCO=75°，∵在直角△ABO中，∠BOA=45°，∴∠AOC=∠BOC∠BOA=75°45°=30°，∵△OAD是等边三角形，∴∠DOC=∠AOC=30°，即OC是∠AOD的角平分线，∴OC⊥AD，且OC平分AD，∴AC=DC，∴∠ACO=∠DCO=60°+75°=135°，∴∠ACD=360°135°135°=90°，∴AC⊥CD，故AC=CD，且AC⊥CD．&
（3）不变．延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，∵在△BAM与△BOF中，&，∴△BAM≌△BOF（SAS），∴∠ABM=∠OBF，BF=BM，∵∠OBF+∠ABG=90°∠FBG=45°，∴∠MBG=45°，∵在△FBG与△MBG中，&，∴△FBG≌△MBG（SAS），∴FG=GM=AG+OF，∴ =1．点评：&本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及到非负数的性质及等边三角形的性质等知识，难度适中．　12．（;日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．&（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　2 　．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
考点：&轴对称-最短路线问题．4387773分析：&（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．解答：&解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE= AC′=2 ，即AP+BP的最小值是2 ．故答案为：2 ；
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10× =5 ，∴BE+EF的最小值为 ．&&点评：&此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．　13．（;六盘水）（1）观察发现&& 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：&& 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．&&& 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　 　．&（2）实践运用&& 如图（3）：已知⊙O的直径CD为2， 的度数为60°，点B是 的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　 　．&& （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
考点：&圆的综合题；轴对称-最短路线问题．4387773专题：&压轴题．分析：&（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE= ；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于 的度数为60°，点B是 的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE= OA= ；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：&解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，∴CE= BE= ；故答案为 ；
（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵ 的度数为60°，点B是 的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE= OA= ，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为 ；
（3）拓展延伸如图（4）．&点评：&本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题．　14．（;抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是　DE= BC　；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．&
考点：&全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4387773分析：&（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE= BC；（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BCBP，DE= BC可得到BF+BP= DE；（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BFBP=BC，所以BFBP= DE．解答：&解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE= BC；故答案为DE= BC．
（2）BF+BP= DE．理由如下：∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB∠PDB=∠PDF∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中&，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BCBP，∴BF+BP=BC，∵DE= BC，∴BC= DE，∴BF+BP= DE；
（3）如图，与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，∴CP=BF，而CP=BC+BP，∴BFBP=BC，∴BFBP= DE．&点评：&本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．　15．（;东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．&
考点：&全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．4387773专题：&压轴题．分析：&（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．解答：&证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中&，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中&，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中&，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．点评：&本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 文 章 来源 天添 资源网 w w w.tT z
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说的太好了，我顶！
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