已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2根号3/3，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．-乐乐题库
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已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2√33，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线&l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-广州二模
分析与解答
习题“已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2根号3/3，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P...”的分析与解答如下所示：
（1）由双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2√33，知a2=3b2．由MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．知|MF1||MF2|=2．由此能导出双曲线C的方程．（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠π2)，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P1，Q1，A1，B1，则&|AP|=|A1P1||cosθ|=3-x1|cosθ|，|PB|=|P1B1||cosθ|=3-x2|cosθ|，|QB|=|Q1B1||cosθ|=x2-x|cosθ|，|AQ|=|A1Q1||cosθ|=x-x1|cosθ|，由|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，知（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，由|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，知[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记PBAQxyλ=|AP||PB|=|AQ||QB|．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，知AP=-λPB，AQ=λQB．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记λ=|AP||AQ|=|PB||QB|．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，设PA=λ1AQ，PB=λ2BQ，则λ1+λ2=0．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解：（1）∵双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2√33，∴√a2+b2a=2√33．即a2=3b2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&①∵MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．∴S△MF1F2=12|MF1||MF2|=1，即|MF1||MF2|=2．∵||MF1|-|MF2||=2a，∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2．∴|F1F2|2-4=4a2．∴4（a2+b2）-4=4a2，∴b2=1．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&②将②代入①，得a2=3．∴双曲线C的方程为x23-y2=1．（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠π2)，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P1，Q1，A1，B1，则&|AP|=|A1P1||cosθ|=3-x1|cosθ|，|PB|=|P1B1||cosθ|=3-x2|cosθ|，|QB|=|Q1B1||cosθ|=x2-x|cosθ|，|AQ|=|A1Q1||cosθ|=x-x1|cosθ|，∵|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，∴（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．③设直线l的方程为y-1=k（x-3），④将④代入x23-y2=1中整理，得（1-3k2）x2-6k（1-3k）x-3[（1-3k）2+1]=0．依题意x1，x2是上述方程的两个根，且1-3k2≠0，∴{x1+x2=6k(1-3k)1-3k2x1x2=-3[(1-3k)2+1]1-3k2⑤将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，∵|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，∴APPB=-AQQB，即3-x1x2-3=-x-x1x2-x，即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．以下同解法1．解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记PBAQxyλ=|AP||PB|=|AQ||QB|．∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A，B，∴λ＞0且λ≠1．∵A，P，B，Q四点共线，∴AP=-λPB，AQ=λQB．即{(3-x1，1-y1)=-λ(x2-3，y2-1)(x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y).∴{3=x1-λx21-λx=x1+λx21+λ③由③消去λ，得[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．以下同解法1．解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记λ=|AP||AQ|=|PB||QB|．∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，∴λ＞0且λ≠1．∵A，P，B，Q四点共线，设PA=λ1AQ，PB=λ2BQ，则λ1+λ2=0．即{(x1-3，y1-1)=λ1(x-x1，y-y1)(x2-3，y2-1)=λ2(x-x2，y-y2).∴{x1=3+λ1x1+λ1y1=1+λ1y1+λ1.{x2=3+λ2x1+λ2y2=1+λ2y1+λ2.∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线C上，∴(3+λix1+λi)2-3(1+λiy1+λi)2=3，其中i=1，2．∴λ1，λ2是方程(3+λx1+λ)2-3(1+λy1+λ)2=3的两个根．即λ1，λ2是方程（x2-3y2-3）λ2+6（x-y-1）λ+3=0的两个根．∵λ1+λ2=0，且x2-3y2-3≠0，∴λ1+λ2=-6(x-y-1)x2-3y2-3=0，即x-y-1=0．∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力
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已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2根号3/3，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（...
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经过分析，习题“已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2根号3/3，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
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直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2根号3/3，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P...”相似的题目：
设抛物线&y2=4x的一条弦AB以为中点，则该弦所在直线的斜率为&&&&．
根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为．（Ⅰ）求直线AB的方程．（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．&&&&
已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，线段PF1与y轴的交点M满足．（1）求椭圆的标准方程；&&&（2）（文）过F2的直线l交椭圆于A，B两点，且，求直线l方程．（2）（理）过F1作不与x轴重合的直线l，l与圆x2+y2=a2+b2相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当，且时，求△F2CD的面积S的取值范围．&&&&
“已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1...”的最新评论
该知识点好题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
该知识点易错题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
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＞＞＞设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点..
设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）A．（0，13]B．（12，23）C．[13，1）D．[13，23）
题型：单选题难度：偏易来源：不详
因为设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则以点F2为圆心2c为半径的圆与椭圆有交点，由椭圆的性质可知只需满足a-c≤2c，解得ca≥13，所以椭圆离心率的取值范围是[13，1）．故选C．
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据魔方格专家权威分析，试题“设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点..”主要考查你对&&椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
&椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。 2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。 3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。 4、焦距：。 5、离心率：；&离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆； 6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。。利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．
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与“设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点..”考查相似的试题有：
493705467529556753287649491548623256已知椭圆C:x2/a2 ＋y2/b2＝1(a&b&0)的离心率e＝√2/2 左 右焦点分别为F1,F2 点P(2,√3)满足：F2在线段PF1的中垂线上。求椭圆C的方程&br/&2.设直线l y=kx+m与椭圆c交与MN两点，直线F2M F2N的倾斜角分别为a b 且a+b=π，求证：直
已知椭圆C:x2/a2 ＋y2/b2＝1(a&b&0)的离心率e＝√2/2 左 右焦点分别为F1,F2 点P(2,√3)满足：F2在线段PF1的中垂线上。求椭圆C的方程2.设直线l y=kx+m与椭圆c交与MN两点，直线F2M F2N的倾斜角分别为a b 且a+b=π，求证：直
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已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a&b&0）的离心率e:根号2/2,左、右交点分别为F1、F2，点P（2,根号3）满足：F2...
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中点;c^2=1PF1斜率;2)代入(c;(2+c)*(x-(2-c)/2,根号3&#47：c=2 x^2/2) 中垂线： b=c椭圆;8+y^2&#47c&#47：y-根号3/ 2
拉布拉多犬，呵呵啦啦啦
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